Àlgebra abstracta

Àlgebra abstracta

El àlgebra abstracta, ocasionalment cridada àlgebra moderna o àlgebra superior, és la part de la matemàtica que estudia les estructures algebraiques com les de grup, anell, cos (a voltes cridat camp), espai vectorial, etcétera. Moltes d'estes estructures es varen definir formalment en el XIX, i, de fet, l'estudi de l'àlgebra abstracta va ser motivat per la necessitat de més exactitut en les definicions matemàtiques.

En àlgebra abstracta, els elements combinats per diverses operacions generalment no són interpretables com a números, raó per la qual l'àlgebra abstracta no pot ser considerada una simple extensió de l'aritmètica. L'estudi de l'àlgebra abstracta ha permés observar en claritat lo intrínsec de les afirmacions llògiques en les que es basen totes la matemàtica i les ciències naturals, i s'usa hui en dia pràcticament en totes les branques de la matemàtica. Ademés, a lo llarc de l'història, els algebristas varen descobrir que estructures llògiques aparentment diferents molt a sovint poden caracterisar-se de la mateixa forma en un chicotet conjunt d'axioma.

El terme àlgebra abstracta s'usa per a distinguir este camp del àlgebra elemental o de l'àlgebra de la escola secundària que mostra les regles correctes per a manipular fòrmules i expressions algebraiques que concernixen als número real i número complejo. L'àlgebra abstracta va ser coneguda durant la primera mitat de el XX com a àlgebra moderna".

Història

Abans de el XIX, àlgebra significava l'estudi de la solució d'equacions polinòmiques. L'àlgebra abstracta va sorgir durant el XIX a mida que es desenrollaven problemes i métodos de solució més complexos. Els problemes i eixemples concrets procedien de la teoria de números, la geometria, l'anàlisis i les solucions d'equacions algebraiques. La majoria de les teories que ara es reconeixen com a parts de l'àlgebra abstracta varen començar com a coleccions de fets dispars de diverses branques de les matemàtiques, varen adquirir un tema comú que va servir de núcleu entorn al com es varen agrupar diversos resultats i, finalment, es varen unificar sobre la base d'un conjunt comú de conceptes. Esta unificació es va produir en les primeres décades de el XX i va donar lloc a les definicions axiomàtiques formals de diverses estructures algebraiques com a grups, anells i camps. Este desenroll històric és casi l'opost del tractament que es troba en els llibres de text populars, com l'Àlgebra Moderna de van der Waerden, que comencen cada capítul en una definició formal d'una estructura i després la seguixen en eixemples concrets.

Àlgebra elemental

L'estudi de les equacions polinòmiques o equacions algebraiques té una llarga història. Cap a 1700 a. C., els babilonios eren capaços de resoldre equacions quadràtiques especificades com a problemes de paraules. Esta etapa de problemes de paraules es classifica com àlgebra retòrica i va anar l'enfocament dominant fins a el XVI. Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī va originar la paraula "àlgebra" en l'any 830 d. C., pero el seu treball era totalment àlgebra retòrica. L'àlgebra completament simbòlica no va aparéixer fins a la Nova Àlgebra de François Viète de 1591, i inclús esta tenia algunes paraules deletreadas que varen rebre símbols en La Géométrie de Descartes de 1637. L'estudi formal de la resolució d'equacions simbòliques va dur a Leonhard Euler a acceptar lo que llavors es consideraven raïls "sense sentit", com números negatius i número imaginario, a finals de el XVIII. No obstant, els matemàtics europeus, en la seua majoria, es varen resistir a estos conceptes fins a mediats de el XIX.

El Tractat d'Àlgebra de George Peacock de 1830 va ser el primer intent de situar l'àlgebra sobre una base estrictament simbòlica. Va distinguir una nova àlgebra simbòlica, distinta de l'antiga àlgebra aritmètica. Mentres que en l'àlgebra aritmètica $a-b$ es restringix a $a\ge b$, en l'àlgebra simbòlica totes les regles de les operacions es mantenen sense restriccions. Usant açò Peacock podia mostrar lleis com $(-a)(-b)=ab$, deixant $a=0,c=0$ en $(a-b)(c-d)=ac+bd-ad-bc$. Peacock va utilisar lo que va denominar el principi de la permanència de formes equivalents per a justificar el seu argument, pero el seu raonament adolia del problema de l'inducció. Per eixemple, $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ es complix per als número real no negatius, pero no per als número complejo generals.

