Anar al contingut

Matemàtica pura

De L'Enciclopèdia, la wikipedia en valencià


La matemàtica pura es referix a l'estudi de les matemàtiques, in es i per es, és dir, ‘per sí mateixes’ i ‘com a tals’, sense referència a les aplicacions pràctiques que pogueren derivar-se o a les que pogueren aplicar-se.

En el mateix alcanç, se solen també utilisar les denominacions de matemàtiques especulatives, fonamentals o abstractes. Estes nocions es contraponen tradicionalment a la de la matemàtica aplicada, que es focaliza principalment en l'ocupació de ferramentes matemàtiques en disciplines de diversos órdens, que cobrixen tant les ciències naturals com l'economia i atres ciències socials, aixina com la seua utilisació en ingenieria i en tot tipo d'aplicacions tecnològiques.

Encara que les matemàtiques pures han existit com a activitat a lo manco des de l'antiga Grècia, el concepte es va elaborar entorn a l'any 1900,[1] despuix de l'introducció de teories en propietats contraintuitivas (com les #geometria no euclidianes i la Cantor), i el descobriment d'aparents paradoxes (com les funcions contínues que no són diferenciables en ninguna parte, i la paradoxa de Russell). Açò va introduir la necessitat de renovar el concepte de rigor matemàtic i reescriure totes les matemàtiques en conseqüència, en un us sistemàtic de métodos axiomàtics. Açò va dur a molts matemàtics a centrar-se en les matemàtiques per sí mateixes, és dir, en les matemàtiques pures.

No obstant, casi totes les teories matemàtiques varen seguir estant motivades per problemes procedents del món real o de teories matemàtiques menys abstractes. Ademés, moltes teories matemàtiques, que semblaven totalment matemàtiques pures, varen acabar utilisant-se en àrees aplicades, principalment física i informàtica. Un eixemple primerenc famós és la demostració d'Isaac Newton de que el seu llei de la gravitació universal implicava que els planetes es mouen en òrbites que són seccions còniques, curves geomètriques que havien segut estudiades en l'antiguetat per Apolonio. Un atre eixemple és el problema de la factorisació de grans sancers, que és la base del criptosistema RSA, àmpliament utilisat per a assegurar les comunicacions per internet.[2]

D'això es deduïx que, en l'actualitat, la distinció entre matemàtiques pures i aplicades és més un punt de vista filosòfic o la preferència d'un matemàtic que una subdivisió rígida de les matemàtiques. En particular, no és rar que alguns membres d'un departament de matemàtiques aplicades es descriguen a sí mateixos com a matemàtics purs.

Història

Resenya

Si ben els estudiosos varen percebre abdós aspectes des de temps inmemoriales, en un principi l'interés de les matemàtiques estava donat fonamentalment per l'us pràctic que podia fer-se de les mateixes, és dir, el desenroll de tècniques de càlcul per a resoldre problemes concrets de medicions o lligats al comerç, lo que no requeria en sí mateixa un grau elevat d'abstracció.

La locució matemàtica pura (pure mathematics) es va falcar a mitan de el XIX en la càtedra de matemàtica fundada originàriament per Lady Mary Sadlier en l'Universitat de Cambridge, Anglaterra.

Des de fins de el XIX es va fer evident que un elevat grau d'abstracció era idòneu, i més encara, necessari, per a proporcionar ferramentes cada volta més poderoses per al maneig i la solució de problemes reals complexos.

