Distribució exponencial

Distribució exponencial

En Teoria de Provabilitat i Estadística, la distribució exponencial és una distribució contínua que s'utilisa per a modelar temps d'espera per a l'ocurrència d'un cert event. Esta distribució de la mateixa manera que la distribució geomètrica té la propietat de pèrdua de memòria. La distribució exponencial és un cas particular de la distribució gamma.

Definició

Funció de Densitat

Es diu que una variable aleatòria contínua $X$ té una distribució exponencial en paràmetro $\lambda >0$ i escrivim $X\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$ si el seu funció de densitat és

$f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x}$

per a $x\ge 0$.

Funció de Distribució

La seua funció de distribució acumulada està donada per

$F_X(x)=1-e^{-\lambda x}$

per a $x\ge 0$.

Parametrización Alternativa

La distribució exponencial en ocasions es parametriza en térmens del paràmetro d'escala $\beta =1/\lambda$ en el cas de la qual, la funció de densitat serà

$f_X(x)=\frac{1}{\beta }{e}^{-\frac{x}{\beta }}$

per a $x\ge 0$.

Funció de Supervivència

De forma adicional esta distribució presenta una funció adicional que és funció Supervivència (S), que representa el complement de la Funció de distribució.

$S(x)=\mathrm{P}[X>x]=\{\begin{array}{cc}1& \text{para }x<0\\ e^{-\lambda x}& \text{para }x\ge 0\end{array}$

Propietats

Si $X$ és una variable aleatòria tal que $X\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$ llavors

La mija de la variable aleatòria $X$ és

$\mathrm{E}[X]=\frac{1}{\lambda }$

La varianza de la variable aleatòria $X$ és

$\mathrm{Var}[X]=\frac{1}{{\lambda }^2}$

El $n$-ésimo moment de la variable aleatòria $X$ és

$\mathrm{E}[X^n]=\frac{n!}{{\lambda }^n}$

La funció generadora de moments de $X$ per a $\lambda >t$ està donada per

$M_X(t)={(1-\frac{t}{\lambda })}^{-1}=\frac{\lambda }{\lambda -t}$

Escala

Si $X$ és una variable aleatòria tal que $X\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$ i $c>0$ una constant llavors

$cX\sim \mathrm{Exp}\left(\frac{\lambda }{c}\right)$

Pèrdua de Memòria

Siga $X$ una variable aleatòria tal que $X\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$ llavors per a qualssevol $x,y\ge 0$

$\mathrm{P}[X>x+y|X>y]=\mathrm{P}[X>x]$

Açò pot demostrar-se fàcilment puix

$\begin{array}{cc}\mathrm{P}[X>x+y|X>y]& =\frac{\mathrm{P}[X>x+y\cap X>y]}{\mathrm{P}[X>y]}\\ & =\frac{\mathrm{P}[X>x+y]}{\mathrm{P}[X>y]}\\ & =\frac{e^{-\lambda (x+y)}}{e^{-\lambda y}}\\ & =e^{-\lambda x}\\ & =\mathrm{P}[X>x]\end{array}$

Cuantiles

La funció cuantil (inversa de la funció de distribució acumulada) per a una variable aleatòria $X\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$ està donada per

$F^{-1}(p)=\frac{-\ln (1-p)}{\lambda }0\le p<1$

per lo que els cuantiles són:

El primer cuartil és

$F^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{\ln \left(\frac{3}{4}\right)}{\lambda }=\frac{1}{\lambda }\ln \left(\frac{4}{3}\right)$

La mijana és

$F^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{\ln \left(\frac{1}{2}\right)}{\lambda }=\frac{\ln (2)}{\lambda }$

I el tercer cuartil està donat per

$F^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)=-\frac{\ln \left(\frac{1}{4}\right)}{\lambda }=\frac{\ln (4)}{\lambda }$

Valor en risc condicional (pèrdua esperada)