Teoria de grup primitiva

Vàries àrees de les matemàtiques varen dur a l'estudi dels grups. L'estudi de Lagrange de 1770 de les solucions de la quíntica va conduir al grup de Galois d'un polinomi. L'estudi de Gauss de 1801 del menuda teorema de Fermat va conduir al anell de sancers mòdul n, el grup multiplicativo de sancers mòdul n, i els conceptes més generals de grup cíclico i grup abeliano. El programa Erlangen de Klein de 1872 va estudiar geometria i va conduir a grups de simetria com el Grup euclídeo i el grup de transformació proyectiva. En 1874, Lie va introduir la teoria dels grups de Lie, en l'objectiu de desenrollar "la teoria de Galois de les equacions diferencials". En 1876, Poincaré i Klein varen introduir el grup de transformacions de Möbius, i els seus subgrups, com el grup modular i el grup de Fuch, basats en el treball sobre funcions automórficas en l'anàlisis.

El concepte abstracte de grup va sorgir llentament a mitan de el XIX. Galois en 1832 va ser el primer en utilisar el terme “grup”, significant una colecció de permutació tancades baixe composició. El treball d'Arthur Cayley Sobre la teoria de grups publicat en 1854 definia un grup com un conjunt en una operació de composició associativa i l'identitat 1, actualment denominat un monoide. En 1870 Kronecker va definir una operació binaria abstracta que era tancada, conmutativa, associativa i tenia la propietat de cancelació esquerra $b\ne c\to a\cdot b\ne a\cdot c$, similars a les lleis modernes per a un grup abeliano finito. La definició de Weber de 1882 d'un grup era una operació binaria tancada que era associativa i tenia cancelació esquerra i dreta. Walther von Dyck en 1882 va ser el primer en requerir elements inversos com a part de la definició d'un grup.

Una volta que va sorgir este concepte de grup abstracte, els resultats es varen reformular en este entorn abstracte. Per eixemple, el teorema de Sylow va ser demostrat novament per Frobenius en 1887 directament a partir de les lleis d'un grup finito, encara que Frobenius va comentar que la teorema es deduïa de la teorema de Cauchy sobre grups de permutació i del fet de que tot grup finito és un subgrup d'un grup de permutació. Otto Hölder va ser particularment prolífic en esta àrea, definint grups cocient en 1889, automorfismes de grup en 1893, aixina com grups simples. També va completar el teorema de Jordan-Hölder. Dedekind i Miller varen caracterisar independentment els grups hamiltonianos i varen introduir la noció de commutador de dos elements. Burnside, Frobenius i Molien varen crear la teoria de la representació de grups finitos a finals de el XIX. La monografia de J. A. de Séguier de 1905 Elements de la teoria de grups abstractes presentava molts d'estos resultats de forma abstracta i general, relegant els grups "concrets" a un apèndix, encara que es llimitava a grups finitos. La primera monografia sobre grups abstractes tant finitos com a infinits va ser Abstract Theory of Groups de O. K. Schmidt en 1916.

Teoria primerenca dels anells

La teoria d'anells no conmutativa va començar en extensions dels número complejo a números hipercomplejos, específicament William Rowan Hamilton de cuaterniones en 1843. Molts atres sistemes numèrics varen seguir poc despuix. En 1844, Hamilton va presentar bicuaterniones, Cayley va introduir els octoniones, i Grassman va introduir les àlgebra exteriors. James Cockle va presentar els números bicomplejos en 1848 i cocuaternionés en 1849. William Kingdon Clifford va introduir els bicuaterniones dividits en 1873. Ademés Cayley va introduir les àlgebra de grup sobre els número real i complexos en 1854 i les matrius quadrades en dos artículs de 1855 i 1858.

Una volta que va haver suficients eixemples, quedava classificar-los. En una monografia de 1870, Benjamin Peirce va classificar els més de 150 sistemes numèrics hipercomplejos de dimensió inferior a 6, i va donar una definició explícita d'un àlgebra associativa. Va definir els elements nilpotents i idempotents i va demostrar que qualsevol àlgebra conté un o un atre. També va definir la descomposició de Peirce. Frobenius en 1878 i Charles Sanders Peirce en 1881 varen demostrar independentment que les úniques àlgebra de divisió de dimensió finita sobre $ℝ$ eren els número real, els número complejo i els cuaterniones. En la década de 1880, Killing i Cartan varen demostrar que les àlgebra de Lie semisimples podien descompondre's en simples i varen classificar totes les àlgebra de Lie simples. Inspirant-se en açò, en la década de 1890 Cartan, Frobenius i Molien varen demostrar (independentment) que un àlgebra associativa de dimensió finita sobre $ℝ$ o $ℂ$ es descompon unívocamente en la suma directa d'un àlgebra nilpotent i un àlgebra semisimple que és el producte de cert número d'àlgebra simples, matrius quadrades sobre àlgebra de divisió. Cartan va ser el primer en definir conceptes com suma directa i àlgebra simple, que varen resultar molt influents. En 1907 Wedderburn va estendre els resultats de Cartan a un camp arbitrari, en lo que ara es coneix com el teorema principal de Wedderburn i teorema de Artin-Wedderburn.

