Coordenades polars

Localisació d'un punt en coordenades polars

Les coordenades polars o sistema de coordenades polars són un sistema de coordenades bidimensional en el que cada punt del pla es determina per una distància i un àngul. Este sistema és àmpliament utilisat en física i trigonometria.

De manera més precisa, com a sistema de referència es pren: (a) un punt O del pla, al que es diu orige o pol; i (b) una recta dirigida (o raig, o segment OL) que passa per O, cridada <o>eix polar</o> (equivalent a l'eix x del sistema cartesiano). En este sistema de referència i una unitat de mida mètrica (per a poder assignar distàncies entre cada parell de punts del pla), tot punt P del pla correspon a un parell ordenat (r, θ) a on r és la distància de P al orige i θ és l'àngul format entre l'eix polar i la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ creix en sentit antihorario i decreix en sentit horari. La distancia r (r ≥ 0) es coneix com la «coordenada radial» o «ràdio vector», mentres que l'àngul és la «coordenada angular» o «àngul polar».

En el cas del orige, O, el valor de r és zero, pero el valor de θ és indefinit. En ocasions s'adopta la convenció de representar l'orige per (0,0°).

Història

Archiu:Polar graph paper.svg

Sistema de coordenades polars en varis ànguls medits en graus

Si be existixen testimonis de que els conceptes d'àngul i ràdio es coneixen i manegen des de l'antiguetat, no és sino fins a el XVII, posterior a l'invenció de la geometria analítica, quan es pot parlar del concepte formal de sistema coordenades polars.

Els primers usos empírics de relacions entre ànguls i distàncies es relacionen en aplicacions a la navegació i l'estudi de la volta celest. L'astrònom Hiparco (190 a. C.-120 a. C.) va crear una taula trigonométrica que donava la llongitut d'una cuerdo en funció de l'àngul. També existixen referències de l'us de coordenades polars per a establir la posició de les estrelas. En el tractat Sobre les espirals, Arquímedes descriu la cridada espiral de Arquímedes, una funció el radi de la qual depén de l'àngul. No obstant, estes aplicacions no feyen us d'un sistema de coordenades com a mig de localisar punts en el pla, situació anàloga a l'estat de la geometria abans de l'invenció de la geometria analítica.

En temps moderns, Grégoire de Saint-Vincent i Bonaventura Cavalieri varen introduir de forma independent el concepte de coordenada polar a mitan de el XVII en la solució de problemes geomètrics. Saint-Vincent va escriure sobre este tema en 1625 i va publicar els seus treballs en 1647, mentres que Cavalieri va publicar els seus escrits en 1635 i una versió corregida en 1653. Cavalieri va utilisar en primer lloc les coordenades polars per a resoldre un problema relacionat en l'àrea dins d'una espiral de Arquímedes. Blaise Pascal va utilisar posteriorment les coordenades polars per a calcular la llongitut d'arcs parabòlics.

No obstant, el concepte abstracte de sistema de coordenada polar es deu a sir Isaac Newton, qui en el seu Método de les fluxiones escrit en 1671 i publicat en 1736, introduïx huit nous sistemes de coordenades (ademés de les cartesianas) per a resoldre problemes relatius a tangentes i curves, un dels quals, el sèptim, és el de coordenades polars. En el periòdic Acta Eruditorum Jacob Bernoulli va utilisar en 1691 un sistema en un punt en una llínea, cridant-los pol i eix polar respectivament. Les coordenades es determinaven per mig de la distància al pol i l'àngul respecte al eix polar. El treball de Bernoulli va servir de base per a trobar el ràdio de curvatura de certes curves expressades en este sistema de coordenades.

El terme actual de coordenades polars s'atribuïx a Gregorio Fontana, i va ser utilisat pels escritors italians de el XVIII. El terme apareix per primera volta en anglés en la traducció de 1816 efectuada per George Peacock del Tractat del càlcul diferencial i del càlcul integral de Sylvestre François Lacroix, mentres que Alexis Clairaut va ser el primer que va pensar en ampliar les coordenades polars a tres dimensions.

