Grup topològic

En matemàtiques, especialment en topología, un grup topològic (cridat també grup continu ) és una terna $(G,𝒯,\cdot )$ tal que:

• $(G,𝒯)$ és un espai topològic.
• $(G,\cdot )$ és un grup (no sempre abeliano).
• La funció $G\times G\to G$ que aplica $(x,y)\mapsto x\cdot y$ és contínua.
• La funció $G\to G$ que aplica $x\mapsto x^{-1}$ és contínua.

Les últimes dos condicions poden ser substituïdes per la següent condició equivalent: la funció $G\times G\to G$ que aplica $(x,y)\mapsto x\cdot y^{-1}$ és contínua.

Per mig d'entorns

• Si c i d són elements del conjunt G, per a tot entorn W de l'element cd existixen uns entorns O i V dels elements c i d tal que UV és part de W.
• Si c és un element del conjunt G, per a tot entorn W de l'element $c^{-1}$ existix un entorn O de l'element c tal que $U^{-1}$ és part de W.

• Si c i d són elements del conjunt G, per a tot entorn W de l'element $c{d}^{-1}$ existixen uns entorns O i V dels elements c i d tal que $U{V}^{-1}$ és part de W.

Tipos de grups continus

Un subtipo important de grups topològics són els cridats grups de Lie (note's que, encara que tot grup de Lie és un grup topològic, existixen grups topològics que no són grups de Lie).

És comú requerir que la topología sobre G siga T₀, ya que tot grup topològic T₀ és també regular.

Molts dels objectes que investiga l'anàlisis matemàtic són grups topològics (usualment en estructura afegida), per eixemple, el conjunt dels reals, en l'adició que és contínua Cada grup pot ser convertit trivialment en un grup topològic considerant-ho en la topología discreta. En este sentit, la teoria dels grups topològics subsume a la dels grups ordinaris.

Vore també

• Grup de Lie