Teoria de grups

Archiu:Cayley graph of caps block 0 .svg

Grafo de Cayley del grup lliure de ranc dos.

En àlgebra abstracta, la teoria de grups estudia un dels tipos d'estructures algebraiques més simples, conegut com grup, que és un conjunt no buit dotat d'una sola operació interna.

La teoria de grups s'ocupa, entre atres aspectes, de la classificació dels grups, l'estudi de les seues propietats i de les seues aplicacions tant dins com fòra de les matemàtiques. Varis sistemes físics, com els cristals i l'àtom d'hidrogen, aixina com tres de les quatre forces fonamentals conegudes de l'univers, poden modelar-se per mig de grups de simetria. Aixina, la teoria de grups i la teoria de la representació, estretament relacionada en ella, tenen moltes aplicacions importants en física, química i en la ciència dels materials. També és fonamental per a la criptografia de clau pública.

La història de la teoria de grups es remonta a el XIX. Un dels guanys matemàtics més importants de el XX va ser la classificació de grups simples finitos, un esforç de colaboració entre més de 100 autors, publicat en la seua major part entre 1960 i 2004 a lo llarc de més de 10 000 pàgines.

Història

Les raïls històriques de la teoria de grups són la teoria de les equacions algebraiques, la teoria de números i la geometria. Euler, Gauss, Lagrange, Abel i Galois varen ser els creadors que posen els fonaments d'esta branca de l'àlgebra abstracta. Galois és reconegut com el primer matemàtic que va relacionar esta teoria en la teoria de cossos, de lo que va sorgir la teoria de Galois. Ademés, va usar la denominació de grup o " va inventar el terme [...]" segons E.T.Bell. Atres importants matemàtics que contribuïxen són Cayley, Emil Artin, Emmy Noether, Ludwig Sylow, A.G. Kurosch, Iwasawa entre molts uns atres. Va ser Walter Dick qui en 1882, va donar la moderna definició de grup i va ser "el primer en definir el grup lliure engendrat per un número finito de generadors", segons Nicolás Bourbaki. A fins de el XIX, Frobenius va definir la noció de grup abstracte en un sistema de axioma.

Els primers resultats sobre grups de permutació varen ser obtinguts per Lagrange, Ruffini, i Abel en la seua busca de solucions generals d'equacions polinòmiques d'alt grau. Évariste Galois va falcar el terme "grup" i va establir una conexió, ara coneguda com teoria de Galois, entre la naixent teoria de grups i teoria de camps. En geometria, els grups varen adquirir importància en geometria proyectiva i, més vesprada, en geometria no euclidiana. El programa de Erlangen de Felix Klein va proclamar la teoria de grups com a principi organisador de la geometria.

Galois, en la década de 1830, va anar el primer en amprar grups per a determinar la resolubilidad d'equacions polinòmiques. Arthur Cayley i Augustin Louis Cauchy varen impulsar estes investigacions creant la teoria dels grups de permutació. La segona font històrica dels grups prové de situacions geomètriques. En un intent d'abordar possibles geometria (com l'euclídea, la hiperbòlica o la geometria proyectiva) utilisant la teoria de grups, Felix Klein va iniciar el programa de Erlangen. Sophus Lie, en 1884, va escomençar a utilisar grups, ara cridats grups de Lie, vinculats a problemes d' analítica. En tercer lloc, els grups es varen utilisar, primer implícita i més vesprada explícitament, en teoria algebraica de números.

El diferent alcanç d'estes primeres fonts va donar lloc a diferents nocions de grups. La teoria de grups es va unificar al voltant de 1880. Des de llavors, l'impacte de la teoria de grups ha segut cada volta major, donant lloc al naiximent del àlgebra abstracta a principis de el XX, la teoria de la representació, i molts més dominis derivats influents. La classificació de grups simples finitos és un vast treball de mitan de el XX, que classifica tots els finito grup simple.

Definició de grup

Artícul principal → Grup (matemàtica).

Un grup $(G,\circ )$ és un conjunt $G$ en el que s'ha definit una operació binaria interna $\circ$, que satisfà els següents axiomas:

1. Asociatividad: $\mathrm{\forall }a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
2. Element neutre: $\mathrm{\exists }e\in G:e\circ a=a\circ e=a$
3. Element simètric: $\mathrm{\forall }a\in G\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$

L'operació binaria del grup, també denominada llei de composició interna, especifica cóm compondre dos elements per a obtindre un tercer. També es pot considerar la inversió com una operació unaria que a cada element $g$ li fa correspondre el seu element invers $g^{-1}$.

