Homotopía

Archiu:Homotopy between two paths.svg

Homotopía

En topología, i més precisament en topología algebraica, dos aplicacions contínues d'un espai topològic en un atre es diuen homótopas (del grec homos = mateix i talps = lloc) si una d'elles pugues "deformar-se contínuament" en l'atra.

Un us notable de la homotopía és la definició de grups de homotopía i grups de cohomotopía, importants invariantes en topología algebraica.

En la pràctica, hi ha dificultats tècniques en l'us de homotopía en certs espais. Els topólogos algebraics treballen en espais compacte generats, CW-complex, o espectre.

Definició formal

Archiu:Mug and Torus morph.gif

Una homotopía entre dos embeddings del bou en R³: com "la superfície d'un dònut" i com "la superfície d'una tassa de café". Est és també un eixemple d'isotopía.

Dos aplicacions contínuas $f,g:X\to Y$ es diuen homótopas si existix una atra aplicació (contínua també) $H:X\times [0,1]\to Y$ tal que:

$H(x,0)=f(x)$

$H(x,1)=g(x)$

Un eixemple important són les diferents classes (de homotopía) de mapages del círcul a un espai $X$

$S^1\to X$

l'estructura resultant és l'importantíssim grup fonamental.

• Si dos aplicacions f i g són homótopas, s'escriu f ≃ g; lo que significa esta relació és efectivament una relació d'equivalència sobre el conjunt d'aplicacions contínues de X en I, Les classes d'equivalència es denominen classes de homotopía d'aplicacions.

Una notació alternativa és dir que una homotopía entre dos funcions contínues $f,g:X\to Y$ és una família de funcions contínues $h_t:X\to Y$ per a $t\in [0,1]$ tal que $h_0=f$ and $h_1=g$, i el map $(x,t)\mapsto h_t(x)$ és continu des de $X\times [0,1]$ fins a $Y$. Les dos versions coincidixen fixant $h_t(x)=H(x,t)$. No n'hi ha prou en exigir que cada mapa $h_t(x)$ siga continu.

L'animació que està en bucle dalt a la dreta proporciona un eixemple d'una homotopía entre dos encaixos, f i g, del bou en R³. X és el bou, I és R³, f és alguna funció contínua des del bou a R³ que du el bou a la superfície incrustada d'una forma de rosquilla en la que comença l'animació; g és alguna funció contínua que du el bou a la superfície incrustada d'una forma de tassa de café. L'animació mostra l'image de h_t(x) en funció del paràmetro t, a on t varia en el temps de 0 a 1 en cada cicle del bucle d'animació. Fa una pausa, després mostra l'image mentres t torna a variar d'1 a 0, fa una pausa, i repetix este cicle.

Propietats

Es diu que les funcions contínues f i g són homotópicas si i només si existix una homotopía H que du f a g com s'ha descrit anteriorment. Ser homotópico és una relació d'equivalència en el conjunt de totes les funcions contínues de X a I. Esta relació de homotopía és compatible en la composició de funcions en el següent sentit: si f₁, g₁ : X → I són homotópicas, i f₂, g₂ : I → Z són homotópicas, llavors les seues composicions f₂ ∘ f₁ i g₂ ∘ g₁ : X → Z també són homotópicas.

Eixemples

• Si $f,g:ℝ\to {ℝ}^2$ ve dau per $f(x):=(x,x^3)$ i $g(x)=(x,e^x)$, llavors el mapa $H:ℝ\times [0,1]\to {ℝ}^2$ dau per $H(x,t)=(x,(1-t)x^3+t{e}^x)$ és una homotopia entre ells.

