Anàlisis real

L'anàlisis real o teoria de les funcions de variable real és la branca del anàlisis matemàtic que té que vore en el conjunt dels número real i les funcions de número real.^[1] En particular, estudia les propietats analítiques de les funcions i successions de número real; el seu llímit, continuïtat i el càlcul dels número real.

L'anàlisis real es distinguix del anàlisis complex, que s'ocupa de l'estudi dels número complex i les seues funcions.

Alcanç

L'anàlisis real és un àrea del anàlisis matemàtic que estudia els conceptes de successió, llímit, continuïtat, diferenciació i integració. Donada la seua naturalea, l'anàlisis real està llimitat als número real com a ferramentes de treball.

Resultats importants inclouen entre uns atres el teorema de Bolzano-Weierstrass, el teorema de Heine-Borel, el teorema del valor mig i el teorema fonamental del càlcul.

Conceptes bàsics

Els texts del «càlcul alvançat» normalment comencen en una introducció a les demostracions matemàtiques i a la teoria de conjunts. Despuix d'açò es definixen els número real axiomáticamente, o li'ls construïx en successions de Cauchy o com corts de Dedekind de número racional. Despuix, fan una investigació de les propietats dels número real, sent de les més importants la desigualtat triangular.

Successions i séries

Despuix de definir els número real, s'investiguen les successions de número real i el seu convergència, un concepte central en anàlisis, a través dels llímits de successions o punts d'acumulació de conjunts. Posteriorment s'estudien les séries, com les séries alternades i les séries de potències.

S'estudia, per a escomençar a desenrollar conceptes topològics elementals, varis tipos de subconjunts dels número real: conjunts oberts, conjunts tancats, espais compactes, conjunts conexos, etc., a on s'estudien el teorema de Bolzano-Weierstrass i el d'Heine-Borel.

Funcions contínues

Ara s'estudien les funcions de variable real, i es definix el concepte de funció contínua a partir de la definició épsilon-delta del llímit d'una funció. Entre les propietats d'una funció contínua definida en un interval destaquen les teoremes conegudes com el teorema de Bolzano, el teorema del valor intermig i el teorema de Weierstrass.

Derivació o diferenciació

En este moment es pot definir la derivada d'una funció com un llímit, i es poden demostrar rigorosament les teoremes importants sobre la derivació com el teorema de Rolle o el teorema del valor mig. Es construïxen les séries de Taylor i es calculen les séries de Maclaurin de les funcions exponencial i de les funcions trigonométricas.

És important destacar que també s'estudien les funcions de vàries variables tant com les seues derivades que són les derivades parcials. És molt important estudiar el teorema de la funció inversa i el teorema de la funció implícita, tant com les funcions de Morse.

Integració

l'integració definida, que es pot definir com «l'àrea baix de la gràfica» d'una funció va naturalment despuix de la derivació, de la que l'integració indefinida és l'operació inversa. Es comença en l'integral de Riemann, que consistix en dividir l'interval en subintervalos (en una partició), estendre els subintervalos cap a dalt fins que aplegue, o al mínim de la funció en el subintervalo (en cual cas se li crida la suma inferior), o al màxim en el subintervalo (en cual cas se li crida la suma superior). També existix un atre tipo d'integral, que pot integrar més funcions, cridada l'integral de Lebesgue, que usa la medida i el concepte de «en casi totes parts». El mateix es mostra despuix.

En la teoria d'integració es poden demostrar vàries teoremes, en el cas de l'integració de Riemann o de Lebesgue, com el teorema de Fubini, pero d'un modo més important el teorema fonamental del càlcul.

Tornada als conceptes bàsics en ambients més generals

Havent fet tot açò, és útil retornar als conceptes de continuïtat i convergència, i estudiar-los en un context més abstracte, en preparació per a estudiar els espais de funcions, que es fa en l'anàlisis funcional o més especialisats tal com l'anàlisis complex.

Construcció dels número real

Les teoremes de l'anàlisis real es basen en les propietats del sistema de número real, que deuen establir-se. El sistema dels número real consistix en un conjunt incontable ( $ℝ$ ), junt en dos operacions binàries denominades $+$ i $\cdot$ , i un orde denominat $<$ . Les operacions fan dels número real un camp, i, junt en l'orde, un camp ordenat. El sistema de número real és l'únic camp ordenat complet, en el sentit de que qualsevol atre camp ordenat complet és isomorfo a ell. Intuitivament, la completitud significa que no hi ha "buits" en els número real. Esta propietat distinguix als número real d'atres camps ordenats (per eixemple, els número racional $ℚ$ ) i és fonamental per a la demostració de vàries propietats clau de les funcions dels número real. La completitud dels reals a sovint s'expressa convenientment com la propietat del llímit superior mínim.

Propietats d'orde dels número real

Els número real tenen vàries propietats teoria de celosías que no tenen els número complex. Ademés, els número real formen un camp ordenat, en el que les sumes i productes de números positius també són positius. Ademés, l'ordenació dels número real és total, i els número real tenen la propietat del llímit superior mínim:

Tot subconjunt no buit de
$ℝ$
que té un llímit superior té un menor llímit superior que també és un número real.