Representació de punts en coordenades polars

Archiu:CircularCoordinates.svg

En la figura es representa un sistema de coordenades polars en el pla, el centre de referència (punt O) i la llínea OL sobre la que es medixen els ànguls. Per a referenciar un punt s'indica la distància al centre de coordenades i l'àngul sobre l'eix OL.

El punt (3, 60°) indica que està a una distància de 3 unitats des de O, mides en un àngul de 60° sobre OL.
El punt (4, 210°) indica que està a una distància de 4 unitats des de O i un àngul de 210° sobre OL.

Un aspecte a considerar en els sistemes de coordenades polars és que un únic punt del pla pot representar-se en un número infinit de coordenades diferents, la qual cosa no succeïx en el sistema de coordenades cartesianas. O siga que en el sistema de coordenades polars no hi ha una correspondència biunívoca entre els punts del pla i el conjunt de les coordenades polars. Açò ocorre per dos motius:

Un punt, definit per un àngul i una distància, és el mateix punt que l'indicat per eixe mateix àngul més un número de revolucions completes i la mateixa distància. En general, el punt ( $r$ , θ) es pot representar com ( $r$ , θ ± $n$ ×360°) o (− $r$ , θ ± (2 $n$ + 1)180°), a on $n$ és un número entero qualsevol.
El centre de coordenades està definit per una distància nula, independentment dels ànguls que s'especifiquen. Normalment s'utilisen les coordenades arbitràries (0, θ) per a representar el pol, ya que independentment del valor que prenga l'àngul θ, un punt en radi 0 es troba sempre en el pol. Estes circumstàncies deuen tindre's en conte per a evitar confusions en este sistema de coordenades. Per a obtindre una única representació d'un punt, se sol llimitar $r$ a números no negatius $r$ ≥ 0 i θ al interval [0, 360°] o [−180°, 180°] (en radianes, [0, 2π] o [−π, π]).

Els ànguls en notació polar s'expressen normalment en graus o en radianes, depenent del context. Per eixemple, les aplicacions de navegació marítima utilisen les mides en graus, mentres que algunes aplicacions físicas (especialment la mecànica rotacional) i la major part del càlcul matemàtic expressen les mides en radianes.

Conversió de coordenades

Passe de coordenades polars a rectangulars i viceversa

Archiu:Polar to cartesian.svg

Diagrama ilustrativo de la relació entre les coordenades polars i les coordenades cartesianas

En el pla d'eixos xy en centre de coordenades en el punt O es pot definir un sistema de coordenades polars d'un punt M del pla, definides per la distancia r al centre de coordenades, i l'àngul $θ$ del vector de posició sobre l'eix x.

Conversió de coordenades polars a rectangulars

Definit un punt en coordenades polars pel seu àngul $θ$ sobre l'eix x, i la seua distància r al centre de coordenades, es té:

x = r \cos θ

y = r sen θ

Conversió de coordenades rectangulars a polars

Definit un punt del pla per les seues coordenades rectangulars (x,i), es té que la coordenada polar r és:

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

(aplicant el Teorema de Pitágoras)

Per a determinar la coordenada angular θ, es deuen distinguir dos casos:

Per a $r$ = 0, l'àngul θ pot prendre qualsevol valor real.

Per a $r$ ≠ 0, per a obtindre un únic valor de θ, deu llimitar-se a un interval de tamany 2π. Per convenció, els intervals utilisats són [0, 2π) i (−π, π].