Es diu que un grup és abeliano o conmutativo quan verifica ademés la propietat conmutativa:

$a\circ b=b\circ a\mathrm{\forall }a,b\in G$

Notació

Es parla de notació aditiva quan es representa la llei de composició interna com "$a+b$", i l'element neutre com "0". Per un atre costat, la notació multiplicativa és aquella en la que la llei de composició interna es representa com "$a\cdot b$", o "$ab$", i l'element neutre com "1" o "i".

Eixemples

• $(\mathbb{Z},+)$, el conjunt de número entero en la suma usual, és un grup abeliano; a on l'element neutre és el 0, i el simètric de x, és -x.
• $(ℝ,+)$, el conjunt dels número real en la suma usual, és un grup abeliano; a on l'element neutre és el 0, i el simètric de x, és -x.
• $(\mathbb{Z}\setminus \{0\},\cdot )$, el conjunt dels número entero (excloent al 0) en la multiplicació, no és un grup; ya que l'element simètric de x és 1/x, i dit 1/x pertany al conjunt de racionals, no al dels sancers (para tot x distint d'1 i de -1). Note's que al no tindre el zero element simètric multiplicativo, li'l deu excloure.
• El conjunt de totes les biyecciones d'un conjunt X - simbolisat per S(X) - junt en la composició de funcions, és un grup (no abeliano si la cardinalidad de X és major que dos) que es diu grup simètric de X.
• El conjunt de matrius rectangulars de dimensions $n\times m$ en la suma, és un grup abeliano.
• El conjunt de matrius quadrades d'orde $n$ i determinant diferent de zero en la multiplicació (Grup general llineal), no és abeliano.
• Les classes d'homotopía de trayectòries tancades contínues $S^1\to X$ en base en un punt determinat, en un espai topològic X, formen un grup no necessàriament abeliano. Esta construcció és el grup fonamental de X.

• • El grup fonamental d'una circumferència ( $S^1$) és el grup cíclico infinit; $\mathbb{Z}$.
  • El de l'esfera $S^2$ és trivial = 0, i lo mateix per a les n-esferas de dimensions superiors.
  • El d'un bou ( $S^1\times S^1$) és la suma directa $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$.
  • El d'un bou en un disc eliminat és el grup lliure d'orde dos, $F_2$., el d'un bou en dos discs disjuntos eliminats és $F_3$...
  • El del pla proyectivo és ${\mathbb{Z}}_2$.
  • El de la botella de Klein té la presentació; $⟨a,b:aba=b⟩$ i correspon al producte semidirecto de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Z}$.

Morfismos entre grups

Artícul principal → Homomorfisme de grups.

Entre dos grups G, H pot haver morfismos, i.i. funcions que són compatibles en les operacions en cada u d'ells. Es diu que una aplicació $\varphi :G\to H$ és un homomorfisme (de grups) si para tot parell d'elements $a$ i $b$ de $G$ es verifica

$\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)$

a on s'ha utilisat la convenció d'escriure $ab$ per a indicar l'operació de a en b en G, i $\varphi (a)\varphi (b)$ l'operació de $\varphi (a)$ en $\varphi (b)$ en H.

Un homomorfisme de grups biyectivo es denomina isomorfisme. Quan existix un isomorfisme entre dos grups, es diu que estos són isomorfos, en el cas dels quals la seua estructura és idèntica, i solament es diferencien entre sí pels símbols utilisats per a denotar els elements i l'operació.

Categoria de grups

Artícul principal → Categoria de grups.

Des del punt de vista de la teoria de categories, els grups són els objectes, i els homomorfismes de grups són els morfismos de la categoria de grups (Grp).

La categoria de grups és molt gran, pero pot armar-se una relació d'equivalència en esta categoria per a que es factorice: la relació entre grups de ser isomorfos reduïx qüestions estructurals de la categoria de grups a la categoria de grups-mòdul-els-isomorfos. En esta reducció l'operació d'unió disjunta la convertix en una categoria monoidal.^{cita requerida}

Principals classes de grups

l'orde d'un grup és la cardinalidad del conjunt subjacent. En funció de la seua orde, els grups poden classificar-se com a grups finitos o infinits.

La gama de grups considerats s'ha ampliat gradualment des de grups de permutació finitas i eixemples especials de grup matricial fins a grups abstractes que poden especificar-se per mig d'una presentació per generadors i relacions.

Grups de permutació

La primera classe de grups que va ser objecte d'un estudi sistemàtic varen ser els grups de permutació. Donat qualsevol conjunt X i una colecció G de biyecciones de X en sí mateixa (conegudes com a permutació) que és tancada baix composicions i inverses, G és un grup que actua sobre X. Si X consta de n elements i G consta de totes les permutació, G és el grup simètric S_n; en general, qualsevol grup de permutació G és un subgrup del grup simètric de X. Una construcció primerenca deguda a Cayley va exhibir qualsevol grup com un grup de permutació, actuant sobre sí mateixa (X = G) per mig de la representació regular esquerra.

