Axioma d'elecció

En teoria de conjunts, el axioma d'elecció^[1] és un axioma que postula que per a cada família de conjunts no buits, existix un atre conjunt que conté un element de cada u d'aquells. De manera informal, afirma que donada una colecció de «caixes» en objectes dins d'elles, és possible elegir un objecte de cada caixa. Que este procediment pot portar-se a terme és trivialmente cert sempre que dita família siga finita, o quan existix una regla ben determinada que permet «elegir» un únic element de cada conjunt d'ella. No obstant, l'axioma és indispensable en el cas més general d'una família infinita arbitrària.

Va ser formulat en 1904 per Ernst Zermelo, para demostrar que tot conjunt pot ser ben ordenat.^[2]^[1] Encara que originalment va ser controvertit,^[3]^[4]^[5] hui en dia és usat sense reserves per la majoria dels matemàtics. Hi ha encara, no obstant, especialment en la teoria de conjunts, corrents d'opinió que rebugen l'axioma o que investiguen conseqüències d'atres #axioma inconsistentes en ell.^[6]^[7]^[8]

Enunciat

Una funció d'elecció és una funció $f$ a on el seu domini és una família $A$ de conjunts no buits tal que, per a tot conjunt $B$ en $A$ , $f (B)$ és un element de $B$ . En esta definició, podem enunciar l'axioma de l'elecció com:

$\forall A : \emptyset \in̸ A ⟹ \exists (f : A \to ⋃ A) : \forall B \in A, f (B) \in B$

L'axioma d'elecció també s'enuncia de maneres similars en les que el significat de «funció d'elecció» varia llaugerament:^[1]^[2]

Pel contrari, la negació de l'axioma d'elecció afirma que existix una família de conjunts —no buits— que no posseïx cap funció d'elecció.

Us

Fins a finals de el XIX, l'axioma d'elecció s'usava casi sempre implícitament. Per eixemple, despuix de demostrar que el conjunt X contenia solament conjunts no buits, un matemàtic hauria dit «siga F(S) un element de S per a tot S en X». És en general impossible demostrar que F existix sense l'axioma d'elecció, pero açò no va ser notat abans de Zermelo.^[5]

No sempre es requerix l'axioma d'elecció.^[3] Si X és finito, el «axioma» necessari es deduïx dels atres #axioma de la teoria de conjunts. En tal cas és equivalent a dir que si es té un número finito de caixes, cada una en a lo manco un objecte, es pot triar exactament un objecte de cada caixa. Açò és evident: es comença en la primera caixa, es tria un objecte; es va a la segona, es tria un objecte; i aixina successivament. Com solament hi ha finitas caixes, este procediment d'elecció es conclourà finalment. El resultat és una funció d'elecció explícita: una que a la primera caixa li assigna el primer objecte elegit, a la segona el segon, etcétera. Una prova formal para tot conjunt finito requeriria el principi d'inducció matemàtica.

La dificultat apareix quan no hi ha una elecció natural d'elements de cada conjunt. Si no es poden fer eleccions explícites, ¿cóm saber que existix el conjunt desijat? Per eixemple, suponga's que X és el conjunt de tots els subconjunts no buits dels reals. Primer es podria intentar procedir com si X fora finito; pero si s'intenta triar un element de cada conjunt, com a X és infinit, el procediment d'elecció no terminarà mai i mai es podrà produir una funció d'elecció per a X. Després es pot intentar el truc de prendre l'element mínim de cada conjunt; pero alguns subconjunts dels reals, com l'interval obert (0, 1), no tenen mínim, aixina que esta tàctica no funcionaria tampoc.

La raó per la que es podien triar elements mínims dels subconjunts dels naturals és que estos vénen ya ben ordenats: tot subconjunt dels naturals té un únic element mínim respecte a l'orde natural. Tal volta a este punt un se senta tentat a pensar: «encara que l'orde usual dels número real no funciona, deuria ser possible trobar un orde diferent que siga, este sí, un bon orde; llavors la funció d'elecció pot ser prendre l'element mínim de cada conjunt respecte al nou orde».

