Teorema de Arzelà-Ascoli

La teorema de Arzelà-Ascoli és una de les ferramentes més poderoses del anàlisis matemàtic per a decidir si un conjunt de funcions contínues reals definides en un interval compacte és compacte. D'esta manera, es pot entendre com una extensió del teorema de Heine-Borel. En efecte, la teorema de Heine-Borel afirma que tot subconjunt tancat i acotat de ${ℝ}^n$ és compacte. La teorema de Arzelà-Ascoli sorgix si nos preguntem si el resultat anàlec (¿tancat i acotat implica compacte?) és cert en espais de Banach reals (espais vectorials sobre $ℝ$ en una norma definida que els fa complets) ya no de dimensió finita (${ℝ}^n$) sino arbitrària.

L'eixemple més senzill d'un tal espai de Banach és el de les funcions contínues reals definides en un interval compacte, dotat de la norma del suprem. I és en este eixemple que la teorema de Arzelà-Ascoli nos dona la resposta: no, no tot conjunt tancat i acotat de funcions contínues serà compacte (puix ni tan sols les boles tancades lo són), pero demanant una condició afegida (a saber, que el conjunt de funcions siga equicontinuo), llavors sí que ho serà.

En concret, la teorema pren un conjunt de funcions reals contínues definides en un interval compacte i dona condicions necessàries i suficients per al conjunt per a poder assegurar que una successió qualsevol de funcions del conjunt tinga una subsucesión uniformemente convergent. Aixina, si ademés demanem que el conjunt siga tancat (per a que continga el llímit d'eixa subsucesión convergent), llavors tindrem que serà compacte. La condició principal que demana la teorema és que el conjunt de funcions siga equicontinuo.

La teorema de Arzelà-Ascoli és la base de molts atres resultats en matemàtiques, incloent el teorema d'existència de Peano en la teoria d'equacions diferencials ordinàries, el teorema de Montel en anàlisis complex, el teorema de Peter-Weyl en anàlisis harmònic i varis resultats sobre la compacidad d'operadors integrals.

Història

La noció de equicontinuidad va ser introduïda a finals de el XIX pels matemàtics italians Cessara Arzelà i Giulio Ascoli, d'els qui rep el nom la teorema. Una versió dèbil de la teorema va ser demostrada per Ascoli (1883–1884), que va donar la condició suficient per a la compacidad, i Arzelà (1895), que va demostrar la condició necessària i a qui es deu la primera presentació clara del resultat. Fréchet (1906) va demostrar una generalisació de la teorema a funcions reals contínues en domini compacte mètric Dunford (Schwartz). Formulació més modernes de la teorema permeten que el domini siga compacte Hausdorff i que l'espai d'arribada siga només mètric.

Definicions prèvies

A continuació es definixen les propietats d'un conjunt de funcions contínues sobre un interval tancat i acotat que juguen un paper en l'enunciat i la demostració de la teorema. Per a això, siga $ℱ\subseteq 𝒞(I,ℝ)$ un conjunt de funcions contínues d'un interval tancat i acotat $I=[a,b]$ a $ℝ$.

Diem que el conjunt $ℱ$ és puntualment acotat si, fixant qualsevol punt de l'interval, les funcions de $ℱ$ prenen en eixe punt un conjunt acotat de valors:

$\mathrm{\forall }x\in I\mathrm{\exists }{M}_x\in ℝ:|f(x)|\le M_x\mathrm{\forall }f\in ℱ$.

És dir, en cada punt hi ha una cota per als valors que prenen les funcions. Esta cota pot dependre del punt considerat de l'interval pero, una volta fixat est, no de les funcions. Si la cota no depén tampoc del punt de l'interval, diem que és una cota uniforme. És dir, $ℱ$ és uniformemente acotat si

$\mathrm{\exists }M\in ℝ:|f(x)|\le M\mathrm{\forall }x\in [a,b],\mathrm{\forall }f\in ℱ$.

Ara definim la condició clau de la teorema: la equicontinuidad. Direm que $ℱ$ és equicontinuo si

$\mathrm{\forall }x\in I\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0:|x-y|\le \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|\le \epsilon \mathrm{\forall }y\in I\mathrm{\forall }f\in ℱ$,

és dir, si en cada punt de l'interval totes les $f$ són contínues en un mateix $\delta$ (són "igual de contínues" en cada punt). És dir, $\delta$ pot dependre del punt $x$ de l'interval, pero no de la funció $f$ considerada. Si es pot prendre un mateix $\delta$ en qualsevol punt $x\in I$, direm que $ℱ$ és uniformemente equicontinuo:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0:|x-y|\le \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|\le \epsilon \mathrm{\forall }x,y\in I\mathrm{\forall }f\in ℱ$.

Alguns autors, com Rudin, definixen equicontinuo d'esta última manera, i no de la primera. Ací usarem la primera definició, pero podrem usar abdós condicions indistintament, ya que en cas que $I$ siga compacte (tancat i acotat) abdós definicions són equivalents, i en la teorema a demostrar sempre es consideren funcions definides en intervals d'eixe tipo.