Évariste Galois

Évariste Galois

Évariste Galois (Bourg-la-Regne, 25 d'octubre de 1811-París, 31 de maig de 1832) va ser un matemàtic i revolucionari francés. Mentres encara era un adolescent, va ser capaç de determinar la condició necessària i suficient per a que una equació algebraica siga resolta per radicals. Va donar solució a un problema obert per mig del nou concepte de grup de #permutació. El seu treball va oferir les bases fonamentals per a la teoria que du el seu nom, una branca principal del àlgebra abstracta. Va ser el primer en utilisar el terme «grup» en un context matemàtic.

La teoria de Galois constituïx una de les bases matemàtiques de la modulació CDMA utilisada en comunicacions i, especialment, en els sistemes de navegació per satèlit, com GPS, GLONASS i uns atres.^{cita requerida}

Biografia

Évariste Galois va nàixer en Bourg-la-Regne, una ciutat a les afores de París. El seu pare va ser Nicolas-Gabriel Galois, director de l'escola de la localitat que aplegaria a ser elegit alcalde de la comuna al front del partit lliberal, partidari de Napoleón. La seua mare, Adelaide-Marie, era una persona d'indubtables qualitats intelectuals, filla d'una família d'advocats molt influent de París.

Fins als dotze anys, Évariste va ser educat per la seua mare, junt en la seua germana major Nathalie-Théodore, conseguint una sòlida formació en llatí i grec, aixina com en els clàssics. Era un chicon molt inteligent, pero encara que molts consideren que va ser un chiquet prodigi de les matemàtiques, no és provable que durant la seua educació més primerenca el jove tinguera una profunda exposició a les matemàtiques (aparte de l'aritmètica elemental) i tampoc es té notícia de que s'hagueren donat casos de talent matemàtic especial en la seua família.

La seua educació acadèmica va escomençar a l'edat de 12 anys quan va ingressar en el liceu real Louis-li-Grand, de París, a on havien estudiat Robespierre i Víctor Hugo. Allí va tindre els seus primers escarceos de tenyides polítiques (un enfrontament en el director de l'internat) que es varen saldar en l'expulsió de varis alumnes, entre els quals ell no estava, pero que varen forjar una incipient rebelia cap a l'autoritat (especialment un ideari antieclesiástico i antimonárquico que va mantindre fins a la seua mort). Durant els dos primers anys en el liceu Louis-li-Grand, Galois va tindre un rendiment normal i inclús va aplegar a guanyar alguns premis en grec i llatí. Pero en tercer, el seu treball de retòrica va ser reprovat i va tindre que repetir curs. Va ser llavors quan Galois va entrar en contacte en les matemàtiques: tenia llavors 15 anys. Despuix d'entrar en les matemàtiques, va tindre interés en la geografia.

El programa de matemàtiques del liceu no diferia molt del restant; no obstant, Galois va trobar en ell el plaer intelectual que li faltava. El curs impartit per Ms. Vernier va despertar el geni matemàtic de Galois. Despuix d'assimilar sense esforç el text oficial de l'escola i els manuals a l'us, Galois va escomençar en els texts més alvançats d'aquella época: va estudiar la geometria de Legendre i l'àlgebra de Lagrange. Galois va profundisar considerablement en l'estudi de l'àlgebra, una matèria que llavors encara tenia molts estanys i qüestions obscures. I aixina va aplegar a conéixer la cantitat de problemes sense resoldre que tancava aquella disciplina. Problemes que varen passar a ocupar la major part del seu temps d'estudi. Va escomençar a descuidar les atres matèries, atraent hostilitat dels professors d'humanitats. Inclús Vernier li va sugerir la necessitat de treballar més en atres disciplines distintes.

No obstant, Galois tenia una idea clara: volia ser matemàtic i volia entrar en l'École polytechnique. Aixina, va decidir presentar-se en un any d'antelació (1828) a l'examen d'accés. En carir de la formació fonamental en diversos aspectes i sense haver rebut el curs habitual preparatori de matemàtiques, Évariste va ser rebujat. Galois no va acceptar este rebuig inicial, i això va aumentar la seua rebelia i la seua oposició a l'autoritat. No obstant, va continuar progressant ràpidament en l'estudi de les matemàtiques durant el segon curs impartit en el liceu Louis-li-Grand, en este cas per Ms. Richard, qui va saber vore les qualitats del jove i va solicitar que fora admés en la École polytechnique. Encara que la solicitut de Richard no va ser atesa, la dedicació i l'impuls que Galois va rebre del seu professor va tindre resultats notables.