Per a obtindre θ en l'interval [0, 2π), es deuen usar les següents fòrmules ( $\arctan$ denota l'inversa de la funció tangente):

θ = {\begin{matrix} \arctan (\frac{y}{x}) & si x > 0 y y \geq 0 \\ \frac{π}{2} & si x = 0 y y > 0 \\ \arctan (\frac{y}{x}) + π & si x < 0 \\ \frac{3 π}{2} & si x = 0 y y < 0 \\ \arctan (\frac{y}{x}) + 2 π & si x > 0 y y < 0 \end{matrix}

Per a obtindre $θ$ en l'interval $(- π, π]$ , es considera que $\arctan (\frac{y}{x}) \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ és una funció creixent en el seu domini:

θ = {\begin{matrix} \arctan (\frac{y}{x}) - π & si x < 0 y y < 0 \\ - \frac{π}{2} & si x = 0 y y < 0 \\ \arctan (\frac{y}{x}) & si x > 0 \\ \frac{π}{2} & si x = 0 y y > 0 \\ \arctan (\frac{y}{x}) + π & si x < 0 y y \geq 0 \end{matrix}

Molts llenguages de programació moderns eviten tindre que almagasenar el signe del numerador i del denominador gràcies a l'implementació de la funció nuguen2, que té arguments separats per al numerador i el denominador. En els llenguages que permeten arguments opcionals, la funció nuguen pot rebre com a paràmetro la coordenada x (com ocorre en Lisp).

Equacions polars

Se li crida equació polar a l'equació que definix una curva expressada en coordenades polars. En molts casos es pot especificar tal equació definint $r$ com una funció de θ. La curva resultant consistix en una série de punts en la forma ( $r$ (θ), θ) i es pot representar com la gràfica d'una funció $r$ .

Es poden deduir diferents formes de simetria de l'equació d'una funció polar $r$ . Si $r$ (−θ) = $r$ (θ) la curva serà simètrica respecte a l'eix horisontal (0°/180°), si $r$ (180°−θ) = $r$ (θ) serà simètrica respecte a l'eix vertical (90°/ 270°), i si $r$ (θ−α°) = $r$ (θ) serà simètric rotacionalmente α° en sentit horari respecte al pol.

Per la naturalea circular del sistema de coordenades polar, moltes curves es poden descriure en una simple equació polar, mentres que en la seua forma cartesiana seria molt més intrincado. Algunes de les curves més conegudes són la rosa polar, l'espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caragol de Pascal i la cardioide.

Per als apartats següents s'entén que el círcul, la llínea i la rosa polar no tenen restriccions en el domini i ranc de la curva.

Circumferència

Archiu:Circle r=1.svg

Un círcul en equació

r

(θ) = 1

L'equació general per a una circumferència en centre en ( $r$ ₀, φ) i ràdio $a$ és

r^{2} - 2 r r_{0} \cos (θ - φ) + r_{0}^{2} = a^{2} .

En certs casos específics, l'equació anterior es pot simplificar. Per eixemple, per a una circumferència en centre en el pol i ràdio a, s'obté:

r (θ) = a

Llínea

Les llínees radials (aquelles que travessen el pol) es representen per mig de l'equació

θ = φ

a on φ és l'àngul d'elevació de la llínea, açò és, φ = arctan $m$ a on $m$ és la pendent de la llínea en el sistema de coordenades cartesianas. La llínea no radial que creua la llínea radial θ = φ perpendicularmente al punt ( $r$ ₀, φ) té l'equació

r (θ) = r_{0} \sec (θ - φ) .

Rosa polar

Archiu:Rose 2sin(4theta).svg

Una rosa polar en equació

r

(θ) = 2 sense 4θ

La rosa polar és una famosa curva matemàtica que sembla una flor en pétals, i pot expressar-se com una equació polar simple,

r (θ) = a \cos (k θ + ϕ_{0})

per a qualsevol constant $ϕ_{0}$ (incloent al 0). Si k és un número entero, estes equacions representen una rosa de k pétals quan k és impar, o 2k pétals si k és parell. Si k és racional, pero no sancer, la gràfica és similar a una rosa, pero en els pétals solapados. Note's que estes equacions mai definixen una rosa en 2, 6, 10, 14, etc., pétals. La variable a representa la llongitut dels pétals de la rosa.