L'antiga Grècia

Els matemàtics de l'antiga Grècia varen ser dels primers en distinguir entre matemàtiques pures i aplicades. Platón va ajudar a crear la brecha entre "aritmètica", ara cridada teoria de números, i "llogística", ara cridada aritmètica. Platón considerava la llogística (aritmètica) apropiada per als hòmens de negocis i els hòmens de guerra que deuen deprendre l'art dels números o [no] sabran cóm dispondre [els seus] tropes i l'aritmètica (teoria dels números) apropiada per als filòsofs "perque [tenen] que sorgir de la mar del canvi i agarrar-se al verdader ser".[3] Euclides d'Aleixandria, quan un dels seus alumnes li va preguntar de qué servia l'estudi de la geometria, va demanar al seu esclau que li donara tres penics a l'estudiant, ya que deu traure profit de lo que deprén.[4] Al matemàtic grec Apolonio de Perga li varen preguntar per l'utilitat d'alguns de les seues teoremes en el Llibre IV de Còniques, davant lo que va afirmar en orgull,[5]

Són dignes d'acceptació per les demostracions mateixes, de la mateixa manera que acceptem moltes atres coses en matemàtiques per açò i no per una atra raó.

I lloc que molts dels seus resultats no eren aplicables a la ciència o l'ingenieria de la seua época, Apolonio va argumentar ademés en el prefacio del quint llibre de Còniques que el tema és un dels que "...semblen dignes d'estudi per sí mateixos."[5]

Un alumne va preguntar una volta a Euclides quin era el sentit de la geometria, i el famós matemàtic, fòra de sí, va ordenar a un esclau que li donara al chicon unes monedes «per a que poguera vore el sentit de lo que estava deprenent». És una llegenda, per supost, pero [... ][6].

XIX

El propi terme està consagrat en el títul complet de la Càtedra Sadleirian de Matemàtiques Pures, "Professor Sadleirian de Matemàtiques Pura", fundada (com a càtedra) a mitan de el XIX en l'Universitat de Cambridge. És possible que l'idea d'una disciplina separada de les matemàtiques pures sorgira en eixa época. La generació de Gauss no feya distincions radicals d'este tipo, entre pures i aplicades. En els anys següents, l'especialisació i la professionalisació (sobretot en l'enfocament de Weierstrass del anàlisis matemàtic) varen escomençar a fer més evident la divisió.

XX

A principis de el XX, els matemàtics varen reprendre el método axiomàtic, fortament influïts per l'eixemple de David Hilbert. La formulació llògica de la matemàtica pura sugerida per Bertrand Russell en térmens d'una estructura cuantificadora de proposicions semblava cada volta més plausible, a mida que grans parts de la matemàtica es axiomatizaban i quedaven aixina subjectes als senzills criteris de la demostració rigorosa'.


La matemàtica pura, segons un punt de vista que pot atribuir-se al grup de Bourbaki, és lo que es demostra. "Matemàtic pur" es va convertir en una vocació reconeguda, alcanzable per mig de formació.

Es va argumentar que les matemàtiques pures són útils en l'ensenyança de l'ingenieria:[7]

Hi ha una formació en hàbits de pensament, punts de vista i comprensió intelectual dels problemes ordinaris d'ingenieria, que només l'estudi de les matemàtiques superiors pot donar.

La relació entre matemàtiques pures i aplicades

S'ha destacat que existixen branques matemàtiques a on prevalen els aspectes «purs», o respecte de les que no s'hagen trobat encara lo que puguen ser aplicacions pràctiques, pero res exclou que tal cosa succeïxca en el futur. Al respecte, dia Nikolái Lobachevski (1792-1856):

No existix branca alguna de les matemàtiques, per abstracta que siga, que no puga algun dia ser aplicada a fenomens del món real.
(There is no branch of mathematics, however abstract, which may not someday be applied to the phenomena of the real world.)[8]

L'història va confirmar el presentiment de Lobachevski. Aixina, per eixemple, la teoria dels números, que durant sigles va tindre un caràcter purament especulatiu, va aplegar a tal punt que Godfrey Harold Hardy es felicitava de que existira «a lo manco una ciència que de qualsevol manera que siga es troba per sí mateixa tan alluntada de l'activitat humana ordinària que es conservarà neta i gentil».[9] Pero a raïl dels treballs de Ronald Rivest, Adi Shamir i Leonard Adleman la teoria dels números va trobar una decisiva i insospitada aplicació en criptografia, i en la descripció de l'algoritme RSA es va popularisar, a través d'Internet, l'utilisació de la criptografia asimètrica, o per clau pública.

