Magma (àlgebra)

Vore també: Grupoide

Un Magma és una estructura algebraica de la forma $(A,⊚)$ a on A és un conjunt en el que s'ha definit una operació binaria interna: $⊚$.

$\begin{array}{cccc}⊚:& A\times A& ⟶& A\\ & (a,b)& ⟼& c=a⊚b\end{array}$

Sent esta llei de composició una operació interna:

El terme magma es deu a l'associació de matemàtics francesos que es fa cridar Nicolás Bourbaki. Durant algun temps va competir, per a reflectir el mateix concepte, en la paraula grupoide, que té atres sentits en matemàtica (vore artícul grupoide), per lo que no és aconsellable el seu us com a sinònim de magma.

Definicions

Plantilla:De magma a grup 4 Els tipos de magma comunament estudiats inclouen:

• cuasigrupos — magma no buits a on la divisió és sempre possible.
• bucles — cuasigrupos en elements neutres.
• semigrupos — magma a on l'operació és associativa.
• monoides — semigrupos en element neutre.
• grups — monoides en elements simètrics, o equivalentement, cuasigrupos associatius (que són sempre bucles).
• grups abelianos — grups a on l'operació és conmutativa.

El terme "magma" va ser introduït per Bourbaki. Anteriorment s'usava el terme "grupoide", i encara s'utilisa a voltes. En esta enciclopèdia, no obstant, reservem el terme grupoide per a un concepte algebraic diferent.

Existix lo que podem cridar un magma lliure sobre qualsevol conjunt X i que pot ser descrit en térmens familiars en ciències de la computació com el magma dels arbres binarios en operació donada per la yuxtaposició (ordenada) dels arbres per la raïl. Té per tant un rol fundacional en sintaxis.

Més Definicions

Un magma es denomina:

• medial si satisfà l'identitat xy.uz=xu.yz (i.i. (xi)*(o*z)=(xo)*(i*z)),
• semimedial esquerre si satisfà l'identitat xx.yz=xy.xz,
• semimedial dret si satisfà l'identitat yz.xx=yx.zx,
• semimedial si és, al mateix temps, semimedial esquerre i dret,
• distributivo esquerre si satisfà l'identitat x.yz=xy.xz,
• distributivo dret si satisfà l'identitat yz.x=yx.zx,
• autodistributivo si és, al mateix temps, distributivo esquerre i dret,
• commutativo si satisfà xy=yx,
• idempotent si satisfà xx=x,
• unipotente si satisfà xx=yy,
• zeropotente si satisfà xx.i=yy.x=xx,
• alternativa si satisfà xx.i=x.xy & x.yy=xy.i,
• un semigrupo si satisfà x.yz=xy.z (asociatividad),

• un semigrupo en zeros esquerres o elements cancelativos esquerres si satisfà x=xy,
• un semigrupo en zeros drets o elements cancelativos drets si satisfà x=yx,
• un semigrupo en multiplicació nula si satisfà xy=uv,
• entrópico si és image homomórfica d'un magma cancelativo.

No asociatividad

Una operació binaria * en un conjunt S que no satisfaça la llei associativa es diu no-associativa. Simbòlicament,

$(x*y)*z\ne x*(y*z)\text{para algunos }x,y,z\in S$

per a tal operació l'orde de l'evaluació importa. La substracción i la divisió d'número real són eixemples ben coneguts d'operacions no-associatives:

$\begin{array}{c}(x-y)-z\ne x-(y-z)\\ (x/y)/z\ne x/(y/z)\end{array}\}\text{para algunos }x,y,z\in ℝ$

En general, es deuen utilisar paréntesis per a indicar l'orde de l'evaluació si apareix una operació no-associativa més d'una volta en una expressió. No obstant, els matemàtics convenen en una orde particular de l'evaluació per a vàries operacions no-associatives comunes. Açò té l'estatus d'una convenció, no d'una veritat matemàtica. Una operació esquerre-asociable s'evalua convencionalment d'esquerra a dreta, és dir,

$\begin{array}{c}x*y*z=(x*y)*z\\ w*x*y*z=((w*x)*y)*z\\ \text{etc.}\end{array}\}\text{para todo }w,x,y,z\in S$

mentres que una operació dret-asociable s'evalua convencionalment de dreta a esquerra:

$\begin{array}{c}x*y*z=x*(y*z)\\ w*x*y*z=w*(x*(y*z))\\ \text{etc.}\end{array}\}\text{para todo }w,x,y,z\in S$

Les operacions esquerre-asociables i dret-asociables ocorren; els eixemples es donen avall.

Més eixemples

Les operacions esquerre-asociables inclouen les següents.

• Substracción i divisió d'número real:

$x-y-z=(x-y)-z\text{para todo }x,y,z\in ℝ;$

$x/y/z=(x/y)/z\text{para todo }x,y,z\in ℝ\text{ con }y\ne 0,z\ne 0.$

Les operacions dret-asociables inclouen la següent.

• Exponenciación d'número real:

$x^{y^z}=x^{(y^z)}.$

La raó per la que la exponenciación és dret-asociable és que una operació esquerre-asociable repetida de l'exponent seria menys útil. Múltiples aparicions es podrien reescriure en la multiplicació:

$(x^y{)}^z=x^{(yz)}.$

• L'operador d'assignació en molts llenguages de programació és dret-asociable.

Per eixemple, en el llenguage C

x = i = z;  significa  x = (i = z);  i no  (x = i) = z;

És dir la declaració assignaria el valor de z a abdós x i i.

Les operacions no-associatives per a les quals no es definix cap orde convencional de l'evaluació inclouen el següent.

• Prendre el promig d'número real:

$\frac{(x+y)/2+z}{2}\ne \frac{x+(y+z)/2}{2}\ne \frac{x+y+z}{3}\text{para algunos }x,y,z\in ℝ.$

• Prendre el complement relatiu de conjunts:

$(A\mathrm{\setminus }B)\mathrm{\setminus }C\ne A\mathrm{\setminus }(B\mathrm{\setminus }C)\text{para algunos conjuntos }A,B,C.$

Vore també

• Categoria dels magma
• Grupoide

Grup Monoide Semigrupo Magma Conjunt Llei de composició Interna Asociatividad Element neutre Element simètric

Referències

• Plantilla:Springer
• Plantilla:Springer
• Plantilla:Mathworld

Referències