El problema llavors es «reduïx» al de trobar un bon orde en els reals, lo que requerix de l'axioma d'elecció per a la seua realisació: tot conjunt pot ser ben ordenat si i solament si val l'axioma d'elecció.^[1]

Una demostració que faça us de l'axioma d'elecció mai és constructiva: encara si dita demostració produïx un objecte, serà impossible determinar exactament quin objecte és. En conseqüència, encara que l'axioma d'elecció implique que hi ha un bon orde en els reals, no dona un eixemple. No obstant, la raó per la que es voldria ordenar be els reals era que, per a cada conjunt de X, es poguera triar explícitament un element; pero si no es pot determinar el bon orde usat, tal elecció tampoc es podrà fer explícita. Esta sembla ser una de les raons per les que a alguns matemàtics els desagrada l'axioma d'elecció; els constructivista, per eixemple, afirmen que totes les proves d'existència deurien ser completament explícites, puix si existix alguna cosa, deu ser possible trobar-ho (rebugen aixina l'axioma d'elecció, puix afirma l'existència d'un objecte sense dir qué és). Per un atre costat, el sol fet de que s'haja usat l'axioma d'elecció per a demostrar l'existència d'un conjunt, no significa que no puga ser construït per atres métodos.

Independència

Del treball de Kurt Gödel^[9]^[4] i Paul Cohen ^[10] es deduïx que l'axioma d'elecció és llògicament independent dels atres #axioma de la teoria axiomàtica de conjunts. Açò significa que ni l'axioma d'elecció ni la seua negació, poden demostrar-se certs dins dels #axioma de Zermelo-Fraenkel (ZF) si eixa teoria és consistent.^[11] En conseqüència, assumir l'axioma d'elecció o la seua negació mai durà a una contradicció que no es poguera obtindre sense tal supost.

La decisió, llavors, de si és o no apropiat fer us d'ell en una demostració no es pot prendre basant-se solament en atres #axioma de la teoria de conjunts;^[11] cal buscar atres raons. Un argument donat a favor d'usar l'axioma d'elecció és simplement que és convenient: usar-ho no pot fer mal (resultar en contradiccions) i fa possible demostrar algunes proposicions que d'un atre modo no es podrien provar.

L'axioma d'elecció no és l'única afirmació significativa i independent de ZF; la hipòtesis del continu generalisada (HCG), per eixemple, no solament és independent de ZF, ademés ho és de ZF en l'axioma d'elecció (ZFE, o ZFC en anglés). No obstant, ZF més la HCG necessàriament implica l'axioma d'elecció, en lo que la HCG és estrictament més forta que l'axioma d'elecció, encara que abdós siguen independents de ZF.

Una raó per la que als matemàtics no els agrada l'axioma és que té per conseqüència l'existència d'alguns objectes contra-intuïtius. Un eixemple d'això és la paradoxa de Banach-Tarski,^[12] que expressa bàsicament que és possible deconstruir una bola tridimensional en finitas parts, i usant solament rotació i translació, tornar a construir dos boles del mateix volum que l'original. La prova, com totes les proves que involucren l'axioma d'elecció, és solament d'existència: no diu cóm es deu tallar l'esfera, solament diu que es pot fer.

Per un atre costat, la negació de l'axioma d'elecció és també estranya. Per eixemple, l'afirmació de que donats dos conjunts qualssevol S i T, la cardinalidad de S és menor, igual, o major que la de T és equivalent a l'axioma d'elecció. En atres paraules, si s'assumix la negació d'est, hi ha dos conjunts S i T de tamany incomparable: cap es pot injectar en l'atre.

Una tercera possibilitat és provar teoremes sense usar ni l'axioma ni la seua negació, una de les tàctiques preferides en matemàtiques constructives. Tals afirmacions seran certes en qualsevol modele de ZF, independentment de la certea o falsetat de l'axioma d'elecció en dit model. Açò fa que qualsevol proposició que requerixca l'axioma d'elecció o la seua negació siga indecidible: la paradoxa de Banach-Tarski,^[12] per eixemple, no es pot demostrar com certa (puix no es pot descompondre l'esfera d'un modo no indicat) ni com falsa (puix no es pot demostrar que tal descomposició no existixca). Esta, no obstant, es pot reformular com una afirmació sobre els models de ZF: «en tot model de ZF en el que valga l'axioma d'elecció, val també la paradoxa de Banach-Tarski». Aixina mateix, totes les afirmacions llistades avall que requerixen elecció o alguna versió més relaixada, són indecidibles en ZF; pero per ser demostradors en ZFE, hi ha models de ZF en els que sí serien certes.

#Axioma més forts

l'axioma de constructibilidad, igual que la hipòtesis del continu generalisada, implica l'axioma d'elecció, pero és estrictament més forta.

En teories de classes, tals com la teoria de conjunts de Von Neumann-Bernays-Gödel o la de Morse-Kelley, hi ha un possible axioma cridat axioma d'elecció global, que és més forta que l'axioma d'elecció per a conjunts, puix s'aplica també a classes pròpies.

