Llímit d'una funció

L'expressió llímit d'una funció s'utilisa en el càlcul diferencial matemàtic i referix a la rodalia entre un valor i un punt. El llímit d'una funció és un concepte fonamental del anàlisis matemàtic aplicat a les funcions. En particular, el concepte es referix en anàlisis real a l'estudi de llímits, continuïtat i derivabilidad de funcions reals.

Intuitivament, el fet de que una funció f alcance un llímit L en un punt c significa que, prenent punts suficientment pròxims a c, el valor de f pot ser tan propenc a L com es desige. La rodalia dels valors de f(x) i L no depén del valor que adquirix f en dit punt c.

Història

Encara que implícita en el desenroll del càlcul dels sigles XVII i XVIII, la notació moderna del llímit d'una funció es remonta a Bolzano, qui en 1817 va introduir les bases de la tècnica épsilon-delta.^[1] No obstant, no va vore en vida el reconeiximent al seu treball. Cauchy va expondre llímits en el seu Cours d'analyse (1821) i sembla haver expressat l'essència de l'idea, pero no d'una manera sistemàtica.^[2] La primera presentació rigorosa de la tècnica feta pública va ser donada per Weierstrass en els anys 1850 i 1860,^[3] i des de llavors s'ha convertit en el método estàndar per a treballar en llímits.

La notació d'escritura usant l'abreviatura lim en la flecha davall és deguda a Hardy en el seu llibre A Course of Pure Mathematics, en 1908.^[2]

Definició formal

Funcions de variable real

Archiu:Límite 01.svg

Visualisació dels paràmetros utilisats en la definició de llímit.

Si la funció $f$ té llímit $L$ en $c$ podem dir de manera informal que la funció $f$ tendix cap al llímit $L$ prop de $c$ si es pot fer que $f (x)$ estiga tan prop com vullgam de $L$ fent que $x$ estiga suficientment prop de $c$ sent $x$ distint de $c$ .

Els conceptes prop i suficientment prop són matemàticament poc precisos. Per esta raó, es dona una definició formal de llímit que precisa estos conceptes. Llavors es diu:

Açò, escrit en notació formal:

\lim_{x \to c} f (x) = L

⟺ \forall ε > 0, \exists δ > 0 | \forall x \in Dom (f), 0 < | x - c | < δ ⟶ | f (x) - L | < ε

Archiu:Límite de una función f.gif

Prenent valors arbitraris de ε, podem elegir un δ para cada u d'estos, de modo que f(x) i L s'acosten a mida que x s'acosta a c.

Esta és una formulació estricta del concepte de llímit d'una funció real en un punt d'acumulació (o punt llímit) del domini de la funció i es deu al matemàtic francés Louis Cauchy.^[4]

Lo important és comprendre que el formalisme no ho fan els símbols matemàtics, sino la precisió en la que queda definit el concepte de llímit. Esta notació és tremendament poderosa, puix nos diu que si el llímit existix, llavors es pot estar tan prop d'ell com es desige. Si no es conseguix estar lo suficientment prop, llavors l'elecció de el $δ$ no era adequada.

Una manera d'entendre millor la definició anterior és interpretar les lletres $ε$ i $δ$ com les paraules "error" i "distància", respectivament. D'esta forma, la definició es pot entendre com seguix: podem fer que $f$ aproxime el valor llímit $L$ en errors $ε$ tan menuts com vullgam ( $\forall ε > 0$ ) a costa de reduir la distància $δ$ dels punts $x$ considerats al punt llímit $c$ .

Vejam un eixemple. Supongam que es vol demostrar que $\lim_{x \to 2} (3 x - 5) = 1.$ El càlcul d'este llímit sorgix per simple substitució, açò es deu a que la funció afí és contínua.

Hi ha casos com per eixemple la funció de Dirichlet $D : ℝ \to ℝ$ definida com:

a on no hi ha cap número a en el domini per al qual existix el $\lim_{x \to a} f (x) .$ Per a demostrar l'anterior afirmació, és necessari fer us del fet de que cada interval conté tant número racional com irracionals.

Llímit seqüencial

Consistix en definir al llímit d'una funció en térmens dels valors que pren para successions contingudes en el seu domini.