En molts casos, l'estructura d'un grup de permutació pot estudiar-se utilisant les propietats de la seua acció sobre el conjunt corresponent. Per eixemple, d'esta forma es demostra que para n ≥ 5, el grup alternante A_n és simple, és dir, no admet cap subgrup normals propi. Este fet juga un paper clau en el impossibilitat de resoldre una equació algebraica general de grau n ≥ 5 en radicals.

Grups matriciales

La següent classe important de grups ve donada pels grups matriciales, o grups llineals. Ací G és un conjunt format per matrius invertibles d'orde n donat sobre un camp K que és tancat baix els productes i inversos. Tal grup actua sobre l'espai vectorial n-dimensional Kⁿ per transformació llineal. Esta acció fa que els grups matriciales siguen conceptualment similars als grups de permutació, i la geometria de l'acció pot ser útilmente explotada per a establir propietats del grup G.

Grups abstractes

La majoria dels grups considerats en la primera etapa del desenroll de la teoria de grups eren "concrets", ya que es realisaven per mig de números, permutació o matrius. No va ser fins a finals de el XIX que l'idea d'un grup abstracte va escomençar a prendre força, a on abstracte significa que la naturalea dels elements s'ignora de tal manera que dos grups isomorfos es consideren com el mateix grup. Una forma típica d'especificar un grup abstracte és per mig d'una presentació per generadors i relacions,

$G=⟨S|R⟩.$

Grups en estructura adicional

Una elaboració important del concepte de grup es produïx si G està dotat d'estructura adicional, en particular, d'un espai topològic, múltiple diferenciable, o varietat algebraica. Si les operacions de grup m (multiplicació) i i (inversió),

$m:G\times G\to G,(g,h)\mapsto gh,i:G\to G,g\mapsto g^{-1},$

són compatibles en esta estructura, és dir, són continu, suau o regular (en el sentit de la geometria algebraica) mapes, llavors G és un grup topològic, un grup de Lie, o un grup algebraic.

Teoria geomètrica dels grups

Els més actuals temes d'investigació en la teoria de grups tenen que vore en les modernes tècniques de la topología. Una manera estàndar de construir nous grups a partir dels coneguts són els

• productes lliures i productes lliures amalgamados.
• HNN-extensions.

La gran varietat de tècniques topològiques poden ser aplicades des de que se sap que és possible construir sempre un espai topològic (de fet un CW-complex dos-dimensional) de tal manera que el grup fonamental d'este espai siga el grup donat.

Vore també

• Grup.
• Representació de grup.
• Subgrup.
• Àlgebra abstracta.
• Teoria geomètrica de grups.
• Grup simètric afí.

Bibliografia

• Murphy-Hernández, Frank i García, Jaime. Notes d'Àlgebra Moderna 1.
• (1991).«Linear algebraic groups».Springer-Verlag.Berlin, New York:126
• (2009).«Visual group theory».Mathematical Association of America.

• (1969).«Computers in group theory: A survey».Communications of the ACM.12

3–12.doi:10.1145/362835.362837.

• (1939).«Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe».Compositio Mathematica.6

239–50.ISSN 0010-437X.

• (2006).«Nonlinear dynamics of networks: the groupoid formalism».Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.).43(3)

305–364.doi:10.1090/S0273-0979-06-01108-6. Shows the advantage of generalising from group to groupoid.

• (1997).«Abstract Algebra: Theory and Applications». An introductory undergraduate text in the spirit of texts by Gallian or Herstein, covering groups, rings, integral domains, fields and Galois theory. Free downloadable PDF with open-source GFDL license.
• (1986).«The evolution of group theory: a brief survey».Mathematics Magazine.59(4)

195–215.ISSN 0025-570X.doi:10.2307/2690312.

• (2000).«Topics in geometric group theory».University of Chicago Press.
• Livio, M.(2005).«The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry».Simon & Schuster. Conveys the practical value of group theory by explaining how it points to symmetries in physics and other sciences.
• (1970).«Abelian varieties».Oxford University Press.
• Ronan M., 2006. Symmetry and the Monster. Oxford University Press. ISBN 0-19-280722-6. For lay readers. Descrius the quest to find the basic building blocks for finite groups.
• Rotman, Joseph(1994).«An introduction to the theory of groups».Springer-Verlag.New York: A standard contemporary reference.
• (2001).«Combinatorial group theory».Springer-Verlag.Berlin, New York:
• Scott, W. R.(1987).«Group Theory».Dover.New York: Inexpensive and fairly readable, but somewhat dated in emphasis, style, and notation.
• (1972).«Profinite groups, arithmetic, and geometry».Princeton University Press.

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Teoria de grups.
• Referència global en Encyclopaedia of Mathematics