Equivalents

Existix un gran número de proposicions importants que, assumint els #axioma de ZF (sense l'axioma d'elecció ni la seua negació), són equivalents a l'axioma d'elecció, en el sentit de que d'en qualsevol d'elles pot demostrar-se dit axioma i viceversa.^[13] Entre els més importants estan el principi de bona ordenació de Zermelo i el lema de Zorn:

Formes més relaixades

Hi ha vàries proposicions més relaixades que, encara que no equivalents a l'axioma d'elecció, estan fortament relacionades. Com, per eixemple:

l'axioma d'elecció numerable, que diu que tota colecció numerable de conjunts no buits, té funció d'elecció. Açò normalment basta per a provar afirmacions sobre els reals, per eixemple, puix els número racional, que són numerables, formen un subconjunt dens dels reals.
l'axioma d'elecció depenent.

Resultats que requerixen l'axioma d'elecció (pero són més relaixades)

Un dels aspectes més interessants de l'axioma d'elecció és el gran número de llocs en matemàtiques en els que apareix. He ací algunes afirmacions que requerixen l'axioma d'elecció en el sentit de que no són demostradors en ZF pero sí en ZFE (de forma equivalent, estes són certes en tots els models de ZFE i falses en alguns models de ZF):

Teoria de conjunts
Tota unió de numerables conjunts numerables és aixina mateix numerable.
Si el conjunt A és infinit, existix una funció inyectiva del conjunt dels naturals N a A.
Teoria de la mida
Existixen subconjunts dels reals que no tenen mida de Lebesgue (el conjunt de Vitali).
La paradoxa de Hausdorff.
La paradoxa de Banach-Tarski.
Àlgebra
Tot cos té clausura algebraica.
Tot subgrup d'un grup lliure és també lliure (teorema de Nielsen-Schreier).
Els grups aditius R i C són isomorfos.^[14]
Teoria de l'orde:
Tot conjunt pot ser linealmente ordenat.
Àlgebra de Boole

Tot filtre en un àlgebra de Boole pot ser estés a un ultrafiltro.
Anàlisis funcional
El teorema de Hahn-Banach en anàlisis funcional, que permet l'extensió de funcionals llineals.
Tot espai de Hilbert té una base ortonormal.
El teorema de la categoria de Baire sobre espais mètrics complets, i les seues conseqüències.
En tot espai vectorial topològic de dimensió infinita hi ha una funció llineal discontínua.
Topología
Un espai uniforme és compacte si i solament si, és complet i totalment acotat.
Tot espai de Tychonoff té una compactificación de Stone-Čech.

Formes més fortes de l'axioma d'elecció

Ara, es consideraran formes més fortes de la negació de l'axioma d'elecció. Per eixemple, l'afirmació de que tot conjunt d'número real té la propietat de Baire és més forta que ¬l'axioma d'elecció, que nega l'existència d'una funció d'elecció en tal volta una sola colecció de conjunts no buits.

Resultats que requerixen de l'axioma d'elecció

Hi ha models de la teoria de Zermelo-Fraenkel en els que l'axioma d'elecció és fals; en avant s'abreviarà «teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel més la negació de l'axioma d'elecció» per ZF¬I. En alguns models de ZF¬I és possible provar la negació d'algunes propietats comunes. I lloc que un model de ZF¬I és també model de ZF, cada una de les següents afirmacions és vàlida en algun model de ZF (suponent, com sempre, que ZF és consistent):

Existix un model de ZF¬I en el que hi ha una funció f dels reals en els reals que no és contínua en a, pero per a tota seqüència {x_n} que convergixca a a, f(x_n) convergix a f(a). Existix un model de ZF¬I en el que el conjunt dels reals és una unió numerable de conjunts numerables. Existix un model de ZF¬I en el que hi ha un cos sense clausura algebraica. En tots els models de ZF¬I hi ha un espai vectorial sense base. Existix un model de ZF¬I en el que hi ha un espai vectorial en dos bases de cardinalidad diferent. Existix un model de ZF¬I en el que tot subconjunt de Rⁿ és mesurable. En açò és possible eliminar resultats contra-intuïtius com la paradoxa de Banach-Tarski, que són demostradores en ZFE. En cap model de ZF¬I val la hipòtesis del continu generalisada.

