Notació bra-ket

La notació bra-ket, també coneguda com a formalisme de Dirac, és la notació estàndar per a descriure els estats quàntics en la teoria de la mecànica quàntica. Pot també ser utilisada per a denotar vectores abstractes i funcionals llineals en la matemàtica pura. És aixina cridada perque el producte intern de dos estats és denotat pel «paréntesis angular» (angle bracket, en anglés), $⟨\varphi |\psi ⟩$, consistint en una part esquerra, $⟨\varphi |$, cridada el bra, i una part dreta, $|\psi ⟩$, cridada el ket.

La notació va ser introduïda en 1939 per Paul Dirac, encara que la notació té precursors en l'us del llingüiste i matemàtic alemà Hermann Grassmann de la notació [φ|ψ] per als seus productes interns casi 100 anys abans.

Bras i kets

En mecànica quàntica, l'estat d'un sistema físic s'identifica en un vector en l'espai de Hilbert complex, $\mathscr{H}$. Cada vector es diu un ket, i es denota com $|\psi ⟩$. Cada ket $|\psi ⟩$ té un bra dual, escrit com $⟨\varphi |$, açò és una funcional llineal contínua de $\mathscr{H}$ als número complex C, definit com

$⟨\varphi |\rho ⟩=(|\psi ⟩,|\rho ⟩)$ per a tots els kets $|\rho ⟩$

A on () denota el producte intern definit en l'espai de Hilbert. La notació està justificada pel teorema de representació de Riesz, que establix que un espai de Hilbert i el seu espai dual són isométricamente isomorfos. Aixina, cada bra correspon a exactament un ket, i viceversa.

Incidentement, el formalisme de Dirac pot ser utilisat inclús si l'espai vectorial no és un espai de Hilbert. En qualsevol espai de Banach B, els vectores poden ser notats com kets i els funcionals llineals continus pels bras. Sobre qualsevol espai vectorial sense topología, es pot també denotar els vectores en kets i els funcionals llineals pels bras. En estos contexts més generals, el braket no té el significat d'un producte intern, perque la teorema de representació de Riesz no s'aplica.

L'aplicació del bra $⟨\varphi |$ al ket $|\psi ⟩$ dona lloc a un número complex, que es denota:

$⟨\varphi |\psi ⟩$.

En mecànica quàntica, esta és l'amplitut de provabilitat per a que l'estat $\psi$ colapse en l'estat $\varphi$.

Propietats

Els bras i kets es poden manipular de les maneres següents:

• Donat qualsevol bra $⟨\varphi |$ i ket $|{\psi }_1⟩$ i $|{\psi }_2⟩$, i número complex c₁ i c₂, llavors, ya que els núcleus són funcionals llineals,

$⟨\varphi |(c_1|{\psi }_1⟩+c_2|{\psi }_2⟩)=c_1⟨\varphi |{\psi }_1⟩+c_2⟨\varphi |{\psi }_2⟩.$

• donat qualsevol ket $|\psi ⟩$, núcleus $⟨{\varphi }_1|$ i $⟨{\varphi }_2|$, i número complex c₁ i c₂, llavors, per la definició de l'adició i la multiplicació escalar de funcionals llineals,

$(c_1⟨{\varphi }_1|+c_2⟨{\varphi }_2|)|\psi ⟩=c_1⟨{\varphi }_1|\psi ⟩+c_2⟨{\varphi }_2|\psi ⟩.$

• donats qualssevol kets $|{\psi }_1⟩$ i $|{\psi }_2⟩$, i número complex c₁ i c₂, de les propietats del producte intern (en c* denotant la conjugació complexa de c),

$c_1|{\psi }_1⟩+c_2|{\psi }_2⟩$

és dual a $c_1^{*}⟨{\psi }_1|+c_2^{*}⟨{\psi }_2|$.

• donat qualsevol bra $⟨\varphi |$ i el ket $|\psi ⟩$, una propietat axiomàtica del producte intern dona

$⟨\varphi |\psi ⟩=⟨\psi |\varphi {⟩}^{*}$.