El valor condicional en risc (CVaR) també conegut com dèficit esperat o supercuantil per a Exp(λ) s'obté de la següent manera:

$$\begin{array}{cc}{\overline{q}}_{\alpha }(X)& =\frac{1}{1-\alpha }\underset{\alpha }{\overset{1}{\int }}{q}_p(X)dp\\ & =\frac{1}{(1-\alpha )}\underset{\alpha }{\overset{1}{\int }}\frac{-\ln (1-p)}{\lambda }dp\\ & =\frac{-1}{\lambda (1-\alpha )}\underset{1-\alpha }{\overset{0}{\int }}-\ln (y)dy\\ & =\frac{-1}{\lambda (1-\alpha )}\underset{0}{\overset{1-\alpha }{\int }}\ln (y)dy\\ & =\frac{-1}{\lambda (1-\alpha )}[(1-\alpha )\ln (1-\alpha )-(1-\alpha )]\\ & =\frac{-\ln (1-\alpha )+1}{\lambda }\\ \end{array}$$

Provabilitat de superació amortiguada (bPOE)

La provabilitat amortiguada de superació és un menys el nivell de provabilitat en el que el CVaR és igual al llindar $x$. S'obté de la següent manera:

$$\begin{array}{cc}{\overline{p}}_x(X)& =\{1-\alpha |{\overline{q}}_{\alpha }(X)=x\}\\ & =\{1-\alpha |\frac{-\ln (1-\alpha )+1}{\lambda }=x\}\\ & =\{1-\alpha |\ln (1-\alpha )=1-\lambda x\}\\ & =\{1-\alpha |e^{\ln (1-\alpha )}=e^{1-\lambda x}\}=\{1-\alpha |1-\alpha =e^{1-\lambda x}\}=e^{1-\lambda x}\end{array}$$

Divergència de Kullback-Leibler

La divergència de Kullback-Leibler dirigida en nats de $e^{\lambda }$ (distribution d'aproximació) de $e^{{\lambda }_0}$ (distribució "verdadera") ve donada per $$\begin{array}{cc}\Delta ({\lambda }_0\parallel \lambda )& ={𝔼}_{{\lambda }_0}(\log \frac{p_{{\lambda }_0}(x)}{p_{\lambda }(x)})\\ & ={𝔼}_{{\lambda }_0}(\log \frac{{\lambda }_0{e}^{{\lambda }_{0}x}}{\lambda e^{\lambda x}})\\ & =\log ({\lambda }_0)-\log (\lambda )-({\lambda }_0-\lambda )E_{{\lambda }_0}(x)\\ & =\log ({\lambda }_0)-\log (\lambda )+\frac{\lambda }{{\lambda }_0}-1.\end{array}$$

Distribució de màxima entropía

Entre totes les distribucions de provabilitat contínues en soporte tancada-oberta 0, ∞ i mija μ, la distribució exponencial en λ = 1/μ té la major entropía diferencial. En atres paraules, és la distribució de provabilitat de màxima entropía per a una variant aleatòria X que és major o igual que zero i per a la que I[X] és fixa.

Distribució del mínim de variables aleatòries exponencials

Siguen X₁, ..., X_n variables aleatòries exponencialment distribuïdes en paràmetros de taxa λ₁, ..., λ_n. Llavors $$\min \{X_1,\dots ,X_n\}$$ també es distribuïx exponencialment, en el paràmetro $$\lambda ={\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n.$$

Açò pot vore's considerant la funció de distribució acumulativa complementària:

$$\begin{array}{cc}& \mathrm{Pr}(\min \{X_1,\dots ,X_n\}>x)\\ =& \mathrm{Pr}(X_1>x,\dots ,X_n>x)\\ =& \prod _{i=1}^n\mathrm{Pr}(X_i>x)\\ =& \prod _{i=1}^n\exp (-x{\lambda }_i)=\exp (-x\sum _{i=1}^n{\lambda }_i).\end{array}$$

L'índex de la variable que alcança el mínim es distribuïx segons la distribució categòrica $$\mathrm{Pr}(X_k=\min \{X_1,\dots ,X_n\})=\frac{{\lambda }_k}{{\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n}.$$

Pot vore's una prova deixant que $I={\mathrm{argmin}}_{i\in \{1,\cdots ,n\}}\{X_1,\dots ,X_n\}$. Llavors, $$\begin{array}{cc}\mathrm{Pr}(I=k)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{Pr}(X_k=x)\mathrm{Pr}({\mathrm{\forall }}_{i\ne k}{X}_i>x)dx\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\lambda }_k{e}^{-{\lambda }_{k}x}\left(\prod _{i=1,i\ne k}^n{e}^{-{\lambda }_{i}x}\right)dx\\ & ={\lambda }_k\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-({\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n)x}dx\\ & =\frac{{\lambda }_k}{{\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n}.\end{array}$$

Note's que $$\max \{X_1,\dots ,X_n\}$$

$$\max \{X_1,\dots ,X_n\}$$ no és una distribució exponencial, si X₁, …, X_n no tots tenen paràmetro 0.

