Topología algebraica

Topología algebraica

La topología algebraica és una branca de les matemàtiques en la que s'usen les ferramentes del àlgebra abstracta per a estudiar els espais topològics. L'objectiu bàsic és trobar invariantes algebraiques que classifiquen els espais topològics llevat homeomorfisme, encara que normalment molts es classifiquen llevat equivalència homotópica.

Un bou, un dels objectes més freqüentment estudiats en topología algebraica

Encara que la topología algebraica usa principalment l'àlgebra per a estudiar problemes topològics, a voltes també és possible usar la topología per a resoldre problemes algebraics. La topología algebraica, per eixemple, permet una prova convenient de que qualsevol subgrup d'un grup lliure és novament un grup lliure.

Principals branques de la topología algebraica

A continuació, es presenten algunes de les principals àrees estudiades en topología algebraica:

Grups de homotopía

Artícul principal → Grup de homotopía.

En matemàtiques, els grups de homotopía s'utilisen en topología algebraica per a classificar espais topològics. El primer i més simple grup de homotopía és el grup fonamental, que registra informació sobre bucles en un espai. Intuitivamente, els grups de homotopía registren informació sobre la forma bàsica, o forats, d'un espai topològic.

Homologia

Artícul principal → Homologia (matemàtiques).

En topología algebraica i àlgebra abstracta, homologia' (en part de grec ὁμός homos "idèntic") és un cert procediment general per a associar una seqüència de grup abelianos o mòduls en un objecte matemàtic dau, com un espai topològic o un grup.

Cohomología

Artícul principal → Cohomología.

En teoria de l'homologia i topología algebraica, cohomología és un terme general per a una seqüència de grup abelianos definida a partir d'un complex de co-cadenes. És dir, la cohomología es definix com l'estudi abstracte de les co-cadenes, cociclos i co-llímits. La cohomología pot vore's com un método d'assignar invariantes algebraics a un espai topològic que té una estructura algebraica més refinada que la homologia. La cohomología sorgix de la dualización algebraica de la construcció de l'homologia. En un llenguage menys abstracte, les co-cadenes en sentit fonamental deurien assignar 'cantitats' a les cadenes de la teoria de l'homologia.

Manifolds

Artícul principal → Varietat (matemàtiques).

Un manifold és un espai topològic que prop de cada punt s'assembla al espai euclídeo. Alguns eixemples són el pla, la esfera i el toroide, que poden realisar-se en tres dimensions, pero també la botella de Klein i el pla real proyectivo que no poden realisar-se en tres dimensions, pero sí en quatre. Típicament, els resultats en topología algebraica se centren en aspectes globals, no diferenciables de les varietats; per eixemple dualitat de Poincaré.

Teoria de nucs

Artícul principal → Teoria de nucs.

Teoria de nucs és l'estudi de nuc matemàtics. Encara que s'inspira en els nucs que apareixen en la vida quotidiana en cordoneres de sabates i cuerdo, un nuc matemàtic diferix que els extrems estan units de manera que no es pot desfer. En llenguage matemàtic precís, un nuc és una incrustación d'un círcul en el espai euclídeo tridimensional, ${ℝ}^3$. Dos nucs matemàtics són equivalents si un pot transformar-se en l'atre per mig d'una deformació de ${ℝ}^3$ sobre sí mateixa (coneguda com una isotopía ambiental); estes transformacions corresponen a manipulacions d'una corda nugada que no impliquen tallar la corda o passar la corda a través de sí mateixa.

Complexos

Artícul principal → Complex simplicial.

Un 3-complex simplicial.

Un complex simplicial és un espai topològic de cert tipo, construït "pegant" punts, segment de rectas, triànguls, i les seues n-dimensional counterparts (vejau ilustració). Els complexos simpliciales no deuen confondre's en la noció més abstracta de conjunt simplicial que apareix en la teoria moderna de la homotopía simplicial. La contrapartida purament combinatòria d'un complex simplicial és un complex simplicial abstracte.

Un complex de CW és un tipo d'espai topològic introduït per J. H. C. Whitehead per a satisfer les necessitats de la Teoria de la homotopía. Esta classe d'espais és més àmplia i té algunes propietats categòriques millors que els complexos simpliciales, pero encara conserva una naturalea combinatòria que permet la computació (a sovint en un complex molt més menut).

El método dels invariantes algebraics

La meta és classificar els espais topològics. Un nom antic per a esta matèria era el de topología combinatòria, que posava l'émfasis en cóm un espai donat X podia construir-se a partir d'espais més menuts. El método bàsic que s'aplica ara en topología algebraica és el d'investigar els espais per mig dels invariantes algebraics: per eixemple aplicant-los, relacionant-los en els grups, que tenen prou estructura utilisable, i de manera que es respecte la relació d'homeomorfisme d'espais.

