Teorema del llímit central

Teorema del llímit central

La teorema central del llímit o teorema del llímit central indica que, en condicions molt generals, si $S_n$ és la suma de $n$ variables aleatòries independents, en mija i varianza finitas, llavors la funció de distribució de $S_n$ «s'aproxima be» a una distribució normal (també cridada distribució gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). Aixina que, la teorema assegura que açò ocorre quan la suma d'estes variables aleatòries i independents és lo suficientment gran.

El nom ve d'un document científic escrit per George Pólya en 1920, titulat Über donen zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und dones Momentenproblem [Sobre la «teorema del llímit» (Grenzwertsatz) central del càlcul provabilístic i el problema dels moments], per lo que la denominació més fidel a l'original seria teorema central del llímit.

Esta teorema ha sofrit molts canvis durant el desenroll formal de la teoria de la provabilitat. Les versions anteriors de la teorema es remonten a 1811, pero en la seua forma general moderna, este resultat fonamental en la teoria de la provabilitat es va enunciar en precisió en una data tan tardana com 1920, servint aixina de pont entre la teoria de la provabilitat clàssica i la moderna.

Si $X_1,X_2,\dots ,X_n,\dots$ són mostres aleatòries extretes d'una població en mija global $\mu$ i varianza finita. ${\sigma }^2$, i si ${\overline{X}}_n$ és la mija mostral de les primeres $n$ mostres, llavors la forma llímit de la distribució, $Z=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\frac{{\overline{X}}_n-\mu }{{\sigma }_{\overline{X}}}\right)$, en ${\sigma }_{\overline{X}}=\sigma /\sqrt{n}$, és una distribució normal estàndar.

Per eixemple, supongam que s'obté una mostra que conté moltes observacions, cada observació es genera aleatoriamente de manera que no depén dels valors de les demés observacions, i que es calcula la mija aritmètica dels valors observats. Si este procediment es realisa moltes voltes, la teorema del llímit central diu que la distribució de provabilitat de la mija s'aproximarà molt a una distribució normal.

La teorema del llímit central té diverses variants. En la seua forma comuna, les variables aleatòries deuen ser independents i idénticamente distribuïdes (i.i.d.). En les seues variants, la convergència de la mija a la distribució normal també es produïx per a distribucions no idèntiques o per a observacions no independents, si complixen certes condicions.

La versió més antiga d'esta teorema, segons la qual la distribució normal pot utilisar-se com a aproximació a la distribució binomial, és el teorema de De Moivre-Laplace.

Introducció

Sabem que si $X$ és una variable aleatòria tal que $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ llavors la seua funció de densitat està donada per

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{\frac{-(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$

per a $x\in ℝ$ a on $\mu$ denota la mija i ${\sigma }^2$ la varianza de la variable aleatòria $X$. En particular quan $\mu =0$ i ${\sigma }^2=1$ obtenim

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{\frac{-x^2}{2}}$

és dir, la distribució normal estàndart, denotada per $X\sim N(0,1)$.

Es definix la variable aleatòria $S_n$ com la suma de $n$ variables aleatòries independents i idénticamente distribuïdes, cada una d'elles en una mija $\mu$ i varianza ${\sigma }^2<\mathrm{\infty }$, és dir

$S_n:=X_1+\cdots +X_n=\sum _{i=1}^n{X}_i$

a on $\mathrm{E}[X_i]=\mu$ i $\mathrm{Var}[X_i]={\sigma }^2$. En lo anterior, la mija de $S_n$ és $n\mu$ i la varianza és $n{\sigma }^2$ puix són variables aleatòries independents. En tal de fer més fàcil la comprensió de la teorema i el seu posterior us, es fa una estandardisació de $S_n$ com

$Z_n:=\frac{S_n-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}=\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}$

per a que la mija de la nova variable siga igual a $0$ i la desviació estàndar siga igual a $1$. Aixina, la variable $Z_n$ convergiran en distribució a la distribució normal estàndart $N(0,1)$ quan $n$ tenda a infinit. Com a conseqüència, si $\Phi (z)$ és la funció de distribució de $N(0,1)$ per a cada número real $z$ llavors

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{P}(Z_n\le z)=\Phi (z)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{z}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx$

a on $\mathrm{P}$ indica provabilitat i $\lim$ es referix a llímit matemàtic.

Seqüències independents

Qualsevol que siga la forma de la distribució de la població, la distribució mostral tendix a una gaussiana, i la seua dispersió ve donada per la teorema del llímit central.

