Relació d'equivalència

Diagrama en els diferents tipos de relacions binarias, partint de la relació homogénea

En teoria de conjunts i àlgebra, la noció de relació d'equivalència sobre un conjunt permet establir una relació entre els elements del conjunt que compartixen certa característica o propietat. Açò permet reagrupar dits elements en classes d'equivalència, és dir, «paquets» d'elements similars. Açò possibilita la construcció de nous conjunts «juntant» tots els elements d'una mateixa classe com un sol element que els representarà i que definix la noció de conjunt cocient.

Definició

Siga $K$ un conjunt donat no buit i $ℛ$ una relació binaria definida sobre $K$. Es diu que $ℛ$ és una relació d'equivalència si complix les següents propietatés:

• Reflexividad: Tot element de $K$ està relacionat en si mateixa. És dir,

$\mathrm{\forall }x\in K:xℛx$.

• 

  Diagrama que mostra l'estructura d'una relació d'equivalència. Els punts representen elements i les fleches relaciones entre ells

  Simetria: Si un element de $K$ està relacionat en un atre, llavors eixe atre element també es relaciona en el primer. És dir,

$\mathrm{\forall }x,y\in K:xℛy\Rightarrow yℛx$.

• Transitividad: Si un element de $K$ està relacionat en un atre, i eixe atre a la seua volta es relaciona en un tercer, llavors el primer estarà relacionat també en este últim. És dir,

$\mathrm{\forall }x,y,z\in K:xℛy\wedge yℛz\Rightarrow xℛz$.

Notació:

En aritmètica modular la relació d'equivalència entre dos elements $x$ i $y$ es denota $x\equiv y(modR)$ que es llig « $x$ és equivalent a $y$ mòdul $R$ ».

Una relació d'equivalència $\sim$ sobre un cos $K$ pot denotar-se en el parell $(K,\sim )$.

Classe d'equivalència o relació d'equivalència

En llògica de classes i anàlisis matemàtic, la relació d'equivalència $ℛ$ definix subconjunts disjuntos en $K$ cridats classes d'equivalència:

Donat un element $a\in K$, el conjunt donat per tots els elements relacionats en $a$ definixen la classe:

$[a]=\{b\in K|aℛb\}$

se li crida la classe d'equivalència associada a l'element $a$.

A l'element $a$ se li crida representant de la classe.

Es diu orde al número de classes que genera una relació d'equivalència; si este és finito, es diu que la relació és d'orde finito.

El concepte de classe d'equivalència té importància en la ciència, donat un conjunt d'objectes o entitats abstractes (potencialment infinites), poden establir-se relacions d'equivalència sobre la base d'algun criteri, les classes resultants són els "tipos" en els que es pot classificar tota la gama d'objectes.^{cita requerida}

Conjunt cocient

Al conjunt de totes les classes d'equivalència es denomina conjunt cocient i es denota com:

$K/ℛ$ o $K/\sim$

Partició

Una relació d'equivalència sobre un conjunt induïx una partició del mateix, és dir, un conjunt en el que s'ha definit una relació d'equivalència pot ser dividit en varis subconjunts d'elements equivalents entre sí i tals que la reunió d'eixos subconjunts coincidix en el conjunt sancer. La següent teorema expressa en térmens més formals eixa mateixa idea:

Proposició: Una relació d'equivalència en el conjunt no buide K determina una partició d'est, i tota partició de K determina una relació d'equivalència en est.

La partició té com a elements les classes d'equivalència. Estes són disjuntas dos a dos i l'unió d'elles és igual al conjunt K.

• per a qualssevol dos $a_i,a_j$ no relacionats tenim: $[a_i]\cap [a_j]=\mathrm{\varnothing }$;
• l'unió de tots integra al total: $\bigcup _s[a_s]=K$

Història

Elements de Euclides, edició de 1576

Els primers antecedents de la noció d'equivalència són atribuïts a Euclides. El matemàtic Christopher Zeeman i l'historiador David Fowler senyalen que ya existien nocions d'equivalència en els elements de Euclides. Argumenten que el concepte de «proporcionalitat» arreplegat en l'obra és un precursor de la noció del de relació d'equivalència. Atres autors van més allà i senyalen que Euclides també va amprar implícitament el concepte de classe d'equivalència al categorizar les figures geomètriques per la seua forma.

Caldria esperar varis sigles fins que es torne a desenrollar el concepte intuïtiu de relació d'equivalència. En efecte, en 1919 Russell introduïx el concepte de «similitut» entre dos objectes i establix que este deu complir les propietats reflexiva, simètrica i transitiva. No obstant, l'aportació més important fins a llavors la va proporcionar en 1801 Gauss en definir «congruència» en Disquisitiones arithmeticae.