Inversament, qualsevol branca, o inclús qualsevol problema matemàtic, pot abordar-se privilegiant un enfocament purament matemàtic o formal, sense referència alguna a una possible aplicació que puga fer-se o del seu víncul en «la realitat» tangible. Un eixemple clàssic al respecte és el del anàlisis matemàtic, inventat simultàneament per Isaac Newton i Gottfried Leibniz, i des de llavors utilisat fructuosamente en la física, la formalisació de la qual va ser conseguida rigorosa i abstractamente per Karl Weierstrass (1815-1897) en el XIX.

No existix un consens general entre els matemàtics respecte les fronteres que separen clarament lo «pur» i lo «aplicat»; un debat al respecte va ser publicat per Hardy.[10] Per a este autor, la matemàtica aplicada busca expressar veritats físiques dins d'un marc matemàtic, mentres que la matemàtica pura busca expressar veritats independents del món físic. Per a Hardy, la matemàtica pura és la verdadera matemàtica, que ostenta un valor estètic permanent, una bellea intrínseca que la fan comparable a la pintura o a la poesia.

En l'expressió matemàtica pura i els seus equivalents es designa, més que una branca de les matemàtiques (com podrien ser l'àlgebra, la geometria, l'anàlisis, etc.), una modalitat d'abordar l'estudi de les mateixes. Des d'un punt de vista pràctic i històric, abdós poden caracterisar-se com a enfocaments complementàries que s'inspiren mútuament.

Definició formal

Els intents de formalisar el concepte «matemàtica pura» estan emparentats en les nocions de axiomatisació i el criteri de prova rigorosa. D'acort en l'escola del grup Bourbaki, la matemàtica pura es relaciona en lo que està provat.

En el més alt nivell d'abstracció possible, Bertrand Russell propon una definició formal general, que segons este autor comprén tot tipo de matemàtica que en l'història de les matemàtiques o en el futur puga caracterisar-se com a «pura»:


La matemàtica pura és la classe de totes les proposicions de la forma p implica q, a on p i q són proposicions que contenen una o més variables, idèntiques en abdós proposicions, i ni p i ni q contenen constants atres que llògiques. Les constants llògiques, per la seua banda, són nocions definibles en els térmens següents: la implicació, que és la relació d'un terme respecte d'una classe de la qual és membre, la noció de manera tal que (such that), la noció de relació i nocions d'eixe tipo que poden ser cobertes per la noció general de proposicions de la forma referida. Ademés dels mencionats, la matemàtica utilisa una noció que no és part constituent de les proposicions que considera, específicament, la noció de veritat.[11]

Convé agregar que per a Bertrand Russell la matemàtica es deriva de la llògica.

Generalitat i abstracció

Un concepte central de les matemàtiques pures és l'idea de generalitat; les matemàtiques pures mostren a sovint una tendència cap a l'aument de la generalitat. Els usos i ventages de la generalitat inclouen els següents:

  • La generalisació de teoremes o estructures matemàtiques pot conduir a una comprensió més profunda de les teoremes o estructures originals.
  • La generalitat pot simplificar la presentació del material, donant lloc a proves o arguments més curts i fàcils de seguir.
  • Es pot utilisar la generalitat per a evitar la duplicació d'esforços, demostrant un resultat general en lloc de tindre que demostrar casos separats de forma independent, o utilisant resultats d'atres àrees de les matemàtiques.
  • La generalitat pot facilitar les conexions entre diferents branques de les matemàtiques. La Teoria de categories és un àrea de les matemàtiques dedicada a explorar este caràcter comú de l'estructura tal i com es manifesta en algunes àrees de les matemàtiques.

