Raïl de l'unitat

En matemàtica, les raïls n-ésimas de l'unitat, o números de de Moivre^{cita requerida}, són tots els número complejo que donen 1 quan són elevats a una potència donada n. Es pot demostrar que estan localisats en el círcul unitari del pla complex i que en eixe pla formen els vèrtiços d'un polígon regular de n costats en un vèrtiç sobre el punt 1 de dit pla, sempre que n>2.

Definició

Es diu raïl enèsima de l'unitat a qualsevol dels número complejo que satisfan l'equació:

$z^n=1$

a on $n\in \mathbb{N},n>1$. Per a cada n, les n diferents raïls n-ésimas de l'unitat són:

$e^{2\pi ik/n}$ a on $k=0,1,2,\dots ,n-1.$

Entre les raïls enèsimes de l'unitat sempre està el número 1, el número -1 solament està quan n és parell i els números i i -i quan n és múltiple de quatre. Les raïls enèsimes de l'unitat no reals es presenten en parells de conjugats.

Raïls primitives

Les raïls n-ésimas de l'unitat formen en la multiplicació un grup cíclico d'orde n, i de fet estos grups comprenen tots els subgrups finitos multiplicativos dels número complejo, llevat el grup trivial {0}. Un generador d'este grup cíclico és una raïl primitiva n-ésima de l'unitat. Les raïls primitives n-ésimas de l'unitat són $e^{2\pi ik/n}$, a on k i n són coprimos. El número de raïls primitives diferents ho dona la funció φ de Euler, $\varphi (n)$.

O d'una atra manera, la raïl n-ésima de l'unitat α és primitiva, si i solament si les seues k-ésimas potències, k=0, 1,...,n-1 són distintes.

Les raïls quartes d'1 són: 1, -1, i, -i. En el cas d'1 les seues potències de grau 0, 1, 2 i 3 són iguals; no és raïl primitiva. Per a i, es calcula que les potències de grau 0, 1, 2, 3 són respectivament 1, i, -1, -i, distintes, després i és una raïl quarta primitiva d'1.

Raïls segones de l'unitat

Les raïls segones o quadrades de l'unitat, $z^2=1$, són +1 i -1, sent -1 l'única primitiva.

Raïls terceres de l'unitat

Les raïls terceres o cúbiques de l'unitat són

$\{1,w=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2},w^2=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\}$

a on $i$ és l'unitat imaginària, sent les dos últimes primitives.

Raïls quartes de l'unitat

Les raïls quartes de l'unitat són

$\{1,w=i,w^2=-1,w^3=-i\}$

de les quals $+i$ i $-i$ són primitives.

Raïls quintes de l'unitat

Les 5 solucions de la raïl quinta de l'unitat en el pla complex en blau

Les raïls quintes de l'unitat

$\{1,w=\frac{\sqrt{5}-1}{4}+i\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}},$ $w^2=-\frac{\sqrt{5}+1}{4}+i\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}},$ $w^3=-\frac{\sqrt{5}+1}{4}-i\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}},$ $w^4=\frac{\sqrt{5}-1}{4}-i\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}\}$

Sent les quatre últimes les primitives d'arguments 72°, 144°, 216° i 288°.

Raïls octaves de l'unitat

Una de les raïls octaves primitives de l'unitat és

$\sqrt{i}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Les úniques raïls sextes primitives de l'unitat són les de 60° i 300°.

Suma de les raïls

La suma de les raïls de l'unitat és zero, per a n no menor que 2. Este fet apareix en moltes àrees de la matemàtica i es pot provar de vàries maneres. Una prova elemental és aplicar la fòrmula de la progressió geomètrica:

$\sum _{k=0}^{n-1}{e}^{2\pi ik/n}=\frac{e^{2\pi in/n}-1}{e^{2\pi i/n}-1}=\frac{1-1}{e^{2\pi i/n}-1}=0.$

Una atra raó de la suma nula és que les raïls de l'unitat, dibuixades sobre el pla complex, formen els vèrtiços d'un polígon regular que el seu baricentre (per simetria) està sobre l'orige. Este sumatorio és un cas especial de la suma gaussiana. També es constata esta suma aplicant la fòrmula de Viète per a les n raïls de cada grau. Ademés el producte és 1 (si n és impar) o -1 (si n és parell) para tot n natural major que 1.