Coordenades esfèriques

Coordenades esfèriques

Elements de les coordenades esfèriques

El sistema de coordenades esfèriques es basa en la mateixa idea que les coordenades polars i s'utilisa per a determinar la posició espacial d'un punt per mig d'una distància i dos ànguls. En conseqüència, un punt P queda representat per un conjunt de tres magnituts: el ràdio $r$, l'àngul polar o colatitud $\theta$ i l'assimutal $\phi$.

Alguns autors utilisen la latitut, en lloc de colatitud, en el cas del qual el seu marge és de -90° a 90° (de -π/2 a π/2 radianes), sent el zero el pla XY. També pot variar la mida de l'assimutal, segons es medixca l'àngul en sentit rellonge o contrarellonge, i de 0° a 360° (0 a 2π en radianes) o de -180° a +180° (-π a π).

Es deu tindre en conte qué convenció utilisa un autor determinat.

Convenis utilisats

Conveni internacional

Archiu:Coordenadas esféricas 04.svg

La majoria dels físics, ingeniers i matemàtics no nortamericans escriuen:

• $\phi$, l'assimutal  : de 0° a 360°
• $\theta$, la colatitud : de 0° a 180°

Esta és la convenció que se seguix en este artícul. En el sistema internacional, els rancs de variació de les tres coordenades són:

$0\le r<\mathrm{\infty }0\le \theta \le \pi 0\le \phi <2\pi$

La coordenada radial és sempre positiva. Si reduint el valor de $r$ aplega a alcançar-se el valor 0, a partir d'ahí, $r$ torna a aumentar, pero $\theta$ pansa a valdre π-$\theta$ i $\phi$ aumenta o disminuïx en π radianes. TRP

Conveni nortamericà

Actualment, el conveni usat en els EE. UU. no és el mateix que l'europeu. Per a denotar l'àngul assimutal s'usa $\theta$ i per a referir-se al polar, latitut o colatitud s'usa $\phi$.

Relació en atres sistemes de coordenades

Relació en les coordenades cartesianas

Sobre els conjunts oberts:

$U=\{(r,\theta ,\phi )|r>0,0<\theta <\pi ,0\le \phi <2\pi \}\text{y}V=\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2>0\}$

Existix una correspondència unívoca $F:V\to U$entre les coordenades cartesianas i les esfèriques, definides per les relacions:

$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\theta =\{\begin{array}{cc}\arctan \left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)& z>0\\ \frac{\pi }{2}& z=0\\ \pi +\arctan \left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)& z<0\end{array}\phi =\{\begin{array}{cc}\arctan \left(\frac{y}{x}\right)& x>0\text{ y }y>0\text{ (1° Q)}\\ 2\pi +\arctan \left(\frac{y}{x}\right)& x>0\text{ y }y<0\text{ (4° Q)}\\ \frac{\pi }{2}\text{sgn}(y)& x=0\\ \pi +\arctan \left(\frac{y}{x}\right)& x<0\text{ (2° y 3° Q)}\end{array}$

Estes relacions es fan singulars quan tracten d'estendre's al propi eix $z$, a on $x^2+y^2=0$, en el qual φ, no està definida. Ademés, φ no és contínua en cap punt $(x,y,z)$ tal que $x=0$.

La funció inversa $F^{-1}$ entre els dos mateixos oberts pot escriure's en térmens de les relacions inverses:

$x=r\mathrm{sen}\theta \cos \phi y=r\mathrm{sen}\theta \mathrm{sen}\phi z=r\cos \theta$

Sent el seu jacobiano:

$\left|J\right|=r^2\mathrm{sen}\theta$

Archiu:Coordenadas esféricas a rectangulares.svg

Coordenades esfèriques i eixos cartesianos relacionats

Relació en les coordenades cilíndriques

Com a sistema intermig entre les coordenades cartesianas i les esfèriques, està el de les coordenades cilíndriques, que es relaciona en el de les esfèriques per les relacions

$r=\sqrt{{\rho }^2+z^2}\theta =\arctan \left(\frac{\rho }{z}\right)\phi =\phi$

i les seues inverses

$\rho =r\mathrm{sen}\theta \phi =\phi z=r\cos \theta$

Vore també

• Sistema de coordenades
• Coordenades geogràfiques
• Coordenades cartesianas
• Coordenades cilíndriques
• Factors d'escala

Bibliografia

• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I, New York: McGraw-Hill, pp. 658. ISBN 0-07-043316-X.
• Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry, New York: D. van Nostrand, pp. 177–178.

• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, New York: McGraw-Hill, pp. 174–175.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel dones Ingenieurs, New York: Springer Verlag, pp. 95–96.
• Moon P, Spencer DE (1988). «Spherical Coordinates (r, θ, ψ)», Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print edició, New York: Springer-Verlag, pp. 24–27 (Table 1.05). ISBN 978-0-387-18430-2.
• Duffett-Smith P, Zwart J (2011). Practical Astronomy with your Calculator or Spreadsheet, 4th Edition, New York: Cambridge University Press, pp. 34. ISBN 978-0521146548.