Si prenem sol valors positius per a r i valors en l'interval $[0, 2 π)$ per a $θ$ , la gràfica de l'equació:

r (θ) = | a \sin (\frac{k}{2} θ + ϕ_{0}) |

és una rosa de k pétals, per a qualsevol número natural $k$ . I si $k = 0$ , la gràfica és una circumferència de radi $r = | a \sin (ϕ_{0}) |$

Espiral de Arquímedes

Archiu:Spiral of Archimedes.svg

Un braç de l'espiral de Arquímedes en equació r(θ) = θ per a 0 < θ < 6π

l'espiral de Arquímedes és una famosa espiral descoberta per Arquímedes, la qual pot expressar-se també com una equació polar simple. Es representa en l'equació

r (θ) = a + b θ .

Un canvi en el paràmetro a produirà un gir en l'espiral, mentres que b controla la distància entre els braços, la qual és constant per a una espiral donada. L'espiral de Arquímedes té dos braços, un per a θ > 0 i un atre per a θ < 0. Els dos braços estan conectats en el pol. l'image especular d'un braç sobre l'eix vertical produïx l'atre braç. Esta curva va ser una de les primeres curves, despuix de les seccions còniques, en ser descrites en tractats matemàtics. Ademés és el principal eixemple de curva que pot representar-se de forma més fàcil en una equació polar.

Atres eixemples d'espirals són l'espiral logarítmica i l'espiral de Fermat.

Seccions còniques

Archiu:Elps-slr-es.svg

Elipse, indicant-se el seu semilado recte

Una secció cònica en un foc en el pol i l'atre en qualsevol punt de l'eix horisontal (de modo que el semieje major de la cònica descanse sobre l'eix polar) és donada per:

r = \frac{ℓ}{1 + e \cos θ}

a on i és l'excentricitat i $ℓ$ és el semilado recte (la distància perpendicular a un foc des de l'eix major a la curva). Si i > 1, esta equació definix una hipérbola; si i = 1, definix una paràbola; i si i < 1, definix una elipse. Per a la elipse, el cas especial i = 0 resulta en un círcul de radi $ℓ$ .

Número complejo

Archiu:Imaginarynumber2.svg

Ilustració d'un número complejo z en el pla complex

Archiu:Euler's formula.svg

Ilustració d'un número complejo en el pla complex usant la fòrmula de Euler

Cada número complejo es pot representar com un punt en el pla complex, i es pot expressar, per tant, com un punt en coordenades cartesianas o en coordenades polars. L'número complejo z es pot representar en forma rectangular com

z = x + i y

a on i és l'unitat imaginària. De forma alternativa, es pot escriure en forma polar (per mig de les fòrmules de conversió donades dalt) com

z = r \cdot (\cos θ + i sen θ)

per lo que es deduïx que

z = r e^{i θ}

a on i és la constant de Napier.^[1] Esta expressió és equivalent a la mostrada en la fòrmula de Euler. (Note's que en esta fòrmula, de la mateixa manera que en totes aquelles en les que intervenen exponencials d'ànguls, s'assumix que l'àngul θ està expressat en radianes.) Per a passar de la forma polar a la forma rectangular d'un número complejo donat es poden usar les fòrmules de conversió vistes anteriorment.

Per a les operacions de multiplicació, divisió i exponenciación d'número complejo, és normalment molt més simple treballar en número complejo expressats en forma polar que en el seu equivalent en forma rectangular:

Multiplicació:
$r_{0} e^{i θ_{0}} \cdot r_{1} e^{i θ_{1}} = r_{0} r_{1} e^{i (θ_{0} + θ_{1})}$
Divisió:
$\frac{r_{0} e^{i θ_{0}}}{r_{1} e^{i θ_{1}}} = \frac{r_{0}}{r_{1}} e^{i (θ_{0} - θ_{1})}$
Exponenciación (fòrmula de De Moivre):
$(r e^{i θ})^{n} = r^{n} e^{i n θ}$

Càlcul infinitesimal

El càlcul infinitesimal pot ser aplicat a les equacions expressades en coordenades polars. A lo llarc d'esta secció s'expressa la coordenada angular θ en radianes, en ser l'opció convencional en l'anàlisis matemàtic.