Estes propietats teòric de l'orde conduïxen a una série de resultats fonamentals en anàlisis real, com el teorema de convergència monòtona, el teorema del valor intermig i el teorema del valor mig.

No obstant, encara que els resultats en anàlisis real s'enuncien per a número real, molts d'estos resultats poden generalisar-se a uns atres objectes matemàtics. En particular, moltes idees en anàlisis funcional i teoria d'operadors generalisen propietats dels número real - tals generalisacions inclouen les teories d'espai de Riesz i operador positiu. Ademés, els matemàtics consideren real i part imaginària de seqüències complexes, o per evaluació puntual de seqüències d'operadors.

Propietats topològiques dels número real

Molts de les teoremes de l'anàlisis real són conseqüències de les propietats topològiques de la recta numèrica real. Les propietats d'orde dels número real descrites anteriorment estan estretament relacionades en estes propietats topològiques. Com espai topològic, els número real tenen una topología estàndar, que és la topología d'orde induïda per l'orde $<$ . Alternativament, definint la mètrica o funció distancia $d : ℝ \times ℝ \to ℝ_{\geq 0}$ utilisant la funció valor absolut com $d (x, y) = | x - y |$ , els número real es convertixen en l'eixemple prototípico d'un espai mètric. La topología induïda per la mètrica $d$ resulta ser idèntica a la topología estàndar induïda per l'orde $<$ . Teoremes com el teorema del valor intermig que són essencialment topològics per naturalea poden demostrar-se a sovint en l'entorn més general d'espais mètrics o topològics en lloc de només en $ℝ$ . A sovint, tals proves tendixen a ser més curtes o més simples en comparació a les proves clàssiques que apliquen métodos directes.

Llímits i convergència

Artícul principal → Llímit (matemàtiques).

A grans traces, un llímit és el valor al que una funció o una successió "s'aproxima" a mida que l'entrada o l'índex s'aproxima a algun valor.^[2] (Este valor pot incloure els símbols $\pm \infty$ quan s'aborda el comportament d'una funció o seqüència a mida que la variable aumenta o disminuïx sense llímit). L'idea de llímit és fonamental en càlcul (i en anàlisis matemàtic en general) i la seua definició formal s'utilisa a la seua volta per a definir nocions com continuïtat, derivades i integrals. (De fet, l'estudi del comportament llímit s'ha utilisat com una característica que distinguix al càlcul i a l'anàlisis matemàtic d'atres branques de les matemàtiques).

El concepte de llímit va ser introduït informalment per a funcions per Newton i Leibniz, a finals del XVII, per a construir el càlcul infinitesimal. Per a les seqüències, el concepte va ser introduït per Cauchy, i fet rigorós, a finals del XIX per Bolzano i Weierstrass, els qui varen donar la moderna | definició ε-δ, que seguix.

Definició. Siga $f$ una funció de valor real definida en $E \subset ℝ$ . Diem que $f (x)$ tendix a $L$ a mida que $x$ s'aproxima a $x_{0}$ , o que el llímit de $f (x)$ a mida que $x$ s'aproxima a $x_{0}$ és $L$ si, per a qualsevol $ε > 0$ , existix $δ > 0$ tal que para tot $x e n E$ , $0 < | x - x_{0} | < δ$ implica que $| f (x) - L | < ε$ . Escrivim açò simbòlicament com $f (x) \to L cuando x \to x_{0},$ o com $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = L .$

Intuitivament, esta definició es pot pensar de la següent manera: Diem que $f (x) \to L$ as $x \to x_{0}$ , quan, donat qualsevol número positiu $ε$ , per chicotet que siga, sempre podem trobar un $d e l t a$ tal que pugam garantisar que $f (x)$ i $L$ estan a menys de $ε$ de distància, sempre que $x$ (en el domini de $f$ ) siga un número real que estiga a menys de $δ$ de $x_{0}$ pero distint de $x_{0}$ . El propòsit de l'última estipulació, que correspon a la condició $0 < | x - x_{0} |$ en la definició, és assegurar que $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ no implica res sobre el valor de $f (x_{0})$ en sí. En realitat, $x_{0}$ ni tan sols necessita estar en el domini de $f$ per a que $l i m_{x \to x_{0}} f (x)$ existixca.

Definició. Siga $(a_{n})$ una successió de valor real. Diem que $(a_{n})$ tendix a $a$ si, per a qualsevol $ε > 0$ , existix un número natural $N$ tal que $n \geq N$ implica que $| a - a_{n} | < ε$ . Escrivim açò simbòlicament com $a_{n} \to a as n \to \infty,$ o com $\lim_{n \to \infty} a_{n} = a;$ si $(a_{n})$ no convergix, diem que $(a_{n})$ divergix.

Compacidad

Artícul principal → Compacidad.

