Conveni de suma d'Einstein

Es denomina conveni de suma d'Einstein, notació d'Einstein o notació indexada a la convenció utilisada per a abreviar l'escritura de sumatorios, en el que se suprimix el símbol de sumatorio representat en la lletra grega sigma - $\Sigma$. Va ser introduït per Albert Einstein en 1916. És aplicat en física, en especial als desenrolls realisats en Física alvançada. El conveni s'aplica només a sumatorios sobre índexs repetits. És usat especialment en tensorés a on és molt freqüent l'operació de suma sobre índexs repetits i seria tediós escriure explícitament els símbols dels sumatorios.

Definició

Donada una expressió llineal en ${ℝ}^n$ en la que s'escriuen tots els seus térmens de forma explícita:

$𝐮=u_1{x}_1+u_2{x}_2+u_3{x}_3+\cdots +u_n{x}_n$

esta pot expressar-se convencionalment com el sumatorio:

$𝐮=\sum _{i=1}^n{u}_i{x}_i$

La notació d'Einstein obté una expressió encara més condensada eliminant el signe de sumatorio i entenent que en l'expressió resultant un índex indica la suma sobre tots els possibles valors del mateix.

$𝐮=u_i{x}_i$

Índexs

Un índex utilisat en la notació d'Einstein pot aparéixer en forma de producte fins a dos voltes en mateix terme d'una expressió, per lo que les següents expressions són vàlides:

$k_i{x}_i$

${𝐯}_i=v_{ij}{x}_j$

$c_{ijk}{e}_i{e}_j{e}_k$

$\frac{\partial f}{\partial y_j}\frac{\partial y_j}{\partial x_i}$

i les següents expressions no es troben definides o són inválidas:

$x_i{y}_i{z}_i$

$a_m{x}_{mj}{y}_{mk}$

en càlcul de tensors és també comú utilisar una de les ocurrències com un subíndex i l'atra com un superíndex. Per eixemple, en la següent expressió en ${ℝ}^4$

$a^{\mu }{b}_{\mu }=a^0{b}_0+a^1{b}_1+a^2{b}_2+a^3{b}_3$

Un índex que es repetix dos voltes en el mateix terme d'una equació es coneix com a índex mut, per eixemple:

$𝐀=A_i{e}_i$

Un índex que es repetix en cada u dels térmens d'una expressió a excepció dels térmens constants es coneix com a índex lliure.

$s_r=a_r{x}_i+b_r{x}_j+c_r-1$

Els índexs lliures no s'expandixen en forma de sumatorio, sino que representen un sistema d'equacions independents.

$s_1=a_1{x}_i+b_1{x}_j+c_1-1$

$s_2=a_2{x}_i+b_2{x}_j+c_2-1$

$s_3=a_3{x}_i+b_3{x}_j+c_3-1$

Representacions vectorials

S'ampra el conveni d'Einstein en Àlgebra llineal per a distinguir fàcilment entre vectores columna i vectores fila. Es pot, per eixemple, posar superíndexs per a representar elements en una columna i subíndexs per a representar elements en una fila. Seguint esta convenció, llavors,

$𝐮=u_i=\left[\begin{array}{cccc}{u}_1& u_2& \cdots & u_n\end{array}\right]\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}i=1,2,3,\dots ,n$

representa 1 x n vector fila i

$𝐯=v^j=\left[\begin{array}{c}{v}^1\\ v^2\\ ⋮\\ v^n\end{array}\right]\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}j=1,2,3,\dots ,n$

representa n x 1 vector columna.

En matemàtica i en física teòrica i en particular en la relativitat general, els vectores fila representen vectores covariants mentres que els vectores columna representen vectores contravariantes.

Vore també

• [[Archiu:{{#switch:Física|20px|Vore el portal sobre Física]] Portal:Física. Contingut relacionat en Física.
• Càlcul tensorial
• Notació bra-ket

Bibliografia

• Annalen der Physik.

769-822. (Text en espanyol)