Sumatorio

Sumatorio

Lletra sigma mayúscula, notació del sumatorio.

El sumatorio o sumatoria (també conegut com a operació de suma, notació sigma o símbol suma) és una notació matemàtica que permet representar sumas de varis sumants, n o inclús infinits sumants, evitant l'ocupació dels punts suspensivos o d'una explícita notació de pas al llímit. S'expressa en la lletra grega sigma mayúscula ($\Sigma$, ∑). Encara que es necessita aclarir que la paraula sumatoria o sumatorio no és acceptada entre varis matemàtics ya que la forma correcta de dir-ho és suma.

Notació

Notació de sigma mayúscula

La notació s'expressa en la lletra grega sigma mayúscula Σ de la següent manera:

Açò es llig: «sumatorio sobre i, des de m fins a n, de a sub-i». La variable i és l'índex de suma al que se li assigna un valor inicial cridat llímit inferior, m. La variable i recorrerà els valors sancers fins a alcançar el llímit superior, n. Necessàriament deu complir-se que:

$m\le n$

Podent vore ademés que si m = n llavors:

$m=n,\sum _{i=m}^n{a}_i=\sum _{i=m}^m{a}_i=a_m$

Si m és major que n, el resultat és zero, l'element neutre de la suma:

$m>n,\sum _{i=m}^n{a}_i=0$

Com el conjunt d'índexs és un interval de sancers, és corrent indicar el primer índex baix del símbol de sumatoria, i l'últim per damunt del mateix. Les següents notacions són equivalents

$\sum _{i\in [m,n]}{a}_i=\sum _{i=m}^{i=n}{a}_i=\sum _{i=m}^n{a}_i.$

El número de térmens a sumar és llavors $n-m+1$, ya que el primer sumant és $a_m$ i l'últim sumant és $a_n$.

La suma dels quadrats dels sis primers sancers estrictament positius s'escriu per eixemple

$\sum _{i=1}^6{i}^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2=91.$

La conmutatividad i l'asociatividad de l'adició, fan que el resultat d'una série (finita) de adició, no depenga de l'orde en el qual els térmens són considerats. La suma d'una família finita d'elements $(a_i)$ indexada per un conjunt $I$ (no necessàriament ordenat) s'indica llavors $\sum _{i\in I}{a}_i$.

Quan la família considerada és un conjunt finit $A$, la corresponent suma també pot escriure's

$\sum _{x\in A}x=\sum A,$

La suma buida convencionalment és considerada igual a zero, entre atres coses a fi de satisfer l'igualtat

$\sum A\cup B=\sum A+\sum B-\sum A\cap B.$

La notació d'Einstein simplement omet l'escritura del símbol de suma, ya que si un índex apareix sense definició, es sobreentiende que lo que es representa és la suma dels elements en variar l'índex.

Note's que, encara que el terme sumatorio es referix a un operador matemàtic útil per a expressar cert tipo de suma, no substituïx este terme a la paraula suma, per lo que en esta intenció és un fantónimo. Es diu: «la suma de dos i tres és cinc», i no «el sumatorio de dos i tres és cinc».

Els operadors de suma són útils per a expressar sumes de forma analítica; açò és, representar tots i cada u dels sumants en forma general per mig del «i-ésimo» sumant. Aixina, per a representar la fòrmula per a trobar la mija aritmètica de n números, es té la següent expressió:

$\bar{x}=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{n}$

Suma d'una série

Si $(a_n)$ és un element d'una série, la suma total dels elements d'esta, és el llímit de les sumes parcials (si és que este llímit existix) $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=0}^N{a}_n$.

Vore també

• Productorio
• Série matemàtica
• Suma buida
• Notació matemàtica
• Símbols matemàtics