Espai de Hilbert

En matemàtiques, el concepte de espai de Hilbert és una generalisació del concepte d'espai euclídeo. Esta generalisació estén els métodos del àlgebra llineal i el càlcul aplicats en l'espai euclídeo de dos dimensions i tres dimensions als espais de dimensió arbitrària, incloent els espais de dimensió infinita. Eixemples de tals nocions i tècniques són la d'àngul entre vectores, ortogonalidad de vectores, el teorema de Pitágoras, proyecció ortogonal, distància entre vectores i convergència d'una successió. El nom donat a estos espais és en honor al matemàtic David Hilbert qui els va utilisar en el seu estudi de les equacions integrals.

Més formalment, es definix com un espai de producte interior que és complet sobre la norma vectorial definida pel producte intern. Els espais de Hilbert servixen per a clarificar i per a generalisar el concepte de séries de Fourier i certes transformacions llineals tals com la transformació de Fourier, ademés són d'importància crucial en la formulació matemàtica de la mecànica quàntica.

Els espais de Hilbert i les seues propietats s'estudien dins del anàlisis funcional.

Introducció

Com s'explica en l'artícul dedicat als espais de producte interior, cada producte intern <.,.> en un espai vectorial H, que pot ser real o complex, dona lloc a una norma ||.|| que es definix com seguix:

$\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$

H és un espai de Hilbert si és complet sobre esta norma. Complet en este context significa que qualsevol successió de Cauchy d'elements de l'espai convergix a un element en l'espai, en el sentit que la norma de les diferències tendix a zero. Cada espai de Hilbert és aixina també un espai de Banach (pero no viceversa).

Tots els espais finito-dimensionals en producte intern (tals com l'espai euclídeo en el producte escalar ordinari) són espais de Hilbert. Açò permet que pugam extrapolar nocions des dels espais de dimensió finita als espais de Hilbert de dimensió infinita (per eixemple els espais de funcions). No obstant, els eixemples infinit-dimensionals tenen molts més usos. Estos usos inclouen:

• La teoria de les representacions del grup unitàries.
• La teoria de processos estocàstics quadrat integrables.
• La teoria en espais de Hilbert d'equacions diferencials parcials, en particular #formulació del problema de Dirichlet.
• Anàlisis espectral de funcions, incloent teories de wavelets.
• #Formulació matemàtiques de la mecànica quàntica.

Ian Stewart, 17 equacions que varen canviar el món, capítul VIII

El producte intern permet que s'adopte una visió "geomètrica" i que utilise el llenguage geomètric familiar dels espais de dimensió finita. De tots els espais vectorials topològics infinit-dimensionals, els espais de Hilbert són els de "millor comportament" i els més propencs als espais finito-dimensionals.

Els elements d'un espai de Hilbert abstracte a voltes es diuen "vectores". En les aplicacions, són típicament successions de número complejo o de funcions. En mecànica quàntica per eixemple, un conjunt físic és descrit per un espai complex de Hilbert que continga les "funciones d'ones" per als estats possibles del conjunt. Vore formulació matemàtica de la mecànica quàntica.

Una de les metes del anàlisis de Fourier és facilitar un método per a escriure una funció donada com la suma (possiblement infinita) de múltiples de funcions baixes donades. Este problema es pot estudiar de manera abstracta en els espais de Hilbert: cada espai de Hilbert té una base ortonormal, i cada element de l'espai de Hilbert es pot escriure en una manera única com sumixca de múltiples d'estos elements baixos.

Els espais de Hilbert varen ser nomenats aixina per David Hilbert, que els va estudiar en el context de les equacions integrals. L'orige de la designació, encara que és confús, va ser utilisat ya per Hermann Weyl en el seu famós llibre la teoria de grups i la mecànica quàntica publicat en 1931. John von Neumann va ser potser el matemàtic que més clarament va reconéixer la seua importància.

Eixemples

En els següents eixemples, assumirem que el cos subjacent d'escalares és $ℂ$, encara que les definicions són similars al cas de que el cos subjacent d'escalares siga $ℝ$.

