Espai compacte

Archiu:Compact.svg

D'acort al criteri de compacticidad per a l'espai Euclidiano com és enunciat pel teorema de Heine–Borel, l'interval A = (−∞, −2] no és compacte perque no és acotat. L'interval C = (2, 4) no és compacte perque no és tancat. L'interval B = [0, 1] és compacte perque és tancat i acotat.

En la branca de topología de les matemàtiques, un espai compacte és un espai que té propietats similars a un conjunt finito, sobre que les successions contingudes en un conjunt finito sempre contenen una subsucesión convergent. La noció de compacidad és una versió més general d'esta propietat.

Un conjunt compacte és un subconjunt d'un espai topològic, que com subespacio topològic (en la topología induïda) és en sí mateixa un espai topològic compacte.

La compacticidad és una propietat que busca generalisar el concepte d'un subconjunt tancat i acotat en l'espai Euclidiano. L'idea és que un espai compacte no posseïx "punchades" o "absència de punts finals", o siga, inclou tots els valores llímits dels punts. Per eixemple, l'interval obert (0,1) no és compacte perque exclou els valores llímits 0 i 1, mentres que l'interval tancat [0,1] és compacte. De manera similar, l'espai dels número racional $mathbbQ$ no és compacte, perque posseïx un número infinit de "punchades o forats" corresponents als números irracionales, i l'espai dels número real $mathbbR$ tampoc és compacte, perque exclou als dos valores llímits $+infty$ i $-infty$. No obstant, la llínea d'número real estesa seria compacta, ya que conté abdós infinits. Existixen numeroses maneres d'expressar de manera precisa esta noció heurística. Estes maneres per lo general coincidixen en un espai mètric, pero poden no ser equivalents en atres espais topològics.

Una d'estes generalisacions establix que l'espai topològic és secuencialmente compacte si tota successió infinita de punts muestreados de l'espai posseïx una sub successió que convergix a un punt en l'espai.

El teorema de Bolzano-Weierstrass establix que un subconjunt de l'espai euclidiano és compacte en este sentit seqüencial si i només si és tancat i acotat.

Per lo tant, si un elegix un número infinit de punts en l'interval unitari [0, 1], alguns d'eixos punts s'acostaran arbitrariamente a algun número real en eixe espai. Per eixemple, alguns dels números en la seqüència Plantilla:Nobr s'acumulen fins a 0 (mentres que uns atres s'acumulen fins a 1). Ya que ni 0 ni 1 són membres de l'interval unitari obert (0, 1), eixos mateixos conjunts de punts no s'acumularien en cap punt del mateix, per lo que l'interval unitari obert no és compacte. Encara que els subconjunts (subespacios) de l'espai euclidiano poden ser compactes, l'espai complet en sí mateixa no és compacte, ya que no està acotat. Per eixemple, considerant $mathbb{R}^1$ (la recta numèrica real), la seqüència de punts Plantilla:Nobr no té subsecuencia que convergixca a cap número real.

Evolució històrica

En el XIX es varen comprendre vàries propietats matemàtiques dispars que més tart es vorien com a conseqüències de la compacidad. Per un costat, Bernard Bolzano (1817) ya sabia que tota successió acotada de punts (en la recta o en el pla, per eixemple) té una subsucesión que al final deu acostar-se arbitrariamente a algun atre punt, cridat punt llímit.

La prova de Bolzano es basava en el método de bisecció: la successió es colocava en un interval que després es dividia en dos parts iguals, i se seleccionava una part que continguera infinits térmens de la successió. El procés podia repetir-se dividint l'interval resultant en parts cada volta més menudes, fins que es tancava en el punt llímit desijat. El significat complet del teorema de Bolzano, i el seu método de demostració, no sorgirien fins a casi 50 anys més tart, quan va ser redescubierto per Karl Weierstrass.

