Fòrmula de De Moivre

La fòrmula de De Moivre, nomenada aixina per Abraham de Moivre afirma que per a qualsevol número complex (i en particular, per a qualsevol número real) $x$ i per a qualsevol $n\in \mathbb{Z}$ es verifica que

$(\cos (x)+i\mathrm{sen}(x){)}^n=\cos (nx)+i\mathrm{sen}(nx)$.

Esta fòrmula conecta els número complex (i significa unitat imaginària) en la trigonometria.

L'expressió $\cos x+i\mathrm{sen}x$ en ocasions s'abrevia com $\mathrm{cis}x$.

En expandir la part esquerra de l'igualtat i comparant la part real en l'imaginària, és possible obtindre expressions molt útils per a $\cos (nx)$ i $\mathrm{sen}(nx)$ en térmens de $\cos x$ i $\mathrm{sen}x$. Ademés, esta fòrmula pot ser utilisada per a trobar expressions explícites per a la $n$-ésima raïl de l'unitat, això és, número complex $z$ tal que $z^n=1$.

Història

Artícul principal → Número complejoHistòria.

Sagell en la efigie d'Euler

La forma actual de la fòrmula apareix en l'obra Introductio in analysin infinitorum d'Euler, que la demostra per a tots els sancers naturals $n$ en 1748. Pero també apareix implícitament en els treballs d'Abraham de Moivre vàries voltes des de 1707, en el seu treball sobre les raïls $n$-ésimas de número complex. De fet, els dos problemes estan relacionats: escriure que (cos x + i sense x)ⁿ = cos(nx) + i sense(nx) és equivalent a dir que cos x + i sense x és una de les raïls enèsimes del complex cos(nx) + i sense(nx).

Relació en la fòrmula de Euler

La fòrmula de Moivre pot ser obtinguda de la fòrmula de Euler:

$e^{ix}=\cos x+i\mathrm{sen}x$

aplicant lleis de la exponenciación

${\left(e^{ix}\right)}^n=e^{inx}$

Llavors, per la fòrmula de Euler,

$e^{i(nx)}=\cos (nx)+i\mathrm{sen}(nx)$.

Vore també

• Fòrmula de Euler
• Raïl de l'unitat
• Número imaginario