• Més generalment, si $C\subseteq {ℝ}^n$ és un convexo subconjunt del espai euclídeo i $f,g:[0,1]\to C$ són sendes en els mateixos punts finals, llavors hi ha una homotopía llineal donada per

  $\begin{array}{cc}H:[0,1]\times [0,1]& ⟶C\\ (s,t)& ⟼(1-t)f(s)+tg(s).\end{array}$

• Deixant que ${\mathrm{id}}_{B^n}:B^n\to B^n$ siga la funció identitat en l'unitat n-disc; és dir, el conjunt $B^n:=\{x\in {ℝ}^n:\Vert x\Vert \le 1\}$. Siga $c_{\overrightarrow{0}}:B^n\to B^n$ siga la funció constant $c_{\overrightarrow{0}}(x):=\overrightarrow{0}$ que envia cada punt al orige. Llavors la següent és una homotopía entre elles:

  $\begin{array}{cc}H:B^n\times [0,1]& ⟶B^n\\ (x,t)& ⟼(1-t)x.\end{array}$

Equivalència de homotopía

Donats dos espais topològics X i I, una equivalència de homotopía entre X i I és un parell de funcions contínues f : X → I} i g : I → X, tal que g ∘  f és homotópica a la mapa identitat aneu_X i f ∘ g és homotópica a aneu_I. Si tal parell existix, llavors es diu que X i I són homotópicamente equivalents, o del mateix tipo homotópico'. Intuitivamente, dos espais X i I són homotópicamente equivalents si poden transformar-se l'un en l'atre per mig d'operacions de flexión, contracció i expansió. Els espais que són homotópicamente equivalents a un punt es diuen contràctils.

Equivalència de homotopía vs. homeomorfisme

Un homeomorfisme és un cas especial d'una equivalència homotópica, en la que g ∘  f és igual al mapa identitat aneu_X (no només homotópico a ell), i f ∘ g és igual a aneu_I.Per lo tant, si X i I són homeomórficos, llavors són homotópicamente equivalents, pero ho contrarie no és cert. Alguns eixemples:

• Un disc sòlit és homotópicamente equivalent a un únic punt, ya que es pot deformar el disc a lo llarc de llínees radials contínuament fins a un únic punt. No obstant, no són homeomorfos, ya que no hi ha biyección entre ells (ya que un és un conjunt infinit, mentres que l'atre és finito).
• La banda de Möbius i una banda no retortillada (tancada) són homotópicamente equivalents, ya que es poden deformar abdós bandes contínuament fins a un círcul. Pero no són homeomorfas.

Tipo homotópico

Es diu que dos espais X, I tenen el mateix tipo de homotopía, si existix un parell d'aplicacions $X\stackrel{f}{\to }Y$ i $Y\stackrel{g}{\to }X$ tals que $g\circ f$ i $f\circ g$ són homótopas a $I{d}_X$ i $I{d}_Y$ respectivament.

Sol ser utilisat el símbol: $f\simeq g$, per a indicar que els objectes f i g són homótopos.

Com a eixemples, una 1-esfera i un bou sòlit tenen el mateix tipo de homotopía. Un espai topològic que té el mateix tipo de homotopía que un conjunt unitari es diu contràctil.

Variants

Homotopía relativa

Per a poder definir el grup fonamental es definix de la noció de homotopía relativa a un subespacio. Les mateixes són homotopía que mantenen fixos els elements del subespacio. Formalment: si f i g són mapes continus de X a I i K és un subconjunt de X, llavors es diu que f i g són homotópicos relatius en K si és que existix una homotopía H : X &claves; [0, 1] → I entre f i g tal que H(k, t) = f(k) = g(k) para tot k ∈ K i t ∈ [0, 1]. També, si g és una retracció de X a K i f és l'aplicació identitat, es coneix com retracció de deformació de X a K. Quan K és un punt, s'utilisa el terme fomotopía puntual.

Isotopía

En cas que les dos funcions contínues donades f i g de l'espai topològic X a l'espai topològic I siguen encaixos, un pot preguntar-se si poden conectar-se 'a través d'encaixos'. Açò dona lloc al concepte de isotopía, que és una homotopía, H, en la notació utilisada abans, tal que per a cada t determinat, H(x, t) dona un encaix.

