Coordenades cilíndriques

El sistema de coordenades cilíndriques és molt convenient en aquells casos en que es tracten problemes que tenen simetria de tipo cilíndric o assimutal. Es tracta d'una versió en tres dimensions de les coordenades polars de la geometria analítica plana.

Un punt $P$ en coordenades cilíndriques es representa per $(ρ, φ, z)$ a on:

$ρ$ : Coordenada radial, definida com la distància del punt $P$ a l'eix $z$ , o be la llongitut de la proyecció del radiovector sobre el pla $X Y$
$φ$ : Coordenada assimutal, definida com l'àngul que forma en l'eix $X$ la proyecció del radiovector sobre el pla $X Y$ .
$z$ : Coordenada vertical o altura, definida com la distància, en si

Archiu:Cylindrical coordinate surfaces.png

Els rancs de variació de les tres coordenades són

0 \leq ρ < \infty 0 \leq φ < 2 π - \infty < z < \infty

La coordenada assimutal $φ$ es fa variar en ocasions des de $- π$ a $π$ . La coordenada radial és sempre positiva. Si reduint el valor de $ρ$ aplega a alcançar-se el valor 0, a partir d'ahí, $ρ$ torna a aumentar, pero $φ$ aumenta o disminuïx en $π$ radianes.

Relació en atres sistemes de coordenades

Relació en les coordenades cartesianas

Archiu:Cylindrical with grid.svg

Coordenades cilíndriques i eixos cartesianos relacionats.

Tenint en conte la definició de l'àngul $φ$ , obtenim les següents relacions entre les coordenades cilíndriques i les cartesianas:

x = ρ \cos φ, y = ρ sen φ, z = z

Llínees i superfícies coordenades

Les llínees coordenades

Llínees coordenades ρ: Semirrecta horisontals partint de l'eix $Z$ .
Llínees coordenades $φ$ : Circumferències horisontals.
Llínees coordenades $z$ : Rectes verticals.

Archiu:Lineas coordenadas cilindricas.png

Les superfícies coordenades són aquelles s'obtenen fixat successivament cada una de les coordenades d'un punt. Per a este sistema són:

Superfícies ρ=cte.: Cilindres rectes verticals.
Superfícies $φ$ =cte.: Semiplanos verticals.
Superfícies $z$ =cte.: Plans horisontals.

Les llínees i superfícies coordenades d'este sistema són perpendiculars dos a dos en cada punt. Per això, este és un sistema ortogonal.

Vore també

Este artícul conté una traducció derivada de «Coordenadas cilíndricas» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.