TLC Clàssic

Siga $\{X_1,\dots ,X_n\}$ una seqüència de mostres aleatòries - és dir, una seqüència de variables aleatòries i.i.d. extretes d'una població en distribució de valor esperat $\mu$ i varianza finita ${\sigma }^2$. Supongam que estem interessats en la mija mostral $${\overline{X}}_n\equiv \frac{X_1+\cdots +X_n}{n}$$ de les primeres $n$ mostres. Per la llei dels grans números, els promijos mostrals convergixen casi segur (i per tant també convergixen en provabilitat) al valor esperat $\mu$ com $n\to \mathrm{\infty }$..

La teorema clàssica del llímit central descriu el tamany i la forma de distribució de les fluctuacions estocàstiques al voltant del número determinista $\mu$ durant esta convergència. Més concretament, afirma que a mida que $n$ es fa major, la distribució de la diferència entre la mija mostral ${\overline{X}}_n$ i el seu llímit $\mu$, quan es multiplica pel factor $\sqrt{n}$ ( és dir $\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu )$) s'aproxima a la distribució normal en mija 0 i varianza ${\sigma }^2$. Per a n suficientment gran, la distribució de ${\overline{X}}_n$ s'aproxima arbitrariamente a la distribució normal en mija $\mu$ i varianza ${\sigma }^2/n$.

L'utilitat de la teorema és que la distribució de $\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu )$ s'aproxima a la normalitat independentment de la forma de la distribució de cada $X_i$. Formalment, la teorema pot enunciar-se de la següent manera: Teorema de Lindeberg–Lévy CLT:

Supongam que $\{X_1,\dots ,X_n,\dots \}$ és una seqüència de variables aleatòries i.i.d. en $𝔼[X_i]=\mu$ i $\mathrm{Var}[X_i]={\sigma }^2<\mathrm{\infty }$. Llavors es té $n$ s'aproxima a infinit, les variables aleatòries $\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu )$ convergixen en la distribució a una normal $𝒩(0,{\sigma }^2)$: $$\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu )\stackrel{d}{\to }𝒩(0,{\sigma }^2).$$

En el cas $\sigma >0$, convergir en la distribució significa que la funció de distribució acumulativa de $\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu )$ convergixen puntualment a la cdf de la $𝒩(0,{\sigma }^2)$ distribució: per a cada número real $z$, $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathbb{P}[\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu )\le z]=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathbb{P}[\frac{\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu )}{\sigma }\le \frac{z}{\sigma }]=\Phi \left(\frac{z}{\sigma }\right),$$ a on $\Phi (z)$ és la fdc normal estàndart evaluada at $z$. La convergència és uniforme en $z$ en el sentit de que $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{z\in ℝ}{\sup }|\mathbb{P}[\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu )\le z]-\Phi \left(\frac{z}{\sigma }\right)|=0,$$ a on $\sup$ denota el llímit superior mínim (o suprem) del conjunt.

Teorema

De manera formal i compactar la teorema enuncia

Sean $X_1,X_2,\dots ,X_n$ variables aleatòries independents i idénticamente distribuïdes en $\mathrm{E}[X_i]=\mu$ i $\mathrm{Var}(X_i)={\sigma }^2<\mathrm{\infty }$, es definix

$Z_n:=\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}$

Llavors la funció de distribució de $Z_n$ convergix cap a la funció de distribució normal estàndart quan $n\to \mathrm{\infty }$, és dir,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{P}(Z_n\le z)=\Phi (z)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{z}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx$

És molt comú trobar-ho en la variable estandardisada $Z_n$ en funció de la mija mostral $\bar{X}$, és dir

$Z_n=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$

lloc que són equivalents (només es dividix tant numerador com a denominador entre $n$).

És important remarcar que esta teorema no diu res sobre la distribució de la variable aleatòria $X_i$, llevat l'existència de mija i varianza.

Propietats

• La teorema del llímit central garantisa una distribució aproximadament normal quan $n$ és suficientment gran.

• Existixen diferents versions de la teorema, en funció de les condicions utilisades per a assegurar la convergència. Una de les més simples establix que és suficient que les variables que se sumen siguen independents, idénticamente distribuïdes, en valor esperat i varianza finitas.

• L'aproximació entre les dos distribucions és, en general, major en el centre de les mateixes que en els seus extrems o coes, motiu pel qual es preferix el nom "teorema del llímit central" ("central" califica al llímit, més que a la teorema).