Si numerus a numerorum b, c differentiam metitur, b et c secundum a congrui dicuntur, sense minus, incongrui : ipsum a modulum appellamus. Uterque numerorum b, c priori in casu alterius residuum, in posteriori vero nonresiduum vocatur.

Si un número a dividix la diferència dels números b i c, es diu que b i c són congruents segons el mòdul a; si no ho són, es diu que són incongruents; el número a es diu mòdul. Abdós números b i c, en el primer cas, són cridats u residu de l'atre i, en el segon cas, no residus.

C. Gauss (1801) Disquisitiones arithmeticae, trad. Hugo Barrantes, et al.

Disquisitiones aritmeticae, Gauss

Esta definició és, salvant les distàncies, idèntica a l'empleada actualment per a definir este concepte, alguna cosa a tindre en conte máxime quan sabem que «ser congruent» és una relació d'equivalència. Ademés, més alvance en el text, Gauss deduïx (sense mencionar-les formalment) les propietats reflexiva i simètrica de la congruència.

Dedekind i Cantor també varen amprar relacions d'equivalència sense definir-les formalment. Pel que fa a Dedekind, est va desenrollar la definició de congruència de Gauss. Concretament, va demostrar la propietat simètrica de la congruència —reconeixent la trivialidad de les dos restants— i va argumentar que els número entero podrien dividir-se segons si són congruents o no en distintes «classes». Per la seua banda, Cantor, amic de Dedekind, va desenrollar extensament la noció de cardinalidad de conjunts infinits. Per a fer este desenroll, va amprar una definició d'equivalència de conjunts que establia que dos conjunts eren equivalents si existia una biyección entre ells. Esta definició és, de nou, una relació d'equivalència.

El concepte formal de relació d'equivalència no va devindre fins a 1912. En eixe any, durant el v congrés internacional de matemàtiques, el matemàtic britànic Phillip Jourdain va presentar un artícul titulat On isoid relations and theories of irrational number. En la seua publicació, definix «relació isoid» en els següents térmens:

Esta definició, en essència la de relació d'equivalència, no va tindre èxit entre els seus parells. Russell, pese a ser coneixedor de la definició de Jourdain, no la va mencionar a l'hora de teorizar sobre la «similitut» en 1919.

Philip Jourdain, matemàtic i llògic britànic

Va ser Hasse qui en 1929 finalment va establir la definició formal de relació d'equivalència en la publicació del seu llibre Höhere algebra. No obstant, per a autors com Asghari, l'obra fonamental que consolida la definició de relació d'equivalència és el tractat d'topología del matemàtic nortamericà Tuckey titulat Convergence and Uniformity in Topology. En ell apareix, per fi, la definició completa del terme.

It is well known that an equivalence relation (that is, one which generates a reflexive, transitive and symmetric ordered system) dividix the set on which it is defined into mutually exclusive equivalence classes.

És ben sabut que una relació d'equivalència (açò és, una que genera un sistema reflexiu, simètric, transitivo i ordenat) dividix el conjunt en el que està definida en classes d'equivalència mútuament excloents.

Tukey, J. W. (1940) Convergence and Uniformity in Topology trad. pròpia

En les branques de les matemàtiques

Teoria de la mida

En teoria de la mida, donat un conjunt $X$ i una mida $\mu$, per a construir el conjunt ${ℒ}^1(X)$ de funcions integrables lebesgue en $X$ és necessari introduir la noció de «equivalència en casi tot». Açò no és més que afirmar que les funcions són idèntiques llevat en un conjunt de mida nula. Aixina, formalment es diu que

$f{\sim }_{\mu }g$ si $f(x)=g(x)$ en casi tot $x\in X$

Esta relació és, com el seu nom indica, una relació d'equivalència. Una volta construïda esta relació, es definix a ${ℒ}^1(X)$ com el conjunt de les classes d'equivalència de funcions integrables lebesgue en $X$ per la relació ${\sim }_{\mu }$.

Per un atre costat, un resultat fonamental en la teoria de la mida és l'existència de conjunts no mesurables. En demostrar-ho és necessari amprar l'axioma d'elecció per a trobar un conjunt format per representants de classes d'equivalència de certa relació. En concret, es relacionen aquells número real compresos entre 0 i 1 que la seua resta siga racional, és dir

$x\sim y$ si $x-y\in \mathbb{Q}$ en $x,y\in (0,1)$

Àlgebra

En àlgebra abstracta s'ampren multitut de relacions d'equivalència. Dos eixemples d'això els podem trobar en teoria de grups.