Moments conjunts d'estadístics d'orde exponencial i.i.d

Sean $X_1,\dots ,X_n$ $n$ independent and identically distributed variables aleatòries exponencials en paràmetro de taxa λ. Sean $X_{(1)},\dots ,X_{(n)}$ els corresponents estadístics d'orde. Per a $i<j$ , el moment conjunt $\mathrm{E}\left[X_{(i)}{X}_{(j)}\right]$ dels estadístics d'orde $X_{(i)}$ i $X_{(j)}$ ve dau per

$$\begin{array}{cc}\mathrm{E}\left[X_{(i)}{X}_{(j)}\right]& =\sum _{k=0}^{j-1}\frac{1}{(n-k)\lambda }\mathrm{E}\left[X_{(i)}\right]+\mathrm{E}\left[X_{(i)}^2\right]\\ & =\sum _{k=0}^{j-1}\frac{1}{(n-k)\lambda }\sum _{k=0}^{i-1}\frac{1}{(n-k)\lambda }+\sum _{k=0}^{i-1}\frac{1}{((n-k)\lambda {)}^2}+{\left(\sum _{k=0}^{i-1}\frac{1}{(n-k)\lambda }\right)}^2.\end{array}$$ Açò pot vore's invocant la llei de l'expectativa total i la propietat sense memòria: $$\begin{array}{cc}\mathrm{E}\left[X_{(i)}{X}_{(j)}\right]& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{E}[X_{(i)}{X}_{(j)}\mid X_{(i)}=x]f_{X_{(i)}}(x)dx\\ & =\underset{x=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\mathrm{E}[X_{(j)}\mid X_{(j)}\ge x]f_{X_{(i)}}(x)dx& & (\text{since}{X}_{(i)}=x⟹X_{(j)}\ge x)\\ & =\underset{x=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x[\mathrm{E}\left[X_{(j)}\right]+x]f_{X_{(i)}}(x)dx& & \left(\text{by the memoryless property}\right)\\ & =\sum _{k=0}^{j-1}\frac{1}{(n-k)\lambda }\mathrm{E}\left[X_{(i)}\right]+\mathrm{E}\left[X_{(i)}^2\right].\end{array}$$

La primera equació se seguix de la llei de l'expectativa total. La segona equació explota el fet de que una volta que condicionem en $X_{(i)}=x$, deu seguir-se que $X_{(j)}\ge x$. La tercera equació es basa en la propietat sense memòria per a reemplaçar $\mathrm{E}[X_{(j)}\mid X_{(j)}\ge x]$ en $\mathrm{E}\left[X_{(j)}\right]+x$.

Eixemple

Eixemples per a la distribució exponencial és la distribució de la llongitut dels intervals d'una variable contínua que transcorren entre dos successos, que es distribuïxen segons la distribució de Poisson.

• El temps transcorregut en un centre de cridades fins a rebre la primera cridada del dia es podria modelar com una exponencial.
• L'interval de temps entre terremots (d'una determinada magnitut) seguix una distribució exponencial.
• Supongam una màquina que produïx fil d'aram, la cantitat de metros d'aram fins a trobar una falla en l'aram es podria modelar com una exponencial.
• En fiabilitat de sistemes, un dispositiu en taxa de fallo constant seguix una distribució exponencial.

Distribucions Relacionades

• Si $X\sim \mathrm{Laplace}(\mu ,{\beta }^{-1})$ llavors $|X-\mu |\sim \mathrm{Exp}(\beta )$.
• Si $X\sim \mathrm{Pareto}(1,\lambda )$ llavors $\ln (X)\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$.
• Si $X\sim \Gamma (1,\lambda )$ llavors $X\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$.