En el cas dels anells conmutativos, vàries àrees juntes varen conduir a la teoria dels anells conmutativos. En dos artículs de 1828 i 1832, Gauss va formular els sancers gaussianos i va demostrar que formen un domini d'factorización única (DFU) i va demostrar la llei de reciprocitat biquadràtica. Jacobi i Eisenstein, més o menys al mateix temps, varen demostrar una llei de reciprocitat cúbica per als sancers de Eisenstein. L'estudi del última teorema de Fermat va conduir als sancers algebraics. En 1847, Gabriel Lamé va pensar que havia demostrat el FLT, pero la seua demostració era defectuosa, ya que va assumir que tots els camps ciclotòmics eren DFUs, no obstant, com Kummer va senyalar, $\mathbb{Q}({\zeta }_{23}))$ no era un DFU. En 1846 i 1847, Kummer va introduir els números ideals i va demostrar la factorización única en cosins ideals per a camps ciclotòmics. Dedekind va estendre açò en 1871 per a demostrar que cada ideal distint de zero en el domini dels sancers d'un camp numèric algebraic és un producte únic de cosins ideals, un precursor de la teoria de domini de Dedekind. En general, el treball de Dedekind va crear el tema de la teoria algebraica de números.

Definició, estructures i eixemples

Definició històrica

Birkhoff i McLane nos diuen:

"Es pot definir l'àlgebra abstracta com l'estudi de les propietats dels sistemes algebraics que es conserven en els isomorfismes."

Vinya pág. 37 de la seua Àlgebra Moderna (1954), Barcelona

Històricament, alguns temes varen sorgir en alguna disciplina diferent a l'àlgebra -case d'espais llineals i àlgebra de Boole-. Posteriorment, han segut axiomatizadas i després estudiades de propi dret en dit marc. Per això, esta matèria té numeroses i fructíferes conexions en totes les demés branques de la matemàtica i fòra d'ella.

Llistat d'estructures (sistemes) algebraics

• En una sola llei de composició:
  • Magma.
  • Semigrupos.
  • Cuasigrupos.
  • Monoides.
  • Grups.

• En dos o més lleis de composició:
  • Anells i cossos.
  • Mòduls i Espais vectorials.
  • Àlgebra associatives i Àlgebra de Lie.
  • Retículs i àlgebra de Boole.

l'Àlgebra universal és un camp de les matemàtiques que proveïx del formalisme per a comparar les diferents estructures algebraiques. Més allà de les estructures anteriors poden definir-se un atre tipo d'estructures algebraiques:

• Àlgebra homológica.
• Llenguages formals (concebuts com a cadenes de signes ben formats).
• Àlgebra sobre un cos.

Un eixemple

L'estudi sistemàtic no és veritat pero de l'àlgebra ha permés als matemàtics dur baix una descripció llògica comuna conceptes aparentment distints. Per eixemple, podem considerar dos operacions prou distintes: la composició d'aplicacions, $f(g(x))$, i el producte de matrius, $AB$. Estes dos operacions són, de fet, la mateixa. Podem vore açò, informalmente, de la següent forma: multiplicar dos matrius quadrades $(AB)$ per un vector d'una columna, $x$. Açò, de fet, definix una funció que és equivalent a compondre $Ay$ en $Bx$ $Ay$ = $A(Bx)$ = $(AB)x$. Les funcions baixe composició i les matrius baixe multiplicació formen estructures cridats monoides. Un monoide baix operació és associatiu per a tots els seus elements $((ab)c=a(bc))$ i conté un element $e$ tal que, per a qualsevol valor de $a$, $ae=ea=a$. Certament, que dos conjunts isomorfos es consideren idèntics, lo que interessen són les operacions i les seues lleis en dits conjunts.

Bibliografia

• Fraleigh, John B.: Àlgebra abstracta (1987).
• Herstein, I.N. Àlgebra abstracta (1988).

• Gray, Jeremy. A history of abstract algebra: from algebraic equations to modern algebra, Cham, Switzerland. doi:10.1007/978-3-319-94773-0. ISBN 978-3-319-94773-0.
• Kimberling, Clark (1981). «Emmy Noether and Her Influence», Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, Marcel Dekker, pp. 3–61.
• Kleiner, Israel. A history of abstract algebra, Boston, Mass.: Birkhäuser. doi:10.1007/978-0-8176-4685-1. ISBN 978-0-8176-4685-1.
• (1975).«Dirichlet's principle: A mathematical comedy of errors and its influence on the development of analysis».Oosthoek, Scheltema & Holkema.
• Birkhoff, G., MacLane, S. (1954). Àlgebra Moderna. Barcelona: VICENS-VIVES.

Enllaços externs

• John Beachy: Abstract Algebra On line
• Archivat el 28 de decembre de 2020 archivat en Wayback Machine., Llista de definicions i teoremes, en anglés.
• Joseph Mileti: Mathematics Museum: Abstract Algebra, una bona introducció a la matèria en térmens senzills, en anglés.