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Mathematische Annalen.59(4)
514–516.ISSN 1432-1807.doi:10.1007/BF01445300.Consultat el 2024-03-01.
↑ ^2,0 ^2,1 Zermelo, 1904
↑ ^3,0 ^3,1 Fraenkel, Abraham (1922). The notion of «definite» and the independence of the axiom of choice (en Anglés), Cambridge, Massachussets: From Frege to Gödel a source book in mathematical logic, 1879–1931. Harvard Univ. Press, pp. 284-289. ISBN 978-0-674-32449-7.
↑ ^4,0 ^4,1 Proceedings of the National Academy of Sciences.24(12)
556–557.ISSN 0027-8424.doi:10.1073/pnas.24.12.556.Consultat el 2024-03-01.
↑ ^5,0 ^5,1 Moore, Gregory H. (2012-09-20). Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development, and Influence (en en), Courier Corporation. ISBN 978-0-486-48841-7.
↑ Scott, Dana S.; Jech, {{{nom2}}} (1971-12-31). Axiomatic Set Theory, Part 1 (en en), American Mathematical Soc.. ISBN 978-0-8218-0245-8.
↑ Journal of Pure and Applied Algebra.108(2)
109–173.ISSN 0022-4049.doi:10.1016/0022-4049(95)00029-1.Consultat el 2024-03-01.
↑ Annals of Pure and Applied Logic.172(6)
102959.ISSN 0168-0072.doi:10.1016/j.apal.2021.102959.Consultat el 2024-03-01.
↑ Gödel, 1938 i uns atres.
↑ Proceedings of the National Academy of Sciences.50(6)
1143–1148.ISSN 0027-8424.doi:10.1073/pnas.50.6.1143.Consultat el 2024-03-01.
↑ ^11,0 ^11,1 Monatshefte für Mathematik und Physik.38(1)
173–198.ISSN 1436-5081.doi:10.1007/BF01700692.Consultat el 2024-03-01.
↑ ^12,0 ^12,1 Fonamenta Mathematicae.6(1)
244–277.ISSN 0016-2736.Consultat el 2024-03-01.
↑ Vore Rubin y Rubin, 1985.
↑ [FOM] Llaure (C,+) and (R,+) isomorphic

Bibliografia i referències recomanades

Reimpreso en traducció a l'anglés en Zermelo, 2010, pp. 114-119, i traducció a l'anglés en van Heijernoort, 1967, pp. 139-141.

Reimpreso en traducció a l'anglés en Zermelo, 2010, pp. 188-229, i traducció a l'anglés en van Heijernoort, 1967, pp. 199-215.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Axioma de elección» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[:0-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Mathematische Annalen.59(4)
514–516.ISSN 1432-1807.doi:10.1007/BF01445300.Consultat el 2024-03-01.

[:1-2] 2,0 ^2,1 Zermelo, 1904

[:2-3] 3,0 ^3,1 Fraenkel, Abraham (1922). The notion of «definite» and the independence of the axiom of choice (en Anglés), Cambridge, Massachussets: From Frege to Gödel a source book in mathematical logic, 1879–1931. Harvard Univ. Press, pp. 284-289. ISBN 978-0-674-32449-7.

[:3-4] 4,0 ^4,1 Proceedings of the National Academy of Sciences.24(12)
556–557.ISSN 0027-8424.doi:10.1073/pnas.24.12.556.Consultat el 2024-03-01.

[:4-5] 5,0 ^5,1 Moore, Gregory H. (2012-09-20). Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development, and Influence (en en), Courier Corporation. ISBN 978-0-486-48841-7.

[6] Scott, Dana S.; Jech, {{{nom2}}} (1971-12-31). Axiomatic Set Theory, Part 1 (en en), American Mathematical Soc.. ISBN 978-0-8218-0245-8.

[7] Journal of Pure and Applied Algebra.108(2)
109–173.ISSN 0022-4049.doi:10.1016/0022-4049(95)00029-1.Consultat el 2024-03-01.

[8] Annals of Pure and Applied Logic.172(6)
102959.ISSN 0168-0072.doi:10.1016/j.apal.2021.102959.Consultat el 2024-03-01.

[9] Gödel, 1938 i uns atres.

[10] Proceedings of the National Academy of Sciences.50(6)
1143–1148.ISSN 0027-8424.doi:10.1073/pnas.50.6.1143.Consultat el 2024-03-01.

[:5-11] 11,0 ^11,1 Monatshefte für Mathematik und Physik.38(1)
173–198.ISSN 1436-5081.doi:10.1007/BF01700692.Consultat el 2024-03-01.

[:6-12] 12,0 ^12,1 Fonamenta Mathematicae.6(1)
244–277.ISSN 0016-2736.Consultat el 2024-03-01.

[13] Vore Rubin y Rubin, 1985.

[14] [FOM] Llaure (C,+) and (R,+) isomorphic

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]