Espais euclidianos

El primer eixemple, que ya havia segut alvançat en la secció anterior, ho constituïxen els espais de dimensió finita en el producte escalar ordinari.

En atres paraules, $ℂ$ⁿ en la definició de producte intern següent:

$⟨x,y⟩=\sum _{k=1}^n\overline{x_k}{y}_k$

a on la barra sobre un número complejo denota la seua conjugació complexa.

Espais de successions

Els espais de Hilbert no necessàriament tenen dimensió finita, de fet en moltes aplicacions típicament l'espai de Hilbert considerat és un espai de Hilbert infinit-dimensional. Un dels eixemples d'espai de Hilbert de dimensió infinita és el següent: si B és un conjunt, definim ${\ell }^2(B)$ sobre B, de la forma:

Este espai es convertix en un espai de Hilbert en el producte intern

per a tot x i i en ${\ell }^2(B)$. B no té perqué ser un conjunt contable en esta definició, encara que si B no és contable, l'espai de Hilbert que resulta no és separable. Expressat de manera més concreta, cada espai de Hilbert és isomorfo a un de la forma ${\ell }^2(B)$ per a un conjunt adequat B. Si B = N, s'escriu simplement ${\ell }^2$. Alguns eixemples de successions de ${\ell }^2={\ell }^2(\mathbb{N})$:

En canvi:

Espais de Lebesgue

Artícul principal → Espais Lp.

Un atre eixemple interessant d'espais de Banach de dimensió infinita són els espais L^p. Estos són espais funcionals associats a espais de mida (X, M, μ), a on M és una σ-àlgebra de subconjunts de X i μ és una mida contablemente aditiva en M. Si p = 2 estos espais són ademés un espai de Hilbert, sent aixina L² _μ(X) l'espai de funcions mesurables quadrat-integrables complex-valorades en X, mòdul el subespacio d'eixes funcions l'integral quadràtica de les quals siga zero, o equivalentemente igual a zero casi en tots els llocs a on "quadrat integrable" significa que l'integral del quadrat del seu valor absolut és finita i "mòdul igualtat casi en tots els llocs" significa que les funcions són identificades si i només si són iguals llevat un conjunt de mida 0.

El producte intern de les funciones f i g es dona com:

$⟨f,g⟩=\underset{X}{\int }\overline{f(t)}g(t)d\mu (t)$

Un necessita demostrar:

• Que esta integral té de fet sentit.
• Que l'espai que resulta és complet.

Estos són fets tècnicament fàcils. Observe's que en usar l'integral de Lebesgue s'assegura de que l'espai siga complet. Veja espais L^p per a discussió adicional d'este eixemple.

Espais de Sobolev

Artícul principal → Espai de Sobolev.

Els espais de Sobolev, denotats per $W^{m,p}(\Omega )$ són un atre eixemple d'espais de Hilbert, que s'utilisen molt a sovint en el marc de les equacions en derivades parcials definides sobre un cert domini $\Omega$. Els espais de Sobolev generalisen els espais L^p.

Ademés dels espais de Sobolev generals $W^{m,p}$ s'usen certes notacions particulars per a cert tipo d'espais:

• $H^m(\Omega )=W^{m,2}(\Omega )$
• $H_0^m(\Omega )=\{f\in H^m(\Omega )|f{|}_{\partial \Omega }=0\}$

Bases ortonormals

Un concepte important és el d'una base ortonormal d'un espai de Hilbert H: esta és una família {i_k}_{k ∈ B} de H 'satisfent:

• Els elements estan normalisats: Cada element de la família té norma 1: ||i_k|| = 1 per a tot k en B

• Els elements són ortogonals: Dos elements qualssevol de B són ortogonals, açò vol dir: <i_k, i_j> = 0 per a tots els k, j en B complint la condició j ≠ k.
• Expansió densa: l'expansió llineal de B és densa en H.

