Variables aleatòries independents i idénticamente distribuïdes

En teoria de provabilitat i estadística, un conjunt de variables aleatòries es consideren independents i idénticamente distribuïdes (i.i.d., iid o IID) si cada variable aleatòria té la mateixa distribució de provabilitat i totes són mútuament independents.

La suposició (o requisit) de que un conjunt observacions siguen i.i.d. simplifica les operacions de molts métodos estadístics (vore estadística matemàtica), per lo que és molt comuna en l'estadística inferencial. Aixina i tot, en aplicacions pràctiques de modelación estadística la suposició pot o no pot ser realista. Per a provar qué tan realiste és en un conjunt de senyes donat, es calcula l'autocorrelación, per mig de correlogramas i atres proves estadístiques.

Esta suposició és fonamental en la forma clàssica del teorema del llímit central, el qual afirma que, si una variable aleatòria és de quadrat integrable (Existix el moment no centrat d'orde dos), llavors la distribució de provabilitat de dita variable centrada en la seua esperança i normalisada en la seua desviació típica s'aproxima a una distribució normal.

Introducció

En estadística, usualment tractem en mostres aleatòries. Una mostra aleatòria pot ser considerada com un conjunt d'objectes que són elegits aleatoriamente; o, més formalment, és “una seqüència de variables aleatòries independents i idénticamente distribuïdes (IID)”.

En atres paraules, els térmens mostra aleatòria i IID són bàsicament lo mateix. En estadística, comunament diem “mostra aleatòria”, pero en provabilitat és més comuna dir “IID”.

• Idénticamente distribuïda significa que no existixen tendències generals, és dir, la distribució no varia i tots els elements en la mostra són presos de la mateixa distribució de provabilitat.
• Independent significa que els elements mostrals són tots events (o successos) independents. En atres paraules, no estan conectats entre ells de cap forma. Dit d'un atre modo, el coneiximent del valor d'una variable no proporciona cap informació sobre el valor de l'atra i viceversa.

Aplicacions

Les variables aleatòries independents i idénticamente distribuïdes en usades a sovint com un supòsit, el qual tendix a simplificar les matemàtiques subjacents. En aplicacions pràctiques del modelamiento estadístic, no obstant, el supòsit pot ser o no ser realiste.

El supòsit d'i.i.d. també és usat en el Teorema del llímit central, el qual establix que la funció de distribució de la suma (o mija) de variables i.i.d. en varianza finita s'aproxima a una distribució normal.

A sovint, el supòsit d'i.i.d. sorgix en el context de seqüències de variables aleatòries. Per lo que, "independent i idénticamente distribuïda" implica que un element en la seqüència és independent de les variables aleatòries que la varen precedir. D'esta manera, una seqüència i.i.d. és diferent d'una seqüència de Markov, a on la distribució de provabilitat per a la n-ésima variable aleatòria és una funció de les variables aleatòries anteriors en la seqüència (per a una seqüència de Markov de primer orde). Una secuencua i.i.d. no implica que les provabilitats per a tots els elements d'un espai mostral o espai d'events deuen ser iguals.. Per eixemple, tirades repetides d'un dau carregat (trucat) produiran una seqüència que és i.i.d., a pesar del fet de que els resultats siguen biaixats.