En la década de 1880, es va fer evident que resultats similars a la teorema de Bolzano-Weierstrass podrien formular-se para espais de funcions en lloc de només números o punts geomètrics. L'idea de considerar les funcions com a punts en sí d'un espai generalisat es remonta a les investigacions de Giulio Ascoli i Cessara Arzelà. La culminació de les seues investigacions, el teorema de Arzelà-Ascoli, va ser una generalisació de la teorema de Bolzano-Weierstrass a famílies de funcions contínues, la conclusió precisa de les quals va ser que, era possible extraure una uniformemente convergent seqüència de funcions a partir d'una família adequada de funcions. El llímit uniforme d'esta successió eixercitava llavors precisament el mateix paper que el "punt llímit" de Bolzano. Cap a principis de el XX, varen començar a acumular-se resultats similars als de Arzelà i Ascoli en l'àrea de les equacions integrals, investigades per David Hilbert i Erhard Schmidt. Per a una certa classe de funcions de Green procedents de solucions d'equacions integrals, Schmidt havia demostrat que es complia una propietat anàloga a la teorema de Arzelà-Ascoli en el sentit de convergència mija - o convergència en lo que més tart es denominaria un espai de Hilbert. Açò va conduir finalment a la noció d'operador compacte com una branca de la noció general d'espai compacte. Va ser Maurice Fréchet qui, en 1906, va destilar l'essència de la propietat de Bolzano-Weierstrass i va falcar el terme compacidad per a referir-se a este fenomen general (ya va utilisar el terme en el seu artícul de 1904 que va conduir a la famosa tesis de 1906).

No obstant, a finals de el XIX també havia sorgit llentament una noció diferent de compacidad a partir de l'estudi del continuum, que es considerava fonamental per a la formulació rigorosa de l'anàlisis. En 1870, Eduard Heine va demostrar que una funció contínua definida en un interval tancat i acotat era de fet uniformemente contínua. En el curs de la demostració, va fer us d'un lema segons el qual de qualsevol cobertura contable de l'interval per intervals oberts més menuts, era possible seleccionar un número finito d'estos que també ho cobriren. L'importància d'este lema va ser reconeguda per Émile Borel (1895), i va ser generalisat a coleccions arbitràries d'intervals per Pierre Cousin (1895) i Henri Lebesgue (1904). El teorema de Heine-Borel, com es coneix ara el resultat, és una atra propietat especial que posseïxen els conjunts tancats i acotats d'número real.

Esta propietat era significativa perque permetia passar d'informació local sobre un conjunt (com la continuïtat d'una funció) a informació global sobre el conjunt (com la continuïtat uniforme d'una funció). Este sentiment va ser expressat per Lebesgue (1904), que també ho va explotar en el desenroll de l'integral que ara du el seu nom.

Finalment, l'escola russa de topología de conjunts puntuals, baix la direcció de Pavel Alexandrov i Pavel Urysohn, va formular la compacidad de Heine-Borel de manera que poguera aplicar-se a la noció moderna d'espai topològic.Alexandrov y Urysohn (1929) va demostrar que la versió anterior de la compacidad deguda a Fréchet, ara cridada compacidad seqüencial (relativa), baix condicions apropiades es derivava de la versió de la compacidad formulada en térmens de l'existència de subcubiertas finitas.

Va ser esta noció de compacidad la que es va convertir en la dominant, perque no només era una propietat més sòlida, sino que podia formular-se en un entorn més general en un mínim de maquinària tècnica adicional, ya que es basava únicament en l'estructura dels conjunts oberts d'un espai.

Definició

La definició moderna de compacidad requerix primer especificar la noció de recobriment obert:

Donat un recobriment C d'un conjunt A, un subrecubrimiento D és una subfamília de C, D ⊆ C que seguix sent un recobriment de A —és dir, una subcolección de conjunts de C que encara cobrix a A—.

La definició de compacidad és llavors:

Un espai topològic X es diu compacte si, per a tot recobriment obert de X, existix un subrecubrimiento finito del mateix.

Eixemples

• El conjunt K = {1, 1/2, 1/3, 1/4,..., 0} ⊆ R en la topología heretada de l'estàndar de R és compacte. Donat un entorn de 0, est inclou a tots els 1/n llevat un número finito —lloc que la successió {1/n}_{n ∈ N} convergix a 0—. Per tant, donat un recobriment obert de K, prenent un obert O que continga a 0, i un obert que continga cada punt 1/n no contingut en O, esta subcolección finita cobrix a K.
• l'interval obert (0, 1) ⊆ R no és compacte (en la topología usual heretada de R). La família { (0, 1 − 1/n) }_{n > 1} és un recobriment obert de l'interval, pero donada qualsevol subfamília finita, existix un interval (0, 1 − 1/k) en ella que conté als demés —buscant aquell en k màxim—. Com 1 − 1/p no està en (0, 1 − 1/k) si p ≥ k, cap subfamília finita cobrix (0, 1).