Un concepte relacionat, pero diferent, és el d'isotopía ambiental.

Requerir que dos encaixos siguen isotòpics és un requisit més fort que el que siguen homotópicas. Per eixemple, l'aplicació del mapa de l'interval [−1, 1] als número real definits per f(x) = −x no és isotòpica a l'identitat g(x) = x. Qualsevol homotopía de f a l'identitat tindria que intercanviar els extrems, lo que significaria que tindrien que 'travessar-se' entre sí. Ademés, f ha canviat l'orientació de l'interval i g no, la qual cosa és impossible baix una isotopía. No obstant, els mapes són homotópicos; una homotopía de f a l'identitat és H: [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1] donada per H(x, i) = 2yx − x.

Es pot demostrar que dos homeomorfismes (que són casos especials d'encaixos) de la bola unitària que concorden en el llímit són isotòpics usant el truc d'Alexander. Per esta raó, el mapa del disc unitari en R² definit per f(x, i) = (−x, −i) és isotòpic en una rotació de 180-graus al voltant de l'orige, i per lo tant el mapa d'identitat i f són isotòpics perque estan relacionats per mig de rotacions.

En l'àmbit de la topología geomètrica; per eixemple en la teoria de nucs— l'idea d'isotopía és utilisada per a construir relacions d'equivalència. Per eixemple, quan és que dos nucs deuen ser considerats el mateix? Si es té n dos nucs, K₁ i K₂, en un espai tridimenasional. Un nuc és un encaix d'un espai unidimensional, el "llaç d'cuerdo" (o el círcul), en este espai, i este encaix dona un homeomorfisme entre el círcul i la seua image en l'espai d'encaix. L'idea intuïtiva darrere de la noció d'equivalència de nuc és que es pot deformar d'un encaix a un atre a través d'un camí d'encaixos: una funció contínua que comença en t = 0 proveïx l'encaix K₁, i finalisa en t = 1 proveint l'encaix K₂, i tots els valors intermijos corresponen a encaixos. Això és la definició d'isotopía. Una isotopía ambiental, analisada en este context, és una isotopía de l'espai més ampli, considerada a la llum de la seua acció en les varietats encaixades. Els nucs K₁ i K₂ són considerats equivalents quan existix una isotopía ambiental que desplaça K₁ a K₂. Esta és la definició apropiada en la categoria topològica.

Un llenguage similar és usat per al concepte equivalent en contexts a on existix una noció forta d'equivalència. Per eixemple, un camí entre dos encaixos plans és una isotopía plana.

Homotopía temporal

En una varietat lorentziana, certes curves es distinguixen com temporalés (que representen alguna cosa que solament alvança, no retrocedix, en el temps, en cada marc local). Una homotopía temporal entre dos curves temporals és una homotopía tal que la curva permaneix temporal durant la transformació contínua d'una curva a una atra. Cap curva temporal tancada (CTC) en una varietat lorentziana és homotópica temporal cap a un punt (és dir, homotópica temporal nula); per lo tant, es diu que tal varietat està conectada de forma múltiple per curves temporals. Una varietat com la de l'esfera 3 es pot conectar simplement (per mig de qualsevol tipo de curva) i, no obstant, estar conectada de forma múltiple en el temps.

Usos

Teorema fonamental de l'àlgebra

La homotopía és la font de moltes demostracions. Un eixemple famós és el Teorema fonamental de l'àlgebra, que indica que qualsevol polinomi no constant en coeficients complexos té a lo manco una raïl en ℂ⁴ .

Per a demostrar-ho, considerem un polinomi unitari P que no té raïl en ℂ i provarem que el seu grau n és zero. Per a cada r real positiu , definim el bucle α_r per mig de

$\mathrm{\forall }t\in [0,1]{\alpha }_r(t)=\frac{P(r\exp (2\pi \mathrm{i}t))/P(r)}{|P(r\exp (2\pi \mathrm{i}t))/P(r)|}.$

Per definició, α_r és un bucle definit en el círcul. Si r és igual a 0, obtenim el bucle constant igual a 1. Com la funció que associa α_r( t ) en r i t és contínua, tots els bucles α_r són homotópicos en un punt.