• Per a demostrar el Teorema de Lagrange, se sol fer us de la següent relació d'equivalència: donat un grup $G$ i un subgrup $H$, es relacionen dos elements de $G$ si el producte del primer per l'invers del segon pertany al subgrup, és dir,

$x\sim y$ si $x{y}^{-1}\in H$ en $x,y\in G$

D'esta relació s'obtenen les classes laterals —a esquerra i a dreta— que conformen sengles grups cocient.

• L'automorfisme de conjugació, molt rellevant en grups no abelianos, fa us de la relació d'equivalència de nom homònim. Esta es definix de la següent manera

$x\sim y$ si $y=gx{g}^{-1}$ per a algun $g\in G$

La relació de conjugació s'ampra per a descriure el grup simètric o demostrar els teoremes de Sylow, entre uns atres.

Eixemples

• Siga N= {0,1,2, 3...}. Es definix una relació d'equivalència en NxN, com seguix: (a;b) (c;d) si i solament si a+d = b +c. Esta és una relació d'equivalència en NxN i cada classe d'equivalència és un número entero. [(2;0)]= { (x;i)/ 2+i = 0 + x } a (2;0) es diu representant canònic i es denota, simplificadament, 2.

• l'igualtat matemàtica

• La relació de congruència mòdul M en el conjunt dels número entero (i. i. $M\in \mathbb{Z}$), a on es definix: $a\sim b$ si i solament si $a-b$ és múltiple de M.

Esta relació és d'equivalència perque:

És reflexiva: a - a = 0, que és múltiple de M.

És simètrica: si a - b és múltiple de M, llavors b - a = -(a - b) també és múltiple de M.

És transitiva: siguen k i l número entero tals que a - b = M k i b - c = M l. Llavors, a - c = (a - b) + (b - c) = M k + M l = M(k + l) i per tant un múltiple de M. En particular, si M = 2 tenim la tradicional classificació dels número entero en parells i impars.

• Siga H un subgrup d'un grup G. Definint per a elements del grup $a\sim b$ si i solament si $a{b}^{-1}\in H$, es tindrà la relació d'equivalència anomenada congruència mòdul H.

• Definint, per a elements del grup, $a\sim b$ si i solament si existix g en G tal que $ga{g}^{-1}=b$, es diu relació de conjugació. Les seues classes es denominen classes de conjugació. Les classes d'equivalència reben el nom d'òrbita o classe de conjugació.^{cita requerida}

• Siguen els número real a i b, direm que $a\sim b$ si i solament si els seus màxims sancers són iguals. La classe d'equivalència són els intervals [n; n+1) a on n és un número entero. Aixina 3,56 i 3,875 són equivalents puix tenen el mateix màxim sancer = 3.

Eixemple simple

Sobre el conjunt $X=\{a,b,c\}$, la relació $R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)\}$ és una relació d'equivalència. Els següents conjunts són classes d'equivalència d'esta relació: $$[a]=\{a\},[b]=[c]=\{b,c\}.$$

El conjunt de totes les classes d'equivalència per a $R$ és $\{\{a\},\{b,c\}\}.$ Este conjunt és una partició del conjunt $X$ sobre $R$.

Relacions d'equivalència

Les següents relacions són totes relacions d'equivalència:

• "És igual a" en el conjunt dels números. Per eixemple, $tfrac12$ és igual a $tfrac48.$
• "Complix anys el mateix dia que" en el conjunt de totes les persones.
• "És similar a" en el conjunt de tots els triànguls.
• "És congruent en" en el conjunt de tots els triànguls.
• Donat un número natural $n$, "és congruent en", mòdul". $n$" en els sancers.
• Donada una funció $f:X\to Y$, "té la mateixa image baix $f$ que" sobre els elements del domini de $f$. $X$. Per eixemple, $0$ i $\pi$ tenen la mateixa image baix $\sin$, a saber, $0$.
• "Té el mateix valor absolut que" en el conjunt dels número real
• "Té el mateix coseno que" en el conjunt de tots els ànguls.

Conexions en atres relacions

Un orde parcial és una relació que és reflexiva, antisimètrica i transitiva.

• Igualtat és al mateix temps una relació d'equivalència i un orde parcial. L'igualtat és també l'única relació sobre un conjunt que és reflexiva, simètrica i antisimètrica. En expressió algebraicas, les variables iguals poden ser substituïdes unes per unes atres, una facilitat que no està disponible per a les variables relacionades en l'equivalència. Les classes d'equivalència d'una relació d'equivalència poden substituir-se entre sí, pero no els individus dins d'una classe.