#Caracterisació equivalents

La compacidad d'un espai admet vàries #formulació alternatives:

Les següents afirmacions sobre un espai topològic X són equivalents entre sí: X és compacte. Si {Fi}i ∈ I és una família de subconjunts tancats en X en la propietat de l'intersecció finita, llavors ∩IFi ≠ ∅. Tota ret en X admet una subred convergent. La funció al punt Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle X o�st} és pròpia.

Compacidad en espais mètrics

Un subconjunt A d'un espai mètric i, en particular, del espai euclídeo $mathbb{R}^n$ és compacte si complix alguna de les quatre condicions de la definició general. No obstant, la tercera d'elles admet la següent reescritura en este context: tota successió en A admet una subsucesión convergent.

Eixemples

• L'eixemple de bandera i senzill de subconjunt compacte de la recta euclídea és un interval tancat [a,b] de la mateixa (Teorema de Heine-Borel).
• Més generalment, també ho és qualsevol conjunt tancat i acotat del espai euclídeo. Qualsevol círcul en el pla euclídeo, per eixemple particular.
• Tot espai X cofinito és compacte.
• Un eixemple d'espai no compacte és la recta real, puix no és acotada i conté successions que tendixen a infinit. Ademés cap subfamília finita del recobriment d'oberts {(-n, n): n és n. natural} recobrix la recta real.
• Tampoc és compacte el conjunt dels número racional. En efecte, una successió de racionals que convergix a un irracional (en ser vista com a successió en els reals) no té cap subsucesión convergent a un racional.

Teoremes associades a la compacidad

Teorema de Heine-Borel

Artícul principal → Teorema de Heine-Borel.

Pel teorema de Heine-Borel, un espai mètric és compacte si i només si és complet i totalment acotat. Per a subconjunts de l'espai euclídeo, n'hi ha prou en que este siga tancat i acotat, que és una caracterisació útil.

No obstant, en dimensió infinita, açò no és veritat, i, de fet, en este context la bola unitària tancada jamai serà precompacta; per lo mateix, és molt més difícil verificar compacidad.

També cridada teorema de Heine-Borel-Lebesgue-Bolzano-Weierstraß o inclús teorema de Borel-Lebesgue.

Teorema de la compactificación de Alexándrov

Artícul principal → Compactificación de Alexándrov.

L'objectiu de la compactificación de Alexándrov és prendre un espai topològic arbitrari i afegir-li un sol punt, cridat punt de l'infinit, que faça que l'espai resultant siga compacte Hausdorff en considerar-ho en una certa topología que induïx la topología original a l'espai de partida quan s'elimina l'infinit.

Este procés no és sempre possible: fa falta que l'espai de partida siga ya Hausdorff pero també localment compacte. La teorema afirma que estes condicions, aparte de necessàries, són ya suficients per a poder compactificar un espai en un sol punt.

Teorema de Tíjonov

Artícul principal → Teorema de Tíjonov.

Esta teorema relaciona la compacidad d'espais topològics en la de la seua producte. Està clar que si un producte d'espais és compacte, en ser les proyeccions a cada component contínues, i conservar-se la compacidad per este tipo de transformacions, cada espai del que és producte també ho és.

La teorema de Tíjonov afirma que el recíproc també és cert: el producte d'espais compactes és compacte. El cas del producte finito de compactes és més senzill, com ya es podia intuir en pensar que, heurísticament, un espai compacte és aquell que es comporta com un finito. Si un conjunt finito d'espais es comporten com si foren finitos, el seu producte sembla que també deuria comportar-se com si fora finito.

El cas més complicat és que el producte infinit d'espais compactes torna a ser compacte. Per a la demostració fa falta usar l'axioma d'elecció i, de fet, se sap que abdós enunciats (la teorema de Tíjonov i l'axioma d'elecció) són equivalents.