També utilisem les expressions seqüència ortonormal i conjunt ortonormal. Els eixemples de bases ortonormals inclouen:

• El conjunt {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} forma una base ortonormal de R³
• La seqüència {f_n: n ∈ Z} en f_n(x) = exp(2πinx) forma una base ortonormal de l'espai complex L²([0, 1])
• La família {i_b: b ∈ B} en i_b(c) = 1 si b = c i 0 en cas contrari, forma una base ortonormal de l²(B).

Observe's que en el cas infinit-dimensional, una base ortonormal no serà una base en el sentit del àlgebra llineal; per a distinguir els dos, l'última base es diu una base de Hamel.

Usant el lema de Zorn, es pot demostrar que cada espai de Hilbert admet una base ortonormal; ademés, qualssevol dos bases ortonormals del mateix espai tenen el mateix cardinal. Un espai de Hilbert és separable si i solament si admet una base ortonormal numerable.

ya que tots els espais separables infinit-dimensionals de Hilbert són isomorfos, i lloc que casi tots els espais de Hilbert usats en la física són separables, quan els físics parlen de espai de Hilbert volen significar el separable.

Si {i_k}_{k ∈ B} és una base ortonormal de H, llavors cada element x de H es pot escriure com:

$x=\sum _{k\in B}⟨e_k,x⟩e_k$

Inclús si B no és numerable, només contablemente molts térmens en esta suma seran diferents a zero, i l'expressió està per lo tant ben definida. Esta suma també es diu la expansió de Fourier de x.

Si {i_k}_{k ∈ B} és una base ortonormal de H, llavors H és isomorfo a l²(B) en el sentit següent: existix una funció llineal biyectiva Φ : H → l²(B) tal que

$⟨\Phi \left(x\right),\Phi \left(y\right)⟩=⟨x,y⟩$

per a tot x i i en H.

Dimensió de Hilbert

Pot demostrar-se que totes les bases ortogonals, definides en la secció anterior tenen el mateix cardinal, això permet definir la dimensió d'un espai de Hilbert com:

A on ${ℬ}_{\mathscr{H}}$ és una base de Hilbert o conjunt ortogonal maximal i $\mathrm{\#}{ℬ}_{\mathscr{H}}$ és el seu cardinal corresponent. Note's que esta dimensió no té per qué coincidir en la dimensió ordinària o dimensió de Hammel d'un espai vectorial. De fet, es complix que:

En el cas de dimensió finita, el teorema de ortogonalización de Gram-Schmidt permet concloure que ${\dim }_{Hil}\mathscr{H}=\dim \mathscr{H}$ .

Operacions en els espais de Hilbert

Suma directa i producte tensorial

Daus dos (o més) espais de Hilbert, podem combinar-los en un espai més gran de Hilbert prenent el seu suma directa o la seua producte tensorial. La primera construcció es basa en l'unió de conjunts i la segona en el producte cartesiano.

La suma directa requerix que $H_1\cap H_2=\{0\}$, i és el mínim espai de Hilbert que "conté" a l'unió dels dos conjunts:

Mentres que el producte tensorial és el mínim espai de Hilbert que "conté" al producte cartesiano:

Complements i proyeccions ortogonals

Si S és un subconjunt de l'espai de Hilbert H, definim el conjunt de vectores ortogonals a S

$S^{\mathrm{\perp }}=\{x\in H:⟨x,s⟩=0\mathrm{\forall }s\in S\}$

$S^{\mathrm{\perp }}$ és un subespacio tancat de H i forma, per tant, un espai de Hilbert. Si V és un subespacio tancat de H, llavors el $V^{\mathrm{\perp }}$ es diu el complement ortogonal de V. De fet, cada x en H pot llavors escriure's unívocamente com a x = v + w en v en V i w en $V^{\mathrm{\perp }}$. Per lo tant, H és la suma directa interna de Hilbert de Vi $V^{\mathrm{\perp }}$. L'operador llineal P_V : H → H que mapea x a v es diu la proyecció ortogonal sobre V.