L'impacte de la generalitat en l'intuïció depén tant del tema com de les preferències personals o de l'estil d'aprenentage. A sovint, la generalitat es considera un obstàcul per a l'intuïció, encara que certament pot funcionar com una ajuda, especialment quan proporciona #analogia en material per al que ya es té una bona intuïció.

Com a eixemple paradigmàtic de generalitat, el programa de Erlangen va supondre una expansió de la geometria per a donar cabuda a les #geometria no euclidianes, aixina com al camp de la topología i atres formes de geometria, considerant la geometria com l'estudi d'un espai junt en un grup de transformacions. L'estudi dels números, cridat àlgebra en el nivell universitari inicial, s'estén al àlgebra abstracta en un nivell més alvançat; i l'estudi de les funcions, cridat càlcul en el nivell universitari inicial es convertix en anàlisis matemàtic i anàlisis funcional en un nivell més alvançat. Cada una d'estes branques de les matemàtiques més abstractes té moltes subespecialidades, i de fet hi ha moltes conexions entre les matemàtiques pures i les disciplines matemàtiques aplicades. A mitan de el XX es va produir un fort aument de l'abstracció.

En la pràctica, no obstant, estos alvanços varen conduir a una forta divergència en la física, sobretot entre 1950 i 1983. Més tarde açò va ser criticat, per eixemple per Vladimir Arnold, com a massa Hilbert, no lo suficient Poincaré. La qüestió encara no sembla estar resolta, en el sentit de que la teoria de cordes tira cap a un costat, mentres que les matemàtiques discretes retrocedixen cap a la prova com a element central.

Un dels eixemples més famosos (encara que potser malinterpretado) del debat sense finalisar sobre esta distinció entre matemàtiques pures i aplicades es troba en l'ensaig de Godfrey Harold Hardy de 1940 A Mathematician's Apology (Apologia d'un matemàtic).

Vore també

Referències

  1. ↑ O'Connor, John J.
    Robertson, Edmund F.. "MacTutor History of Mathematics archive"{{#if
    |, episodi {{{numero}}}}..
  2. ↑ Robinson, Sara. “org/people/members/sara/articles/rsa.pdf Encara guardant secrets despuix d'anys d'atacs, RSA rep elogis pels seus fundadors”. SIAM News 36 (5).
  3. ↑ Boyer, Carl B. (1991). «L'época de Platón i Aristóteles», Una història de les matemàtiques, Second edició, John Wiley & Sons, Inc., pp. 86. ISBN 0-471-54397-7.
  4. ↑ Boyer, Carl B. (1991). «Euclides d'Aleixandria», Una història de les matemàtiques, Second edició, John Wiley & Sons, Inc., pp. 101. ISBN 0-471-54397-7.
  5. ↑ 5,0 5,1 Boyer, Carl B. (1991). «Apollonius of Perga», Una història de les matemàtiques, Second edició, John Wiley & Sons, Inc., pp. 152. ISBN 0-471-54397-7.
  6. ↑ Marque Wolf (2017). «Rien ne sert à rien et réciproquement (éloge dones mathématiques pures)», Books on Demand (ed.). C'est prouvé scientifiquement (en és), Paris, pp. 345. ISBN 978- 2-322-08213-1..
  7. ↑ A. S. Hathaway (1901) "Pure mathematics for engineering students", Bulletin of the American Mathematical Society 7(6):266-71.
  8. ↑ citat per Mathematical Maxims and Minims (Raleigh N C 1988).
  9. ↑ G.H.Hardy; Mathematician's Apology, citat per Neal Kobliz i l'artícul d'este últim en The Unease Relationship between Mathematics and Cryptography, enllaç en [1]
  10. ↑ G.H. Hardy, A Mathematician's Apology.
  11. ↑ Bertrand Russell, Principia Mathematica, Parágrafo I, Cap.I , vore enllaç i text en anglés en [2]

Enllaços externs

Matemàtica pura en Viquidites.


Referències

Obtingut de «https://lenciclopedia.org/w/index.php?title=Matemàtica_pura&oldid=1402501»