Un orde parcial estricte és irreflexivo, transitivo i asimètrica.

Una relació d'equivalència parcial és transitiva i simètrica. Tal relació és reflexiva si i només si és total, és dir, si para tot $a,$ existix algun $b\text{ tal que }a\sim b.$ Per lo tant, una relació d'equivalència pot definir-se alternativament com una relació simètrica, transitiva i total. Una relació d'equivalència ternaria és un anàlec ternario de la relació d'equivalència habitual (binaria). Una relació reflexiva i simètrica és una relació de dependència (si és finita), i una relació de tolerància si és infinita. Un preorden és reflexiu i transitivo. Una relació de congruència és una relació d'equivalència el domini de la qual $X$ és també el conjunt subjacent d'una estructura algebraica, i que respecta l'estructura adicional. En general, les relacions de congruència eixerciten el paper de núcleus d'homomorfismes, i es pot formar el cocient d'una estructura per una relació de congruència. En molts casos importants, les relacions de congruència tenen una representació alternativa com a subestructura de l'estructura sobre la que estan definides (per eixemple, les relacions de congruència sobre grups corresponen al subgrup normals). Qualsevol relació d'equivalència és la negació d'una relació de separació, encara que l'afirmació inversa només és vàlida en matemàtica clàssica (en contraposició a les matemàtica constructiva), ya que és equivalent a la Principi del tercer exclós. Cada relació que és al mateix temps reflexiva i esquerra (o dreta) euclidiana és també una relació d'equivalència.

Ben definit baix una relació d'equivalència

Si $,\sim$ és una relació d'equivalència sobre $X,$ i $P(x)$ és una propietat d'elements de $X,$ tal que sempre que $x\sim y,$ $P(x)$ és verdadera si $P(y)$ és verdadera, llavors es diu que la propietat $P$ està ben definida o és una invariante de classe baixe la relació $\sim .$

Un cas particular freqüent es dona quan $f$ és una funció de $X$ a un atre conjunt $Y;$ si $x_1\sim x_2$ implica $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$ llavors $f$ es diu que és un {em|morfismo}} per a $,\sim ,$ una {em|classe invariante baix}} $,\sim ,$ o simplement invariante baix <Açò ocorre, per eixemple, en la teoria de caràcters de grups finitos. Este últim cas en la funció $f$ pot expressar-se per mig d'un triàngul conmutativo. Vore també invariante. Alguns autors utilisen "compatible en $\sim$" o simplement "respecta $\sim$" en lloc de "invariante baix $\sim$".

En térmens més generals, una funció pot assignar arguments equivalents (baixe una relació d'equivalència $,{\sim }_A$) a valors equivalents (baixe una relació d'equivalència $,{\sim }_B$). Tal funció es coneix com un morfismo de $,{\sim }_A$ a $,{\sim }_B.$

Classe d'equivalència, conjunt cocient, partició

Sean $a,b$ elements en $X$. En base en açò, a continuació vejam algunes definicions:

Classe d'equivalència

Artícul principal → Classe d'equivalència.

Un subconjunt I de X tal que $a\sim b$ es complix per a tot a i b en I, i mai para a en I i b fòra de I, es diu una classe d'equivalència de X per . Siga $[a]:=\{x\in X:a\sim x\}$ la classe d'equivalència a la que pertany a. Tots els elements de X equivalents entre sí són també elements de la mateixa classe d'equivalència.

Conjunt cocient

El conjunt de totes les classes d'equivalència de X per , denotat $X/\sim :=\{[x]:x\in X\},$ és el conjunt cocient de X per . Si X és un espai topològic, existix una forma natural de transformar $X/\sim$ en un espai topològic; vore espai cocient per als detalls.

Proyecció

La proyecció de $\sim ,$ és la funció $\pi :X\to X/\sim$ definida per $\pi (x)=[x]$ que mapea elements de $X$ en les seues respectives classes d'equivalència per $\sim .$

Teorema sobre proyeccions: Siga la funció $f:X\to B$ i siga tal que si $a\sim b$ llavors $f(a)=f(b).$ Llavors existix una única funció $g:X/\sim \to B$ tal que $f=g\pi .$ Si $f$ és una funció sobreyectiva i $a\sim b\text{ si y sólo si }f(a)=f(b),$ llavors $g$ és una biyección.