Les dos formes principals com es fa açò són a través dels grups fonamentals, o més en general la Teoria de homotopía, i per mig dels grups d'homologia i de cohomología. Els grups fonamentals nos suministren informació bàsica sobre l'estructura d'un espai topològic; pero són a sovint no-abelianos i poden ser difícils d'usar. El grup fonamental d'un complex simplicial (finito) té una presentació finita.

Els grups d'homologia i cohomología, per una atra part, són abelianos, i en molts casos importants són finitamente generats. Els grups abelianos finitamente generats poden classificar-se completament i són particularment fàcils d'usar.

Resultats en homologia

Varis resultats útils se seguixen immediatament de treballar en grups abelianos finitamente generats. El ranc lliure del grup de n-homologia d'un complex simplicial és igual al n-número de Betti, aixina que es poden usar els grups d'homologia d'un complex simplicial per a calcular el seu característica de Euler-Poincaré. Si un grup de n-homologia d'un complex simplicial té torsió, llavors el complex és no-orientable. Aixina que l'homologia "codifica" gran part de l'informació topològica d'un espai topològic dau.

Més allà de l'homologia simplicial, podem usar l'estructura diferencial de les Varietatés per mig de la Cohomología de De Rham, o la de Cech o en la cohomología de fas per a investigar la resolubilidad de les equacions diferencials definides en la varietat en qüestió. De Rham va demostrar que tots estos tipos d'aproximació estan interrelacionados i que els números de Betti que es deriven de l'homologia simplicial eren els mateixos números de Betti que aquells que es deriven de la cohomología de De Rham.

Aplicacions

Entre l'aplicacions clàssiques de la topología algebraica es troben:

• El teorema del punt fix de Brouwer: tota aplicació contínua f d'un disc tancat en sí mateixa admet a lo manco un punt fix.
• La n-esfera admet un camp vectorial unitari continu, que no s'anula mai, si i solament si n és impar (per a n = 2, este resultat també es coneix com teorema de la bola peluda).
• El teorema de Borsuk-Ulam.

Posicionament en Teoria de Categories

En general, totes les construccions de la topología algebraica són funtoriales: les nocions de categoria, funtor i transformació natural es varen originar ací. Els grups fonamentals, d'homologia i cohomología no són només invariantes de l'espai topològic subjacent, en el sentit de que dos espais topològics són homeomorfos si tenen associats els mateixos grups; una aplicació contínua d'espais induïx un homomorfisme entre els grups associats, i estos homomorfismes poden ser usats per a provar la no-existència (o, més profundament, l'existència) d'aplicacions.

Conjunt en teoria de categories

En general, totes les construccions de la topología algebraica són functoriales; les nocions de categoria, functor i transformació natural es varen originar ací. Els grups fonamentals i els grups d'homologia i cohomología no només són invariantes de l'espai topològic subjacent, en el sentit de que dos espais topològics que són homeomorfos tenen els mateixos grups associats, sino que els seus morfismos associats també es corresponen: un mapage continu d'espais induïx un homomorfisme de grup en els grups associats, i estos homomorfismes poden utilisar-se per a demostrar la no existència (o, molt més profundament, l'existència) de mapages.

Un dels primers matemàtics en treballar en distints tipos de coho| mología va ser Georges de Rham. Es pot utilisar l'estructura diferencial de varietat diferenciable via Cohomología de De Rham, o Cohomología de Čech o cohomología del fes per a investigar la resolubilidad de equacions diferencials definides en el manifold en qüestió. De Rham va demostrar que tots estos enfocaments estaven interrelacionados i que, per a una varietat tancada i orientada, els números de Betti obtinguts per mig de l'homologia simplicial eren els mateixos números de Betti que els obtinguts per mig de la cohomología de De Rham. Açò es va ampliar en la década de 1950, quan Samuel Eilenberg i Norman Steenrod varen generalisar este enfocament. Varen definir l'homologia i la cohomología com funtorés equipats en transformacions naturals subjectes a certs #axioma (per eixemple, una equivalència dèbil d'espais passa a un isomorfisme de grups homológicos), varen verificar que totes les teories (co)homológicas existents satisfeen estos #axioma, i després varen demostrar que tal axiomatización caracterisava unívocamente la teoria.