• Si $X_1,X_2,\dots ,X_n$ són variables aleatòries independents tals que $X_i\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$llavors $\sum _{i=1}^n{X}_i\sim \Gamma (n,\lambda )$, a on $\Gamma (n,\lambda )$ és la distribució de Erlang en paràmetros $n\in \mathbb{N}$ i $\lambda$, açò és $\sum _{i=1}^n{X}_i\sim \mathrm{Erlang}(n,\lambda )$. És dir, la suma de $n$ variables aleatòries independents en distribució exponencial en paràmetro $\lambda$ és una variable aleatòria en distribució de Erlang.

Distribució cumulativo ajustada a màxims anuals de pluges diàries

Inferència Estadística

Suponga que $X$ és una variable aleatòria tal que $X\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$ i $x_1,x_2,\dots ,x_n$ és una mostra provinent de $X$.

Estimació de Paràmetros

L'estimador per màxim verosimilitut de $\lambda$ es construïx com seguix:

La funció de verosimilitut està donada per

$\begin{array}{cc}ℒ(\lambda )& =\prod _{i=1}^n\lambda e^{-\lambda x_i}\\ & ={\lambda }^n\exp (-\lambda \sum _{i=1}^n{x}_i)\\ & ={\lambda }^n\exp (-\lambda n\overline{x})\end{array}$

a on

$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$

és la mija mostral.

Prenent logaritmos a la funció de verosimilitut

$\begin{array}{cc}\ln ℒ(\lambda )& =\ln ({\lambda }^n\exp (-\lambda n\overline{x}))\\ & =n\ln \lambda -\lambda n\overline{x}\end{array}$

derivant respecte a $\lambda$ obtenim

$\begin{array}{cc}\frac{d\ln ℒ}{d\lambda }& =\frac{d}{d\lambda }(n\ln \lambda -\lambda n\overline{x})\\ & =\frac{n}{\lambda }-n\overline{x}\end{array}$

Si igualem a $0$ obtenim l'estimador $\hat{\lambda }$ dau per

$\hat{\lambda }=\frac{1}{\overline{x}}$

l'estimador $\hat{\lambda }$ és un estimador NO insesgado puix

$\mathrm{E}[\hat{\lambda }]\ne \lambda$

Aplicació

En la hidrologia, la distribució exponencial s'ampra per a analisar variables aleatòries extrems de variables com a màxims mensuals i anuals de la precipitació diària. L'image blava ilustra un eixemple d'ajust de la distribució exponencial a pluges màximes diárias anuals ordenades, mostrant també la franja de 90% de confiança, basada en la distribució binomial. Les observacions presenten els marcadors de posició, com a part de l'anàlisis de freqüència acumulada.

Métodos computacionals

Generador de números pseudoaleatorios

Per a obtindre números pseudoaleatorios la variable aleatòria $X$ en distribució exponencial i paràmetro $\lambda$, s'utilisa un algoritme basat en el método de la transformada inversa.

Per a generar un valor de $X\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$ a partir d'una variable aleatòria $U\sim \mathrm{U}(0,1)$ s'utilisa el següent algoritme

$X=-\frac{1}{\lambda }\ln (1-U)$

utilisant el fet de que si $U\sim \mathrm{U}(0,1)$ llavors $1-U\sim \mathrm{U}(0,1)$ per lo que una versió més eficient de l'algoritme és

$X=-\frac{1}{\lambda }\ln (U)$

Vore també

• Procés de Poisson
• Distribució Gamma
• Distribució de Erlang
• Distribució χ²
• Distribució Poisson

Software

Es pot usar software i un programa de computadora per a l'ajust d'una distribució de provabilitat, incloent l'exponencial, a una série de senyes:

• Easy fit [2] archivat en Wayback Machine., "data analysis & simulation"
• ^{[enllaç trencat]}
• ModelRisk, "risk modelling software"
• Ricci distributions, fitting distrubutions with R , Vito Ricci, 2005
• Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples

• StatSoft distribution fitting [3] archivat en Wayback Machine.
• CumFreq [4] , lliure sense cost, inclou intervals de confiança a pur de la distribució binomial

Enllaços externs

• Calculadora Distribució exponencial
• [^{[enllaç trencat]}] Calcular la provabilitat d'una distribució exponencial en R (llenguage de programació)