Siga (a_j) la seqüència dels coeficients de P i ρ un número real major que 1 i que la suma Σ|a_j| de mòduls de coeficients de P . Si z és un complex de mòdul ρ,

$(1)|z^n|={\rho }^n>(|a_0|+\cdots +|a_{n-1}|){\rho }^{n-1}\ge |a_0+a_{1}z+\cdots +a_{n-1}{z}^{n-1}|.$

Definim el polinomi P_s i el bucle β_s per mig de:

$P_s(z)=s(a_0+a_{1}z+\cdots +a_{n-1}{z}^{n-1})+z^n,\mathrm{\forall }t\in [0,1]{\beta }_s(t)=\frac{P_s(\rho \exp (2\pi \mathrm{i}t))/P_s(\rho )}{|P_s(\rho \exp (2\pi \mathrm{i}t))/P_s(\rho )|}.$

Les desigualtats (1) mostren que si | s | ≤ 1, el polinomi P_s no admet una raïl de mòdul ρ per lo que el bucle β_s està ben definit. El bucle β₀ realisa n tornades al voltant de l'orige, segons el paràgraf anterior. Ya que la funció que associa β _s(t) en s i t és contínua, este bucle β₀ és homotopico a β₁ = α_ρ. Com este últim és homotópico en un punt, és dir que fa 0 regressos al voltant de l'orige, n és igual a 0.

Grup fonamental

Si X és un espai topològic, podem compondre dos bucles de la mateixa base p (és dir, del mateix orige i del mateix final p) α₁ i α₂ construint un bucle que primer travesse la trayectòria de α₁, després el de α₂. Esta composició és compatible en la relació d'equivalència que és homotópica a. Cocient d'esta relació d'equivalència, obtenim una estructura de grup denominada grup fonamental o grup de Poincaré. Esta noció es generalisa i permet definir una infinitat degrupos de homotopía.

Este grup està en l'orige de les manifestacions. Un dels més famosos és el del Teorema del punt fix de Brouwer en la dimensió dos, que indica que qualsevol mapa continu del disc en sí mateixa admet un punt fix.

Bibliografia

• Homotopía en MathWorld.
• Plantilla:Springer
• Brayton Gray: Homotopy theory. An introduction to algebraic topology (= Pure and Applied Mathematics. Nr. 64). Academic Press, New York o. a. 1975, ISBN 0-12-296050-5.
• Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79540-0 (cornell.edu).
• John McCleary (Hrsg.): Higher Homotopy Structures in Topology and Mathematical Physics. Proceedings of an international Conference, June 13 – 15, 1996 at Vassar College, Poughkeepsie, New York, to Honor the sixtieth Birthday of Jim Stasheff (= Contemporary Mathematics. Band 227). American Mathematical Society, Providence RI 1999, ISBN 0-8218-0913-X.

• George W. Whitehead: Elements of Homotopy Theory. Corrected 3rd Printing (= Graduate Texts in Mathematics. Band 61). Springer, New York o. a. 1995, ISBN 0-387-90336-4.
• M. Sielemann, F. Casella, M. Otter, C. Claus, J. Eborn, S. I. Mattsson, H. Olsson: Robust Initialization of Differential-Algebraic Equations Using Homotopy. International Modelica Conference, Dresden 2011, ISBN 978-91-7393-096-3.
• Armstrong, M.A. (1979). Basic Topology, Springer. ISBN 978-0-387-90839-7.
• Plantilla:Springer
• Plantilla:Springer
• Spanier, Edwin. Algebraic Topology, Springer. ISBN 978-0-387-94426-5.