• Esta teorema, pertanyent a la teoria de la provabilitat, troba aplicació en molts camps relacionats, tals com la inferència estadística o la teoria de renovació.

Varianza nula o infinita

En el cas de $n$ variables aleatòries $X_i$ independents i idénticamente distribuïdes, cada una d'elles en varianza nula o infinita, la distribució de les variables

$S_n=\frac{X_1+\cdots +X_n}{n}$

no convergixen en distribució cap a una normal.

A continuació es presenten els dos casos per separat.

Varianza infinita

Considere's el cas de variables que seguixen una distribució de Cauchy:

$F_{X_i}(x)=\frac{1}{\pi }\arctan x$

En este cas pot demostrar-se que la distribució asintòtica de $S_n$ ve donada per una atra distribució de Cauchy:

$F_{S_n}(x)=\frac{1}{\pi }\arctan \frac{x}{n}$

Per a atres distribucions d'varianza infinita no és fàcil donar una expressió tancada per a la seua distribució de provabilitat encara que la seua funció característica sí té una forma senzilla, donada per la teorema de Lévy-Khintchine:

${\phi }_{S_n}(t)=\exp [ist-c|t{|}^{\alpha }(1+i\gamma \frac{t}{|t|}u(t,\alpha ))]$

a on $c\ge 0,-1\ge \gamma \ge 1,0<\alpha \ge 2$ i:

$u(t,\alpha )=\{\begin{array}{cc}\tan \frac{\pi \alpha }{2}& \alpha \ne 1\\ \frac{2}{\pi }\ln |t|& \alpha =1\end{array}$

Les condicions anteriors equivalen a que una distribució de provabilitat siga una distribució estable.

Varianza nula

Este cas correspon trivialmente a una funció degenerada tipo delta de Dirac la funció de la qual de distribució ve donada per:

$F_{X_i}(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\delta (s-x_0)ds=\{\begin{array}{cc}0& x<x_0\\ 1& x\ge x_0\end{array}$

En este cas resulta que la variable $S_n$ trivialmente té la mateixa distribució que cada una de les variables independents.

Vore també

• Llei dels grans números
• Distribució normal
• Teorema de De Moivre-Laplace

Bibliografia

• “Central limit theorems for Gaussian polytopes” (2007). Annals of Probability 35 (4): 1593–1621. Institute of Mathematical Statistics. doi:10.1214/009117906000000791.
• Bauer, Heinz (2001). Measure and Integration Theory, Berlin: de Gruyter. ISBN 3110167190.
• Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure, 3rd edició, John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2.
• Bradley, Richard (2007). Introduction to Strong Mixing Conditions, 1st edició, Heber City, UT: Kendrick Press. ISBN 978-0-9740427-9-4.
• “Central Limit Theorem: New SOCR Applet and Demonstration Activity” (2008). Journal of Statistics Education 16 (2): 1–15. TORRA. doi:10.1080/10691898.2008.11889560. PMID 21833159. PMC:3152447.
• Durrett, Richard (2004). Probability: theory and examples, 3rd edició, Cambridge University Press. ISBN 0521765390.
• Gaposhkin, V. F. (1966). “Lacunary séries and independent functions”. Russian Mathematical Surveys 21 (6): 1–82. doi:10.1070/RM1966v021n06ABEH001196. Bibcode: 1966RuMaS..21....1G..
• Klartag, Bo'az. “A central limit theorem for convex sets”. Inventiones Mathematicae 168 (1): 91–131. doi:10.1007/s00222-006-0028-8. Bibcode: 2007InMat.168...91K.
• Klartag, Bo'az. “A Berry–Esseen type inequality for convex bodies with an unconditional basis”. Probability Theory and Related Fields 145 (1–2): 1–33. doi:10.1007/s00440-008-0158-6.
• Blaiotta, Jimena; Delieutraz, Pablo. «Teorema central del llímit» (en castellà) (PDF). Consultat el 15 de decembre de 2010.
• Behar Gutiérrez; Grima Cintes, {{{nom2}}} (2004). 55 respostes a dubtes típics d'Estadística (en castellà), Madrit: Edicions Díaz de Sants, S.A, pp. 187-189. ISBN 84-7978-643-4.

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Teorema del llímit central.
• Central Limit Theorem at Khan Academy
• Plantilla:Springer
• Central Limit Theorem en MathWorld.

• A music video demonstrating the central limit theorem with a Galton board by Carl McTague