Teorema de Arzelà-Ascoli

Artícul principal → Teorema de Arzelà-Ascoli.

La teorema de Arzelà-Ascoli és una de les ferramentes més poderoses del anàlisis matemàtic per a decidir si un conjunt de funcions contínues reals definides en un interval compacte és compacte. D'esta manera, es pot entendre com una extensió del teorema de Heine-Borel. En efecte, la teorema de Heine-Borel afirma que tot subconjunt tancat i acotat de $mathbb{R}^n$ és compacte. La teorema de Arzelà-Ascoli sorgix si nos preguntem si el resultat anàlec (¿tancat i acotat implica compacte?) és cert en espais de Banach reals (espais vectorials sobre $mathbbR$ en una norma definida que els fa complets) ya no de dimensió finita ($R^n$) sino arbitrària.

L'eixemple més senzill d'un tal espai de Banach és el de les funcions contínues reals definides en un interval compacte, dotat de la norma del suprem. I és en este eixemple que la teorema de Arzelà-Ascoli nos dona la resposta: no, no tot conjunt tancat i acotat de funcions contínues serà compacte (puix ni tan sols les boles tancades lo són), pero demanant una condició afegida (a saber, que el conjunt de funcions siga equicontinuo), llavors sí que ho serà.

Vore també

• Localment compacte
• Soport compacte

• Número ordinal (teoria de conjunts)
• Número cardinal

Conjunt finito

Conjunt infinit

Conjunt numerable

Espai compacte

Conjunt no numerable

Hipòtesis del continu

Bibliografia

• .
• Munkres, James (2001). Topología, Pearson Educació. ISBN 9788420531809.
• “Mémoire sur els espaces topologiques compacts” (1929). Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen t'Amsterdam, Proceedings of the Section of Mathematical Sciences 14.
• (1990) General Topology I (vol. 17), Springer. ISBN 978-0-387-18178-3..
• Plantilla:Springer.
• Bolzano, Bernard (1817). Rein analytischer Beweis dones Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege, Wilhelm Engelmann. (Purely analytic proof of the theorem that between any two values which give results of opposite sign, there lies at least one real root of the equation).
• Borel, Émile (1895). “Sur quelques points de la théorie dones fonctions”. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure 12: 9–55. doi:10.24033/asens.406.
• Topologie générale. Chapitres 1 à 4, Berlin: Springer. doi:10.1007/978-3-540-33982-3. ISBN 978-3-540-33982-3.
• Boyer, Carl B. (1959). The history of the calculus and its conceptual development, New York: Dover Publications.
• (1991) A History of Mathematics, 2nd edició, John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-54397-8.
• Arzelà, Cessara (1895). “Sulle funzioni vaig donar linee”. Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat. 5 (5): 55–74.
• Arzelà, Cessara (1882–1883). “Un'osservazione intorno alle série vaig donar funzioni”. Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. dell'Istituto vaig donar Bologna: 142–159.
• Ascoli, G. (1883–1884). “Li curve limiti vaig donar una varietà data vaig donar curve”. Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 18 (3): 521–586.
• Fréchet, Maurice (1906). “Sur quelques points du calcul fonctionnel”. Rendiconti del Circolo Matematico vaig donar Palermo 22 (1): 1–72. doi:10.1007/BF03018603.
• (1976) Rings of continuous functions, Springer-Verlag.
• Kelley, John (1955). General topology (vol. 27), Springer-Verlag.
• (1990) Mathematical thought from ancient to modern claves, 3rd edició, Oxford University Press. ISBN 978-0-19-506136-9.

• Lebesgue, Henri (1904). Leçons sur l'intégration et la recherche dones fonctions primitives, Gauthier-Villars.
• (1996) Senar-standard analysis, Princeton University Press. ISBN 978-0-691-04490-3.
• “Products of nearly compact spaces” (1966). Transactions of the American Mathematical Society 124 (1): 131–147. doi:10.2307/1994440..
• (1995) Counterexamples in Topology, Dover Publications reprint of 1978 edició, Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3.
• Willard, Stephen (1970). General Topology, Dover publications. ISBN 0-486-43479-6.

Plantilla:Wikilibros incloent espais compactes.