Conjunt dens

En topología, es diu que un subconjunt $A$ d'un espai topològic $(X,𝒯)$ és dens en $X$ si cada punt de $X$ pertany a $A$ o està "arbitrariamente prop" de $A$.

Formalment, un subconjunt $A$ és dens en $X$ si el menor conjunt tancat de $X$ que conté a $A$ és el mateix $X$.

Definició

Les següents proposicions per a $A$ són equivalents:

1. $A$ és dens en $X$.
2. El menor conjunt tancat de $X$ que conté a $A$ és el mateix $X$.
3. l'interior del complement de $A$ és buit, és dir, ${(X\setminus A)}^{\circ }=\mathrm{\varnothing }$.
4. $A$ interseca a tot obert no buit de $X$.
5. Tot punt $X$ pertany a $A$ o és punt d'acumulació de $A$.

Atres proposicions

• Si dos aplicacions contínues de X en I, sent I un espai de Hausdorff, coincidixen en un conjunt dens; llavors coincidixen en tot l'espai X.

• D₁ i D₂ són subconjunts densos en X, no necessàriament ho és la seua intersecció:

$D_1=\mathbb{Q}y{D}_2=ℝ-\mathbb{Q}$

• Sean D₁ , D₂ subconjunts densos de X , ademés D₁ o D₂ és obert, llavors D₁∩D₂ és dens

Vore també

• Conjunt dens en ninguna parte
• Espai separable