Càlcul diferencial

Partint de les equacions de conversió entre coordenades rectangulars i polars, i prenent derivades parcials s'obté

r \frac{\partial}{\partial r} = x \frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial y}

\frac{\partial}{\partial θ} = - y \frac{\partial}{\partial x} + x \frac{\partial}{\partial y} .

Per a trobar la pendent en cartesianas de la recta tangente a una curva polar r(θ) en un punt donat, la curva deu expressar-se primer com un sistema d'equacions paramètriques

x = r (θ) \cos θ

y = r (θ) sen θ

Diferenciant abdós equacions respecte a θ resulta

\frac{d x}{d θ} = r^{'} (θ) \cos θ - r (θ) sen θ

\frac{d y}{d θ} = r^{'} (θ) sen θ + r (θ) \cos θ .

Dividint la segona equació per la primera s'obté la pendent cartesiana de la recta tangente a la curva en el punt (r, r(θ)):

\frac{d y}{d x} = \frac{r^{'} (θ) sen θ + r (θ) \cos θ}{r^{'} (θ) \cos θ - r (θ) sen θ} .

Càlcul integral

Archiu:Polar coordinates integration region.svg

La regió R està delimitada per la curva r(θ) i les semirrecta θ = a i θ = b.

Siga R una regió del pla delimitada per la curva contínua r(θ) i les semirrecta θ = a i θ = b, a on 0 < b − a < 2π. Llavors, l'àrea de R ve dau per

S = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} r (θ)^{2} d θ .

Archiu:Polar coordinates integration Riemann sum.svg

La regió R s'aproxima per n sectors (ací, n = 5).

Este resultat pot obtindre's de la següent manera. En primer lloc, l'interval [a, b] es dividix en n subintervalos, a on n és un sancer positiu qualsevol. Per lo tant Δθ, la llongitut de cada subintervalo, és igual a b − a (la llongitut total de l'interval) dividit per n (el número de subintervalos). Per a cada subintervalo i = 1, 2, …, n, siga θ_i el seu punt mig. Es pot construir un sector circular en centre en el pol, ràdio r(θ_i), àngul central Δθ i llongitut d'arc $r (θ_{i}) Δ θ$ . L'àrea de cada sector és llavors igual a

S_{i} = \frac{1}{2} r (θ_{i})^{2} Δ θ

.

Per lo tant, l'àrea total de tots els sectors és

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} S_{i} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{2} r (θ_{i})^{2} Δ θ .

Quant major siga n, millor és l'aproximació a l'àrea. En el llímit, quan n → ∞, la suma pansa a ser una sumixca de Riemann, i per tant convergix en l'integral

\lim_{n \to + \infty} S_{n} = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} r (θ)^{2} d θ = S

Generalisació

Usant les coordenades cartesianas, un element d'àrea infinitesimal pot ser calculat com dona = dx dy. El método d'integració per substitució per a les integrals múltiples establix que, quan s'utilisa un atre sistema de coordenades, deu tindre's en conte la matriu de conversió Jacobiana:

J = \det \frac{\partial (x, y)}{\partial (r, θ)} = | \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial θ} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial θ} \end{matrix} | = | \begin{matrix} \cos θ & - r sen θ \\ sen θ & r \cos θ \end{matrix} | = r \cos^{2} θ + r {sen}^{2} θ = r .

Per lo tant, un element d'àrea en coordenades polars pot escriure's com:

d A = J d r d θ = r d r d θ .

Una funció en coordenades polars pot ser integrada com seguix:

\iint_{R} f (r, θ) d A = \int_{a}^{b} \int_{0}^{r (θ)} f (r, θ) r d r d θ .

a on R és la regió compresa per una curva r(θ) i les rectes θ = a i θ = b.