Núcleu d'equivalència

El núcleu d'equivalència d'una funció $f$ és la relació d'equivalència definida per $x\sim y\text{ si y sólo si }f(x)=f(y).$ El núcleu d'equivalència d'una injecció és la relació d'identitat.

Partició

Artícul principal → Partició d'un conjunt.

Una partició de X és un conjunt P de subconjunts no buits de X, tal que cada element de X és un element d'un únic element de P. Cada element de P és una cela de la partició. Ademés, els elements de P són disjuntos per parells i el seu unió és X.

Teorema fonamental de les relacions d'equivalència

Un resultat clau vincula les relacions d'equivalència i les particions:

• Una relació d'equivalència sobre un conjunt X dividix a X.
• A l'inversa, corresponent a qualsevol partició de X, existix una relació d'equivalència sobre X.

En abdós casos, les celes de la partició de X són les classes d'equivalència de X per . Ya que cada element de X pertany a una cela única de qualsevol partició de X, i ya que cada cela de la partició és idèntica a una classe d'equivalència de X per , cada element de ' 'X pertany a una classe d'equivalència única de X per . Aixina, hi ha una biyección natural entre el conjunt de totes les relacions d'equivalència en X i el conjunt de totes les particions de X.

Comparant relacions d'equivalència

Vore també: Partició d'un conjunt

Si $\sim$ i $\approx$ són dos relacions d'equivalència en el mateix conjunt $S$, i $a\sim b$ implica que $a\approx b$ per a tots $a,b\in S,$ llavors $\approx$ es diu que és una relació més grossa que $\sim$, i $\sim$ és una relació més fina que $\approx$. Equivalentement,

• $\sim$ és més fi que $\approx$ si cada classe d'equivalència de $\sim$ és un subconjunt d'una classe d'equivalència de $\approx$, i per lo tant cada classe d'equivalència de $\approx$ és una unió de classes d'equivalència de $\sim$.
• $\sim$ és més fi que $\approx$ si la partició creada per $\sim$ és un refinament de la partició creada per $\approx$.

La relació d'equivalència d'igualtat és la relació d'equivalència més fina de qualsevol conjunt, mentres que la relació universal, que relaciona tots els parells d'elements, és la més tosca.

La relació "$\sim$ és més fi que $\approx$" sobre la colecció de totes les relacions d'equivalència en un conjunt fix és en sí mateixa una relació d'orde parcial, lo que fa que la colecció siga una ret geomètrica.

Vore també

• Equivalència llògica
• espai vectorial cocient
• Teoria de l'orde
• Topología cocient

Bibliografia

• Relació d'equivalència en MathWorld.
• Synthese.(196)

4657-4677.doi:10.1007/s11229-018-1674-2.Consultat el 25-04-2025.

• Gauss, Carl F. (1801). Hugo Barrantes et al. (ed.). Disquisitiones Arithmeticae, 1 edició, Santa Fe, Colòmbia: Acadèmia Colombiana de Ciències Exactes, Físiques i Naturals. ISBN 958-9205-15-1.
• Jourdain, P. E. (1912). On isoid relations and theories of irrational number. En Proceedings of the 5th International Congress of Mathematicians, Cambridge (Vol. 2).
• Tukey, John W. (1940). Convergence and Uniformity in Topology, Princeton University Press. doi:10.1515/9781400882199.
• Cohn, Donald L. (2013). Measure Theory, 2 edició (en anglés), Birkhäuser. ISBN 978-1-4614-6956-8.
• Tao, Terence (2011). An introduction to measure theory (en anglés), American Mathematical Society. ISBN 0821869191.
• Herstein, Israel N. (1988). Àlgebra abstracta, Mèxic: Grup Editorial Iberoamèrica. ISBN 968-7270-42-X.
• Artin, Michael (1991). Algebra (en anglés), Prentice-Hall. ISBN 0-13-004763-5.

Brown, Ronald, 2006. Topology and Groupoids. Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8.

• Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., Symmetries in Physics: Philosophical Reflections. Cambridge Univ. Press: 422–433.
• Robert Dilworth and Crawley, Peter, 1973. Algebraic Theory of Lattices. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in lattice theory.
• Higgins, P.J., 1971. Categories and groupoids. Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
• James R.Munkres,Topología, (2002),Prentice Hall.

• John Randolph Lucas, 1973. A Treatise on Clave and Space. London: Methuen. Section 31.
• Rosen, Joseph (2008) Symmetry Rules: How Science and Nature llaure Founded on Symmetry. Springer-Verlag. Mostly chapters. 9,10.
• Raymond Wilder (1965) Introduction to the Foundations of Mathematics 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48–50, John Wiley & Sons.