Delta de Dirac

Diagrama esquemàtic de la funció delta de Dirac.

La delta de Dirac o funció delta de Dirac és una distribució o funció generalisada introduïda per primera volta pel físic britànic Paul Dirac i, com a distribució, definix una funció en forma d'integral sobre un cert espai de funcions. S'escriu com:

${\delta }_a(x)\equiv \delta (x-a)$

sent $\delta (x)$ la funció que tendix a infinit quan x=a i, per a qualsevol atre valor de x, és igual a 0.

En física, la delta de Dirac pot representar la distribució de densitat d'una massa unitat concentrada en un punt a de l'eix horisontal. Esta funció constituïx una aproximació molt útil per a funcions picudas i constituïx el mateix tipo d'abstracció matemàtica que una càrrega o massa puntual. En ocasions es denomina també funció d'impuls. Ademés, la delta de Dirac permet definir la derivada generalisada de funcions discontínues. Concretament, es té la següent relació en la funció escaló de Heaviside:

${{\delta }_a}^{\prime }(x)={\theta }_a(x)$

Intuitivamente es pot imaginar la funció $\delta (x)$ com una funció que té un valor infinit en x = 0; té un valor nul en qualsevol atre punt, de tal manera que la seua integral és un.

Definicions

La delta de Dirac és una funció generalisada que ve definida per la següent fòrmula integral:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (x-a)f(x)dx=f(a)[\text{e.g.}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (x-a)dx=1]$

A on f(x)= 1 (funció constant)

La delta de Dirac no és una funció estrictament parlant, la justificació donada comunament és que requeriria prendre valors infinits, pero este no és un problema, puix la funció pot tindre de codominio la recta real estesa; el problema és que no existix una funció en la propietat descrita, puix un punt és un conjunt de mida nula, per lo tant (Lebesgue)-integra 0 sempre. A voltes, informalment, s'expressa la delta de Dirac com el llímit d'una successió de funcions que tendix a zero en tot punt de l'espai llevat en un punt per al qual divergiria cap a infinit; d'ahí la «expressió informal» com funció definida a trossos:

$\delta (x)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& x=0\\ 0,& x\ne 0\end{array};$

És freqüent que en física la delta de Dirac s'use com una distribució de provabilitat idealizada; tècnicament, de fet, és una distribució (en el sentit de Schwartz).

En térmens del anàlisis dimensional, esta definició de $\delta (x)$ implica que $\delta (x)$ posseïx dimensions recíproques a dx.

Definició com a distribució de densitat

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\delta (x-x_0)dx=\{\begin{array}{cc}f(x_0)& \text{si }a<x_0<b\\ 0& \text{si }{x}_0<a\text{o}{x}_0>b\end{array}$

Definició com a llímit de successions de funcions

La delta de Dirac es definix com a «llímit distribucional» d'una successió de funcions que convergixen puntualment a la funció zero en tots els punts del seu domini llevat un. Es diu que una successió de funcions $f_n(x)$ convergix distribucionalment quan:

$[\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_n(x)\varphi (x)dx]\to d(\varphi )$

A on $\varphi$ és una funció pertanyent a un espai vectorial de funcions, i d és un funcional continu de l'espai vectorial dual (el conjunt d'eixos elements continus és un subespacio vectorial del dual, conegut com espai dual topològic de l'espai original de funcions.

La delta de Dirac centrada es pot definir com el llímit distribucional del funcional dau per $d(\varphi )=\varphi (0)$, és dir, el llímit en el sentit de les distribucions d'una successió de funcions tals que:

$[\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_n(x)\varphi (x)dx]\to \varphi (0)$

Alguns eixemples possibles de successió de funcions que complixca lo anterior són:

$\begin{array}{cc}{f}_n(x)& =\{\begin{array}{c}n\Vert x\Vert <\frac{1}{2n}\\ 0\Vert x\Vert \ge \frac{1}{2n}\end{array}\\ f_n(x)& =\frac{n}{\sqrt{\pi }}{e}^{-n^2{x}^2}\\ f_n(x)& =\frac{1}{\pi }\left(\frac{n}{n^2{x}^2+1}\right)\\ f_n(x)& =\frac{\mathrm{sen}nx}{\pi x}\end{array}$

Propietats

Estes propietats es poden demostrar multiplicant abdós membres de cada igualtat per una funció $f(x)$ i integrant tenint en conte que la funció delta no pot formar part del resultat a menos que estiga dins d'una integral.

• $\delta (x)=\delta (-x)$
• $f(x){\delta }^{\prime }(x)=-f^{\prime }(x)\delta (x)$ lo que implica que $x{\delta }^{\prime }(x)=-\delta (x)$
• ${\delta }^{\prime }(x)=-{\delta }^{\prime }(-x)$
• $x^n\delta (x)=0\mathrm{\forall }n>0,x\in ℝ$
• $(x-a{)}^n\delta (x-a)=0\mathrm{\forall }n>0$
• $\delta (ax-b)=|a{|}^{-1}\delta (x-(b/a))\mathrm{\forall }a\ne 0$
• $h(x)\delta (x-a)=h(a)\delta (x-a)$
• $h(x){\delta }^{\prime }(x-a)=h(a){\delta }^{\prime }(x-a)-h^{\prime }(a)\delta (x-a)$
• $\delta (f(x))=\sum _n|f^{\prime }(x_n){|}^{-1}\delta (x-x_n),\text{con}f(x_n)=0,f^{\prime }(x_n)\ne 0$
• $\delta (x^2-{\alpha }^2)=\frac{1}{2|\alpha |}[\delta (x+\alpha )+\delta (x-\alpha )]$
• $\delta (\omega )=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i\omega t}dt$
• $\delta (x)$ és de classe $C^{-2}(ℝ)$
• $a\in ℝ:\int h(x)\delta (x-a)dx=h(a)H(x-a)+𝐂$ en $H(x)$ la Funció escaló de Heaviside i $𝐂$ la constant d'integració.
• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (x-a)\delta (x-b)dx=\delta (a-b)=\delta (b-a)$

En coordenades esfèriques es té:

$\delta (𝐫-{𝐫}_0)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{r^2\mathrm{sen}\theta }\delta (r-r_0)\delta (\theta -{\theta }_0)\delta (\varphi -{\varphi }_0)& x_0,y_0,z_0\ne 0\\ \frac{1}{2\pi r^2\mathrm{sen}\theta }\delta (r-r_0)\delta (\theta -{\theta }_0)& x_0=y_0=0,z_0\ne 0\\ \frac{1}{4\pi r^2}\delta (r-r_0)& x_0=y_0=z_0=0\end{array}$