Interval (matemàtica)

Un interval (del llatí intervallum) és un subconjunt conexo de la recta real, és dir, un subconjunt $I\subset ℝ$ que satisfà que, per a cual vullga $u,w\in I$ i $v\in ℝ$, si $u\le v\le w$, llavors $v\in I$. És un conjunt mesurable i té la mateixa cardinalidad que la recta real.

La suma x + a en la recta numèrica. Tots els números majors que x i menors que x + as troben dins d'eixe interval obert.

Proposició

Un interval $I$ és un subconjunt de $ℝ$ que verifica la següent propietat:

Notació

Existixen dos notacions principals: en un cas s'utilisen corchetes i corchetes invertits, en l'atre corchete i paréntesis; abdós notacions estan descrites en l'estàndart internacional ISO 31-11.

Intervals oberts

Donats dos número real

$a$

i

$b$

, es definix el conjunt

$(a,b)=\{x\in ℝ:a<x<b\}$

cridat interval obert d'extrem inferior

$a$

i extrem superior

$b$

.

En paraules, l'interval obert $(a,b)$ és el conjunt de número real compresos entre $a$ i $b$: este conjunt no conté a cap dels extrems $a$ i $b$. És un interval de llongitut finita.

Atres notacions

$(a,b);]a,b[;⟨a,b⟩$

En la definició de llímit ordinari d'una funció real es considera com a domini un interval obert que conté al punt d'acumulació.

En la topología usual de la recta (o $ℝ$) s'usa un interval obert per a definir un conjunt obert en dita topología. En la topología usual de $ℝ$, un interval obert és un conjunt obert. L'interval obert $(a,b)$ és igual al seu interior, la seua frontera és el conjunt $\{a,b\}$ i la seua clausura és l'interval tancat $[a,b]$. El seu exterior són les semirrecta $(-\mathrm{\infty },a]$ i $[b,\mathrm{\infty })$. No té punts aïllats, mentres que tots els seus punts són punts d'acumulació del mateix interval.

Intervals tancats

Sí inclou els extrems.

• Que s'indica: $I=[a,b]$

En notació conjuntista:

$I=[a,b]=\{x\in ℝ:a\le x\le b\}$

Intervals semiabiertos

Inclou únicament un dels extrems.

• En la notació $(a,b]$ o be $]a,b]$ indiquem.

En notació conjuntista:

$I=(a,b]=\{x\in ℝ:a<x\le b\}$

• I en la notació $[a,b)$ o be $[a,b[$,

Els quatre tipos d'intervals anteriors es diuen finitos; els experts assignen com la seua llongitut $|b-a|$. Són molt útils en l'anàlisis matemàtic i en els temes de topología general, per a l'estudi de diferents conceptes com a clausura, interior, frontera, conexidad, etc. S'usen en definició de funcions com la funció màxim sancer, o la funció sostre o funció chafe en matemàtiques discretes i per a la solució d'equacions que comporten valor absolut, la funció signe, etc.

Els intervals finitos tenen un centre de simetria que és $(a+b)/2$, cridat punt mig, a on els extrems són $a$ i $b$ en $a<b$. En el cas $a=b$, no existix punt mig i l'interval obert és $\varnothing$.

Intervals en infinit

Este tipo d'intervals apareix quan es coneix solament un dels extrems i l'atre és l'infinit, és dir, un valor en térmens absoluts major que qualsevol un atre, ya siga positiu o negatiu. Al no poder-se incloure l'infinit en l'interval, estos es consideren sempre oberts.

Inclou un extrem i infinit per la dreta.

Erro al crear miniatura:

• En la notació $[a,\mathrm{\infty })$ o $[a,\mathrm{\infty }[$ indiquem.

En notació conjuntista:

$I=[a,\mathrm{\infty })=\{x\in ℝ:a\le x\}$

Sense incloure l'extrem:

• I en la notació $(a,\mathrm{\infty })$ o $]a,\mathrm{\infty }[$,

$I=(a,\mathrm{\infty })=\{x\in ℝ:a<x\}$

Inclou un extrem i infinit per l'esquerra.

• En la notació $(-\mathrm{\infty },a]$ o $]-\mathrm{\infty },a]$ indiquem.

En notació conjuntista:

$I=(-\mathrm{\infty },a]=\{x\in ℝ:x\le a\}$

Sense incloure l'extrem:

• I en la notació $(-\mathrm{\infty },a)$ o $]-\mathrm{\infty },a[$,

En notació conjuntista:

$I=(-\mathrm{\infty },a)=\{x\in ℝ:x<a\}$

Per a tot valor real:

Erro al crear miniatura:

• I en la notació $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ o $]-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }[$,

En notació conjuntista:

$I=(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })=ℝ$

Família d'intervals

• $\{(1-\frac{1}{n},2+\frac{1}{n}):n\in {\mathbb{Z}}_{>0}\}$ és una família d'intervals oberts.

• $\{[1,2+\frac{1}{n}]:n\in {\mathbb{Z}}_{>0}\}$ és una família d'intervals tancats.

Operacions en intervals

En notació conjuntista: supongam el conjunt $A$:

$A=\{x\in ℝ:x<4\}=(-\mathrm{\infty },4)$

Açò es llig: $A$ és el conjunt de tots els número real $x$ tal que $x$ és menor que quatre.

I el conjunt $B$:

$B=\{x\in ℝ:9<x\}=(9,\mathrm{\infty })$

$B$ és el conjunt de tots els número real $x$, tal que $9$ és menor que $x$.

Erro al crear miniatura:

El conjunt unió de $A$ i $B$ seria:

$A\cup B=(-\mathrm{\infty },4)\cup (9,\mathrm{\infty })=\{x\in ℝ:x<4\vee x>9\}$

Un element està en l'unió de dos o més conjunts si i solament si està per lo manco en un d'ells.

Erro al crear miniatura:

El conjunt intersecció de $A$ i $B$ és el buit:

$A\cap B=(-\mathrm{\infty },4)\cap (9,\mathrm{\infty })=\{x\in ℝ:x<4\wedge 9<x\}$

perque $A$ i $B$ no tenen punts en comú.

Es nota de la següent manera: $A\cap B=\varnothing$

Donats els conjunts A i C:

$A=\{x\in ℝ:x<4\}=(-\mathrm{\infty },4)$

$C=\{x\in ℝ:-3<x<15\}=(-3,15)$

Erro al crear miniatura:

El conjunt unió de $A$ i $C$ és:

$A\cup C=\{x\in ℝ:x<15\}=(-\mathrm{\infty },15)$

El conjunt unió és aquell que pren els valors de cada u dels conjunts, entre tots els conjunts inclosos.

Erro al crear miniatura:

El conjunt intersecció de $A$ i $C$ és:

$A\cap C=\{x\in ℝ:-3<x<4\}=(-3,4)$

El conjunt intersecció és aquell que pren els valors en comú entre tots els conjunts inclosos.

Vore també

• Desigualtat
• Valor absolut
• Interval unitat
• Partició d'un interval
• Mida de Lebesgue

Referències i notes

• {{{1}}} en Springer
• Interval en MathWorld.