Grupoide

Un grupoide, en matemàtica, especialment en teoria de les categories i en homotopía, és un concepte que, simultàneament, generalisa grups, relaciones d'equivalència en conjunts, i accions de grups en conjunts.
Freqüentment, són usats per a captar informació sobre objectes geomètrics tals com varietats.

El terme "grupoide" també és usat per a un magma: un conjunt en qualsevol tipo d'operació binaria en ell. No usarem eixe terme per a tal concepte en este artícul.

Definicions

Des d'un punt de vista de categories, un grupoide és simplement una d'elles en la que tot morfisme és un isomorfisme (o siga, aquell és inversible).

Alternativament és possible donar la següent definició equivalent: un grupoide $G\rightrightarrows M$ consistix de

• Dos conjunts $G^{}$, el grupoide i $M$, la base.
• $s,t:G\to M$ funcions sobreyectivas. $s$ és cridada proyecció orige o font i $t$ és cridada la proyecció final o destí.
• Una aplicació $1:M\to G$, $x\mapsto 1_x$, l'aplicació d'inclusió o identitat.
• Si $G*G:=\{(\eta ,\xi )\in G\times G:t(\xi )=s(\eta )\}$, llavors hi ha una multiplicació parcial $G*G\to G$ que satisfà les següents condicions

• $s(hg)=s(g)$, $t(hg)=t(h)$, per a tot $(h,g)\in G*G$.
• Asociatividad.
• $s(1_x)=t(1_x)=x$, per a tot $x\in M$.
• $g{1}_{s(g)}=1_{t(g)}g=g$, per a tot $g\in G$.
• Per a tot $g\in G$, existix $g^{-1}\in G$, tal que $g^{-1}g=1_{s(g)}$ i $g{g}^{-1}=1_{t(g)}$.

Eixemples

• Els grups són els grupoides en base trivial.

• Siga $M$ conjunt, $G$ grup, $s:M\times G\times M\to M$ la proyecció a la tercera coordenada, $t:M\times G\times M\to M$ la proyecció a la primera coordenada, $1:M\to M\times G\times M$ donada per $x\mapsto (x,1,x)$. La multiplicació parcial i inversa donades per $(z,h,y)(y,g,x)=(z,hg,x)$, $(y,g,x{)}^{-1}=(x,g^{-1},y)$, respectivament. Açò resulta ser un grupoide que es denota $M\times G\times M\rightrightarrows M$ i és cridat el grupoide trivial sobre $M$ en grup $G$.

• En topología, el grupoide fonamental d'un espai topològic $X$ és el conjunt de classes d'homotopía de curves en l'operació yuxtapondre classes (quan és possible fer-ho). Li'l representa en l'expressió ${\pi }_1(X)$.

Les classes de homotopía són les classes d'equivalència determinades per la relació de ser homotópicas, és dir, dos curves $\alpha ,\beta :[0,1]\to X$ tal que $\alpha (0)=\beta (0)$ i $\alpha (1)=\beta (1)$; són homotópicas si existix una aplicació contínua $H:[0,1]\times [0,1]\to X$ tal que

$H(k,0)=\alpha (k)$, $H(k,1)=\beta (k)$

$H(0,r)=\alpha (0)=\beta (0)$, $H(1,r)=\alpha (1)=\beta (1)$.

En este cas la base és l'espai $X$, les aplicacions orige i final són l'orige i el final de cada curva. L'aplicació identitat és $1_x(r)=x$, és dir la classe d'equivalència de la curva constant en $x$ i l'inversa és recórrer la curva en sentit contrari.

És clar que el grupoide fonamental inclou a tots els grups fonamentals i els integra en una sola estructura, que a la postre resulta ser més natural per a l'estudi de la homotopía.

Si $X$ és un conjunt i $\simeq$ és una relació d'equivalència en $X$, llavors podem formar un grupoide que representa esta relació d'equivalència com seguix: la base és $X$, i per a qualssevol dos elements $x,y$ en $X$, hi ha un únic morfismo des de $x$ fins a $y$ si i només si $x\simeq y$.

Vore també

• Heinrich Brandt

Referències

• Paterson, Alan L.T. (1999). Alan L.T. Paterson (ed.). Groupoids, Inverse Semigroups, and Their Operator Algebras (en anglés), Berlín: Springer Velag.. ISBN 0817640517.