Conjunt tancat
En topología, un conjunt tancat és el complement d'un obert.
Una propietat important dels conjunts tancats és que tota successió convergent definida en un conjunt tancat convergix a un valor del conjunt.
Definició
[editar | editar còdic]Més formalment, donat un espai topològic (X,T), F és un conjunt tancat en X si i solament si XF és un element de la topología T, és dir, si XF és obert.
La noció de conjunt tancat es definix dalt en térmens de conjunts oberts, un concepte que té sentit per als espais topològics, aixina com per a atres espais que duguen estructures topològiques, tals com espais mètrics, varietats diferenciables, espais uniformes, i espais de gauge.
Una caracterisació alternativa de conjunts tancats és possible via successions. Un subconjunt F d'un espai topològic (X,T) és tancat en X si i només si conté a tots els seus punts llímit, és dir, el llímit de tota successió de punts de F convergix. Una importància d'esta caracterisació és que pot ser utilisada com a definició en el context dels espais de convergència, que són més generals que els espais topològics. Note's que esta caracterisació també depén de l'espai referencial X perque el que una successió convergix o no en X depén de quins punts estan presents en ell.
Una manera equivalent de definir a un conjunt tancat és dient que «un conjunt és tancat si i només si és igual al seu clausura topològica», que és el conjunt tancat més chicotet que conté a un conjunt. Hi ha un comportament dual entre els oberts i els tancats d'una topología T:
- l'unió d'una cantitat arbitrària d'oberts de T és oberta; l'intersecció d'una cantitat qualsevol de tancats és tancada
- l'intersecció d'una cantitat finita d'oberts de T és oberta; l'unió d'una cantitat finita de tancats és tancada.
Eixemples
[editar | editar còdic]La noció de tancat depén del concepte de «exterior», l'espai circumdant sobre el com es pren el complement. Per eixemple, l'interval unitat [0,1] és tancat en els número real, i el conjunt [0,1] ∩ Q número racional entre 0 i 1 (inclusivo) és tancat en l'espai dels número racional, pero [0,1] ∩ Q no és tancat en els número real.
Alguns conjunts no són ni oberts ni tancats, per eixemple l'interval semiabierto [0,1) en els número real. Ademés, sempre existixen conjunts que són oberts i tancats al mateix temps (cridats clopen): el buit i la totalitat de l'espai. Un espai és conexo si i solament si estos dos són els únics conjunts clopen.
Vore també
[editar | editar còdic]- Espai topològic
- Conjunt obert
- Conjunt tancat
- Conjunt compacte
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Conjunto cerrado» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.