Els problemes de la topología algebraica

El problema geomètric, obert per prop d'un sigle, i més famós de la topología algebraica és la Conjectura de Poincaré, resolt pel rus Grigori Perelmán en 2002. El camp de la Teoria de homotopía conté molts misteris, en particular la manera correcta de descriure els grups d'homotopía de les esferes.

Aplicacions de la topología algebraica

Les aplicacions clàssiques de la topología algebraica inclouen:

• El Teorema del punt fix de Brouwer: tot mapa contínua de l'unitat n-disc a sí mateixa té un punt fix.
• El ranc lliure del n grup homológico d'un complex simplicial és el n número de Betti, que permet calcular la característica de Euler-Poincaré.

• Una varietat és orientable quan el grup d'homologia integral de la dimensió superior són els número entero, i no és orientable quan és 0.
• La n-esfera admet un camp vectorial unitari continu que no desapareix en ninguna parte si i només si n és impar. (Per a n = 2, açò es diu a voltes el "teorema de la bola peluda").
• El teorema de Borsuk-Ulam: qualsevol mapa continu de la n -esfera al n -espai euclidiano identifica a lo manco un parell de punts antipodales.
• Tot subgrup d'un grup lliure és lliure. Este resultat és prou interessant, perque l'enunciat és purament algebraic, pero la prova més senzilla que es coneix és topològica. A saber, qualsevol grup lliure G pot ser realisat com el grup fonamental d'un grafo X. La teorema principal sobre espais de cobertura nos diu que cada subgrup H de G és el grup fonamental d'algun espai de cobertura I de X; pero cada I és de nou un grafo. Per tant, el seu grup fonamental H és lliure. Per una atra part, este tipo d'aplicació també es maneja de manera més senzilla per mig de l'us de morfismos de cobertura de groupoides, i eixa tècnica ha donat lloc a teoremes de subgrups que encara no s'han demostrat per métodos d'topología algebraica; vejau Higgins (1971).
• Combinatoria topològica.

Ferramentes importants

Les ferramentes importants (com a teoremes fonamentals) per al càlcul de invariantes d'esta teoria són:

Vejau també

• Homeomorfisme
• Topología geomètrica
• Teoria geomètrica de grups

Bibliografia

Algebraic topology en Wikimedia Commons. Topología algebraica en Viquidites.

• (2008).«Simplicial Sets and van Kampen's Theorem». (Discusses generalized versions of van Kampen's theorem applied to topological spaces and simplicial sets).
• (1993).«Topology and Geometry».Springer.139.
• (2007).«Higher dimensional group theory».Consultat el 21 d'abril de 2023. (Gives a broad view of higher-dimensional van Kampen theorems involving multiple groupoids).
• (1984).«A van Kampen theorem for unions of senar-connected spaces».Arch. Math..42

85–88.doi:10.1007/BF01198133.. "Gives a general theorem on the fonamental groupoid with a set of base points of a space which is the union of open sets."

• (2002).«The homotopy double groupoid of a Hausdorff space».Theory Appl. Categories.10(2)

71–93..

• (1978).«On the connection between the second relative homotopy groups of some related spaces».Proc. London Math. Soc..S3-36(2)

193–212.doi:10.1112/plms/s3-36.2.193.. "The first 2-dimensional version of van Kampen's theorem."

• (2011).«Nonabelian Algebraic Topology: Filtered Spaces, Crossed Complexes, Cubical Homotopy Groupoids».European Mathematical Society.15 This provides a homotopy theoretic approach to basic algebraic topology, without needing a basis in singular homology, or the method of simplicial approximation. It contains a lot of material on crossed modules.
• (1976).«A First Course In Abstract Algebra».Addison-Wesley.Reading:
• (1981).«Algebraic Topology: A First Course, Revised edition».Westview/Perseus.. A functorial, algebraic approach originally by Greenberg with geometric flavoring added by Harper.
• (2002).«Algebraic Topology».Cambridge University Press.. A modern, geometrically flavoured introduction to algebraic topology.
• (1971).«Notes on categories and groupoids».Van Nostrand Reinhold.
• (1970).«Algebraic Topology».Van Nostrand Reinhold..
• (2008).«Algebraic Topology».European Mathematical Society.
• (1933).«On the connection between the fonamental groups of some related spaces».American Journal of Mathematics.55(1)

261–7.

Enllaços externs

• El llibre d'Allen Hatcher: Algebraic Topology, es pot descarregar lliurement en els formats de PDF i PostScript: http://www.math.cornell.edu/hatcher/AT/ATpage.html
• Lliure complet en PDF de Carlos Ivorra
• Archivat el 3 de agost de 2016 archivat en Wayback Machine.