Teorema de Peter-Weyl

La Teorema de Peter-Weyl és un resultat bàsic en la teoria del anàlisis harmònic, aplicat a grups topològics que són compactes, pero no necessàriament abelianos. Hermann Weyl, junt en el seu estudiant Peter, ho va provar en la configuració d'un grup compacte de Lie, G. La teorema generalisa els fets significantes sobre la descomposició de la representació regular d'un grup finito, com va ser descobert per F.G. Frobenius i Issai Schur.

Per a establir la Teorema, primer és necessària l'idea del Espai de Hilbert sobre $G$, $L^2(G)$; açò és raonable posat que la mida de Haar existix en $G$. Cridant este espai $H$, el grup $G$ té una representació unitària en $H$ actuant per la dreta o per l'esquerra. Açò implica una representació de $G\times G$ via

Esta representació es descompon en la suma de $\overline{r}\otimes r$ per cada representació finita irreducible de G a on $\overline{r}$ és la representació dual. Açò significa que hi ha una descripció de suma directa de $H$ en l'indicació de totes les classes (fins al isomorfisme) de representacions unitàries irreducibles de $G$.

Açò implica immediatament l'estructura de $H$ per a les representacions destra o esquerrera de $G$, que és la suma directa de cada $\rho$; tantes voltes com la seua dimensió (sempre finita).

Estructura de Grups Topològics Compactes

Des de la teorema, es pot deduir una Teorema Estructural General significatiu. Siga $G$ un grup topològic compacte, que s'assumix "Hausdorff". Per cada subespacio $V$ finito, dimensional i invariante en $G$ de $L^2(G)$, a on $G$ actua per l'esquerra, es pot considerar l'image de $G$ en $\mathrm{G}\mathrm{L}(V)$. És tancat, ya que $G$ és compacte, i el subgrup del grup de Lie $\mathrm{G}\mathrm{L}(V)$. Despuix, el Teorema de Cartan (d'Élie Cartan) que l'image de $G$ també és un grup de Lie.

Si ara es pren el llímit (en el sentit de la teoria de les categories) sobre tots els espais $V$, s'obté un resultat sobre $G$ - lloc que $G$ actua en $L^2(G)$. Es pot dir llavors que $G$ és un llímit invers d'un grup Lie. Des de després, pugues no necessàriament ser un grup de Lie: pot ser, per eixemple, un grup profinito.