Teorema. La proyecció ortogonal P_V és un operador llineal auto-adjunt en H en norma ≤ 1 en la propietat P_V² = P_V. Per una atra part, qualsevol operador llineal I auto-adjunt tal que I² = I és de la forma P_V, a on V és el ranc de I. Per a cada x en H, P_V(x) és l'element únic v en V que minimisa la distancia ||x - v||.

Açò proporciona l'interpretació geomètrica de P_V(x): és la millor aproximació a x per un element de V.

Reflexividad

Una propietat important de qualsevol espai de Hilbert és el seu reflexividad, és dir, el seu espai bidual (dual del dual) és isomorfo al propi espai. De fet, es té encara més, el propi espai dual és isomorfo a l'espai original. Es té una descripció completa i convenient del espai dual (l'espai de totes les funcions llineals contínues de l'espai H en el cos base), que és en sí mateixa un espai de Hilbert. De fet, el teorema de representació de Riesz establix que per a cada element φ del H ' dual existix un i solament un o en H tal que

$\varphi \left(x\right)=⟨u,x⟩$

per a tot x en H i l'associació φ ↔ o proporciona un isomorfisme antilineal entre H i H '. Esta correspondència és explotada per la notació bra-ket popular en la física.

Operadors en espais de Hilbert

Operadors acotats

Per a un espai H de Hilbert, els operadors llineals continus A: H → H són d'interés particular. Un tal operador continu és acotat en el sentit que mapea conjunts acotats a conjunts acotats. Açò permet definir el seu norma com

$\Vert A\Vert =\sup \{\Vert Ax\Vert :\Vert x\Vert \le 1\}.$

La suma i la composició de dos operadors llineals continus són a la seua volta continus i llineals. Para i en H, la funció que envia x a <i, Ax> és llineal i contínua, i segons el teorema de representació de Riesz es pot per lo tant representar en la forma

$⟨A^{*}y,x⟩=⟨y,Ax⟩.$

Açò definix un atre operador llineal continu A^*: H → H, el adjunt de A.

El conjunt L(H) de tots els operadors llineals continus en H, junt en l'adició i les operacions de composició, la norma i l'operació adjunt, formes una C^*-àlgebra; de fet, est és l'orige de la motivació i el més important eixemple d'una C^*-àlgebra.

Un element A en L(H) es diu auto-adjunt o hermitiano si A^* = A. Estos operadors compartixen moltes propietats dels número real i es veuen a voltes com a generalisacions d'ells.

Un element O de L(H) es diu unitari si O és inversible i el seu invers ve dau per O^*. Açò pugues també ser expressat requerint que <Ux, Uy> = <x, i> per a tots els x, i en H. Els operadors unitaris formen un grup baix composició, que es pot vore com el grup d'automorfismes de H.

Operadors no acotats

En mecànica quàntica, un també considera operadors llineals, que no necessàriament són continus i que no necessàriament estan definits en tot espai H. Un requerix solament que es definixquen en un subespacio dens de H. És possible definir a operadors no acotats auto-adjunts, i estos eixerciten el paper dels observables en la formulació matemàtica de la mecànica quàntica.

Eixemples d'operadors no acotats auto-adjunts en l'espai de Hilbert L²(R) són:

• Una extensió convenient de l'operador diferencial

$[Af](x)=-i\frac{d}{dx}f(x),$

a on i és l'unitat imaginària i f és una funció diferenciable de soport compacte.

• L'operador de multiplicació per x:

$[Bf](x)=xf(x).$

estos corresponen als observables de moment i posició, respectivament, expressats en unitats atòmiques. Observe que ni A ni B es definixen en tot H, ya que en el cas de A la derivada no necessita existir, i en el cas de B la funció del producte no necessita ser quadrat-integrable. En abdós casos, el conjunt d'arguments possibles formen subespacios densos de L²(R).

Espais abstractes

Atres espais abstractes, relacionats. Plantilla:Espais abstractes

Referències

• Dieudonne, Jean Alexandre (1966). Fonaments d'anàlisis modern, Barcelona: Reverté. ISBN 9788429150605.