La fòrmula per a l'àrea de R mencionada dalt s'obté prenent f com una funció constant igual a 1. Una de les aplicacions d'estes fòrmules és el càlcul de l'Integral de Gauss : $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = \sqrt{π} .$

Càlcul vectorial

El càlcul vectorial pot aplicar-se també a les coordenades polars. Siga $𝐫$ el vector de posició $(r \cos θ, r sen θ)$ , en r i $θ$ dependents del temps t.

Siga

\hat{𝐫} = (\cos θ, sen θ)

un vector unitari en la direcció de $𝐫$ i

\hat{𝜽} = (- sen θ, \cos θ)

un vector unitari ortogonal a $𝐫$ . Les derivades primera i segona del vector de posició són:

\frac{d 𝐫}{d t} = \dot{r} \hat{𝐫} + r \dot{θ} \hat{𝜽},

\frac{d^{2} 𝐫}{d t^{2}} = (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) \hat{𝐫} + (r \ddot{θ} + 2 \dot{r} \dot{θ}) \hat{𝜽} = (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) \hat{𝐫} + \frac{1}{r} \dot{\overset{⏞}{r^{2} \dot{θ}}} \hat{𝜽}

Extensió a més de dos dimensions

Tres dimensions

El sistema de coordenades polars pot estendre's a tres dimensions en dos sistemes de coordenades diferents: el sistema de coordenades cilíndriques i el sistema de coordenades esfèriques. El sistema de coordenades cilíndriques afig una coordenada de distància, mentres que el sistema de coordenades esfèriques afig una coordenada angular.

Coordenades cilíndriques

Archiu:Cylindrical coordinates2.svg

Un punt representat en coordenades cilíndriques

Artícul principal → Coordenades cilíndriques.

El sistema de coordenades cilíndriques és un sistema de coordenades que estén al sistema de coordenades polars afegint una tercera coordenada que medix l'altura d'un punt sobre el pla, de la mateixa forma que el sistema de coordenades cartesianas s'estén a tres dimensions. La tercera coordenada se sol representar per h, fent que la notació de dites coordenades siga (r, θ, h).

Les coordenades cilíndriques poden convertir-se en coordenades cartesianas de la següent manera:

\begin{matrix} x & = r \cos θ \\ y & = r sen θ \\ z & = h . \end{matrix}

Coordenades esfèriques

Archiu:Spherical Coordinates (Colatitude, Longitude).svg

Un punt representat en coordenades esfèriques

Artícul principal → Coordenades esfèriques.

Les coordenades polars també poden estendre's a tres dimensions usant les coordenades (ρ, φ, θ), a on ρ és la distància a l'orige, φ és l'àngul sobre l'eix z (medit de 0° a 180°), i θ és l'àngul sobre l'eix x (igual que en les coordenades polars, entre 0° i 360°). Este sistema de coordenades és similar al sistema utilisat per a denotar l'altitut i la latitut d'un punt en la superfície de la Terra, a on se situa l'orige en el centre de la Terra, la latitut δ és l'àngul complementari de φ (és dir, δ = 90° − φ), i la llongitut l ve donada per θ − 180°.^[2]

Les coordenades esfèriques poden convertir-se en coordenades cartesianas de la següent manera:

\begin{matrix} x & = ρ sen ϕ \cos θ \\ y & = ρ sen ϕ sen θ \\ z & = ρ \cos ϕ \end{matrix}

Les coordenades polars en l'espai tenen especial interés quan els ànguls determinen la funció, com en el cas de la hèliç.

n dimensions

És possible generalisar estes ampliacions de manera que s'obtinga un sistema de representació per a 4 o més dimensions. Per eixemple, per a 4 dimensions s'obté

\begin{matrix} x & = ρ sen γ sen ϕ \cos θ \\ y & = ρ sen γ sen ϕ sen θ \\ z & = ρ sen γ \cos ϕ \\ t & = ρ \cos γ \end{matrix}