La compacidad és un concepte de topología general que juga un paper important en molts de les teoremes de l'anàlisis real. La propietat de compacidad és una generalisació de la noció de conjunt tancat i acotat. (En el context de l'anàlisis real, estes nocions són equivalents: un conjunt en l'espai euclídeo és compacte si i només si és tancat i acotat). Breument, un conjunt tancat conté tots els seus llímit, mentres que un conjunt és acotat si existix un número real tal que la distància entre dos punts qualssevol del conjunt és menor que dit número. En $ℝ$ , els conjunts que són tancats i acotats, i per tant compactes, inclouen el conjunt buit, qualsevol número finit de punts, intervals tancats, i les seues unions finitas. No obstant, esta llista no és exhaustiva; per eixemple, el conjunt ${1 / n : n \in ℕ} \cup {0}$ és un conjunt compacte; el Conjunt ternario de Cantor $𝒞 \subset [0, 1]$ és un atre eixemple de conjunt compacte. Per un atre costat, el conjunt $1 / n : n \in ℕ$ no és compacte perque està acotat pero no tancat, ya que el punt 0 no és membre del conjunt. El conjunt $[0, \infty)$ tampoc és compacte perque és tancat pero no acotat.

Per a subconjunts dels número real, hi ha vàries definicions equivalents de compacidad.

Definició. Un conjunt $E \subset ℝ$ és compacte si és tancat i acotat.

Esta definició també és vàlida per a un espai euclídeo de qualsevol dimensió finita, $ℝ^{n}$ , pero no és vàlida per a espais mètrics en general. L'equivalència de la definició en la definició de compacidad basada en subcoberturas, donada més alvance en esta secció, es coneix com el teorema de Heine-Borel.

Una definició més general que s'aplica a tots els espais mètrics utilisa la noció de subsecuencia

Continuïtat

Artícul principal → Funció contínua.

Una funció del conjunt de número reals als número real pot representar-se per mig d'una gràfica en el pla cartesiano; dita funció és contínua si, a grans traces, la gràfica és una única curva ininterrompuda sense "forats" ni "bots".

Hi ha vàries formes de fer matemàticament rigorosa esta intuïció. Es poden donar vàries definicions en distints nivells de generalitat. En els casos en els que dos o més definicions són aplicables, es demostra fàcilment que són equivalents entre sí, per lo que es pot utilisar la definició més convenient per a determinar si una funció donada és contínua o no. En la primera definició donada a continuació, $f : I \to ℝ$ és una funció definida sobre un interval no degenerado $I$ del conjunt dels número real com el seu domini. Algunes possibilitats inclouen $I = ℝ$ , tot el conjunt dels número real, un interval obert $I = (a, b) = {x \in ℝ ∣ a < x < b},$ o un interval tancat. $I = [a, b] = {x \in ℝ ∣ a \leq x \leq b} .$ Ací, $a$ i $b$ són número real distints, i excloem el cas de que $I$ estiga buit o conste d'un sol punt, en particular.

Definició. Si $I \subset ℝ$ és un interval no degenerado, diem que $f$ és contínua en $p \in I$ si $l i m_{x \to p} f (x) = f (p)$ . Diem que $f$ és un mapa continu si $f$ és continu en cada $p \in I$ .

Generalisacions i àrees relacionades de les matemàtiques

Vàries idees de l'anàlisis real poden generalisar-se de la llínea real a contexts més amplis o abstractes. Estes generalisacions vinculen l'anàlisis real en atres disciplines i subdisciplinas. Per eixemple, la generalisació d'idees com a funcions contínues i compacidad de l'anàlisis real a espais mètrics i espais topològics conecta l'anàlisis real en el camp de la topología general, mentres que la generalisació d'espais euclidianos finit-dimensionals a anàlecs infinit-dimensionals va conduir als conceptes d'espais de Banach i espais de Hilbert i, més generalment al anàlisis funcional. L'investigació de Georg Cantor sobre els conjunts i seqüències de número real, els mapages entre ells i les qüestions fundacionals de l'anàlisis real varen donar orige a la teoria ingènua de conjunts. L'estudi de les qüestions de convergència per a seqüències de funcions va acabar donant lloc al anàlisis de Fourier com subdisciplina de l'anàlisis matemàtic. L'investigació de les conseqüències de generalisar la diferenciabilidad de funcions d'una variable real a funcions d'una variable complexa va donar lloc al concepte de funció holomorfa i a l'inici del anàlisis complex com una atra subdisciplina distinta de l'anàlisis. Per una atra part, la generalisació de l'integració des del sentit de Riemann al de Lebesgue va conduir a la formulació del concepte d'espai de mides abstracte, concepte fonamental en teoria de mides. Per últim, la generalisació de l'integració des de la recta real a curves i superfícies en espais de major dimensió va donar lloc a l'estudi del càlcul vectorial, l'ulterior generalisació del qual i formalisació va eixercitar un paper important en l'evolució dels conceptes de forma diferencials i múltiple pla (diferenciable) en geometria diferencial i atres àrees estretament relacionades de la geometria i la topología.

Referències

↑ Tao, Terence. «Lecture notes for MATH 131AH».
↑ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals, 6th edició, Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.

Vore també

Enllaços externs

Real analysis en MathWorld.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Análisis real» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Tao, Terence. «Lecture notes for MATH 131AH».

[2] Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals, 6th edició, Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.

[1]

[2]