Una funció real f té un llímit L en un punt x = c del seu domini si para tota successió x_n que convergix a este punt c, la successió f(x_n) convergix a L.

En térmens formals, si x_n és una successió tal que

$\forall ε_{0} > 0, \exists N_{0} \in ℕ / n \geq N_{0} ⟹ | x_{n} - c | < ε_{0}$

llavors f té llímit L en x = c si i solament si

$\forall ε > 0, \exists N \in ℕ / \forall x_{n}, n > N ⟹ | f (x_{n}) - L | < ε$

la qual cosa se simbolisa aixina:

$\lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = L$

Esta definició en térmens de successions és equivalent a la definició épsilon-delta de Cauchy.

El llímit seqüencial proporciona una manera senzilla de provar l'inexistència de certs llímits, com per eixemple el ya mencionat

$\lim_{x \to a} D (x)$

per a ells basta prendre dos successions diferents que convergixquen al punt a:

una que continga sol número racional i
una atra que solament continga irracionals

d'esta manera, s'obliga a la funció a prendre dos valors diferents sobre successions que tendixen a un mateix punt del domini. Després, el llímit no existix.

Funcions de dos variables reals

Archiu:Límite de una función escalar de dos variables.gif

A mida que es afina l'interval que tanca a L pot prendre's un disc de ràdio δ més menut, dins del com és possible acostar-se al punt (a,b), sense necessàriament passar per ell.

Donada una funció

$f : D \subseteq ℝ^{2} ⟶ ℝ$

que a cada parell (x,i) d'número real contingut en el conjunt D li assigna un número real z, és possible estendre la definició de llímit a este tipo de funcions. Siga (a,b) un punt d'acumulació del conjunt D, pot definir-se al llímit L de f en este punt com seguix.

$con ‖ (x, y) ‖ = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$

Prendrem com a eixemple la següent funció

$f : ℝ^{2} ∖ {(0, 0)} ⟶ ℝ, f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{x^{4} + y^{2}}$

El punt (0,0) és un punt d'acumulació del domini de f, ya que qualsevol entorn en centre en este punt tanca uns atres, distints del primer, pertanyents també al domini de la funció.

Per a esta funció es complix

$\lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} f (x, y) = 0$

la qual cosa pot ser demostrat per definició.

Si en lloc d'una funció escalar es pren el camp vectorial

$𝐟 : D \subseteq ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2}$

la definició de llímit és anàloga.

Una important teorema que relaciona les dos definicions anteriors és el següent.

Este resultat pot generalisar-se a funcions vectorials de la forma

$𝐟 : X \subseteq ℝ^{n} ⟶ ℝ^{m}$

és dir, de n variables i m components.^[5]

Funcions en espais mètrics

La definició de llímit pot generalisar-se a qualsevol funció definida entre dos espais mètrics. Suponga's donats dos conjunts M i N, en les seues respectives mètriques d_M i d_N. Siga la funció f definida entre els dos espais mètrics formats per cada parell conjunt-mètrica,

$f : (M, d_{M}) ⟶ (N, d_{N})$

i siguen c un punt llímit de M, i L∈N.

De la desigualtat 0 < d_M(x, c) < δ s'obté lo següent:

x pertany a una veïnat de c.
x no és igual a c, puix 0 < 0 < d_M implica que x és distint de c.

Vore també

Llímit
Llímit superior i llímit inferior
Llímit d'una ret topològica, una generalisació del concepte de llímit.
Teorema del emparedado.

Referències

↑ MacTutor History of Bolzano
↑ ^2,0 ^2,1 Jeff Miller's history of math website.
↑ MacTutor History of Weierstrass.
↑ V.F. Butúzov. Anàlisis matemàtic en preguntes i problemes. Editorial Mir, Moscou (1989)
↑ (1995) Lliçons de càlcul infinitesimal II, EDITUM, pp. 9-10. ISBN 9788476846063.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Límite de una función» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] MacTutor History of Bolzano

[Miller-2] 2,0 ^2,1 Jeff Miller's history of math website.

[3] MacTutor History of Weierstrass.

[4] V.F. Butúzov. Anàlisis matemàtic en preguntes i problemes. Editorial Mir, Moscou (1989)

[5] (1995) Lliçons de càlcul infinitesimal II, EDITUM, pp. 9-10. ISBN 9788476846063.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]