Aplicacions

Les coordenades polars són bidimensionales, per lo que solament es poden usar a on les posicions dels punts se situen en un pla bidimensional. Són les més adequades en qualsevol context a on el fenomen a considerar estiga directament lligat en la direcció i llongitut d'un punt central, com en les figures de revolució, en els moviments giratoris, en les observacions estelars, etc. Els eixemples vists anteriorment mostren la facilitat en la que les coordenades polars definixen curves com l'espiral de Arquímedes, l'equació de la qual en coordenades cartesianas seria molt més intrincada. Ademés molts sistemes físics, tals com els relacionats en cossos que es mouen al voltant d'un punt central, o els fenomens originats des d'un punt central, són més simples i més intuïtius de modelar usant coordenades polars. La motivació inicial de l'introducció del sistema polar va ser l'estudi del moviment circular i el moviment orbital.

Posició i navegació

Les coordenades polars s'usen a sovint en navegació, ya que el destí o la direcció del trayecte poden vindre daus per un àngul i una distància a l'objecte considerat. Les aeronaus, per eixemple, utilisen un sistema de coordenades polars llaugerament modificat per a la navegació.

Modelació

Els sistemes que representen simetria radial posseïxen unes característiques adequades per al sistema de coordenades polars, en el punt central actuant com a pol. Un primer eixemple d'este us és l'equació del fluix de les aigües subterrànees quan s'aplica a pous radialmente simètrics. De la mateixa manera, els sistemes influenciats per una força central són també bons candidats per a l'us de les coordenades polars. Alguns eixemples són les antenas radioelèctriques, o els camps gravitatorios, que obedixen a la llei de l'inversa del quadrat (vore el problema dels dos cossos).

Els sistemes radialmente asimètrics també poden modelar-se en coordenades polars. Per eixemple la directividad d'un micròfon, que caracterisa la sensibilitat del micròfon en funció de la direcció del sò rebut, pot representar-se per curves polars. La curva d'un micròfon cardioide estàndar, el més comú dels micròfons, té per equació r = 0,5 + 0,5 sen θ.^[3]

Campos escalares

Un problema en l'anàlisis matemàtic de funcions de vàries variables és la dificultat per a provar l'existència d'un llímit, ya que poden obtindre's diferents resultats segons la trayectòria d'aproximació al punt. En l'orige de coordenades, un dels punts que tenen més interés per a l'anàlisis (per anular habitualment funcions racionals o logarítmiques), este problema pot solucionar-se aplicant coordenades polars. En atres punts és possible realisar un canvi de sistema de referència i aixina aplicar el truc.

En substituir les coordenades cartesianas x, i, z, …, per les seues corresponents equivalència en coordenades polars, el llímit en aproximar-se a l'orige es reduïx a un llímit d'una única variable, lo que resulta fàcil de calcular per ser el sen i el coseno funcions acotades i r un infinitésimo. Si el resultat no mostra dependència angular, és possible asseverar que el llímit és indistint del punt i trayectòria des del que s'ha aproximat.

Vore també

Referències

↑ Smith. «Euler's Identity», Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), W3K Publishing. ISBN 0-9745607-0-7.
↑ «Coordenades esfèriques». Archivat des d'el original, el 22 de decembre de 2008. Consultat el 26 de novembre de 2008.
↑ Eargle, John (2005). Springer (ed.). Handbook of Recording Engineering, Fourth Edition edició. ISBN 0387284702.

Enllaços externs

Commons

Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Coordenades polars.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Coordenadas polares» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Smith. «Euler's Identity», Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), W3K Publishing. ISBN 0-9745607-0-7.

[2] «Coordenades esfèriques». Archivat des d'el original, el 22 de decembre de 2008. Consultat el 26 de novembre de 2008.

[3] Eargle, John (2005). Springer (ed.). Handbook of Recording Engineering, Fourth Edition edició. ISBN 0387284702.

[1]

[2]

[3]