Sent encara estudiant del Louis-li-Grand, Galois va conseguir publicar el seu primer treball (una demostració d'una teorema sobre fraccions contínues periòdiques) i poc despuix va donar en la clau per a resoldre un problema que havia tingut en sus als matemàtics durant més d'un sigle (les condicions de resolució d'equacions polinòmiques per radicals). No obstant, els seus alvanços més notables varen ser els relacionats en el desenroll d'una teoria nova les aplicacions de la qual desbordaven en molt els llímits de les equacions algebraiques: la teoria de grups.

El destí no li anava a deparar molts més èxits. Pocs dies abans de presentar-se al segon (i definitiu) examen d'accés a la École polytechnique, el pare de Évariste es llevava la vida. En este context, Galois es va presentar i, en les seues habituals maneres rebels i el seu despreci per l'autoritat, es va negar a seguir les indicacions dels examinadors en refusar justificar els seus enunciats. I, naturalment, va ser rebujat definitivament.

Veent-se obligat a considerar la llavors menys prestigiosa École normale, Galois es va presentar els exàmens de bachillerat (necessari per a ser admés), i esta volta va ser aprovat gràcies a la seua excepcional calificació en matemàtiques. Galois va ser admés en la École normale més o menys al mateix temps que els seus revolucionaris treballs sobre teoria de grups eren evaluats per l'Acadèmia de Ciències. No obstant, els seus artículs mai varen aplegar a ser publicats en vida de Galois. Inicialment li'l va enviar a Cauchy, qui ho va rebujar perque el seu treball tenia punts en comú en un recent artícul publicat per Abel. Galois ho va revisar i li'l va tornar a remetre, i en esta ocasió, Cauchy ho va remetre a l'acadèmia per a la seua consideració; pero Fourier, el secretari vitalici de la mateixa i l'encarregat de la seua publicació, va morir poc despuix de rebre-ho i la memòria es traspapeló. El premi va ser otorgat ex æquo a Abel i a Jacobi, i Évariste va acusar a l'acadèmia d'una farsa per a desacreditar-li.

A pesar de la pèrdua de la memòria enviada a Fourier, Galois va publicar tres artículs aquell mateix any en el Bulletin dones sciences mathématiques, astronomiques, physiques et chimiques del Baró de Férussac. Estos treballs presenten els fonaments de la teoria de Galois i, encara que es tractava d'un treball inconcluso, proven sense lloc a dubtes que el jove havia aplegat més llunt que cap atre matemàtic en el camp de l'àlgebra relacionat en la resolució d'equacions polinòmiques.

Per a llavors, la vida de Galois escomençava a estar teñir d'una marcada tenyida política. En juliol de 1830, els republicans es varen alçar i varen obligar a exiliar-se al rei Carlos X. No obstant, el triumfo dels republicans, entre els que es trobava el jove Galois, va ser esclafat per l'arribada al tro d'un nou rei: Luis Felipe d'Orleans. Galois va participar activament en les manifestacions i societats republicanes. Va ser expulsat per això de la École normale. En la primavera de 1831, en a penes 19 anys, Galois va ser detingut i encarcerat durant més d'un més, acusat de sedició, despuix d'un desafiant brindis en nom del rei. Inicialment va ser absolt, pero va tornar a ser arrestat per una atra actitut sediciosa en juliol, i esta segona volta va passar huit mesos en presó.

Durant aquell any de 1831, Galois per fi havia redonejat les qüestions pendents en el seu treball i ho havia somés a la consideració de Poisson, qui li va recomanar que ho presentara de nou a l'Acadèmia. Més vesprada, aquell mateix any, el propi Poisson va recomanar a l'Acadèmia que rebujara el seu treball en l'indicació de que «les seues argumentacions no estaven ni lo suficientment clares ni suficientment desenrollades per a permetre'ls jujar el seu rigor». El propi Poisson, a pesar del seu enorme prestigi matemàtic i dels seus esforços, no va aplegar a comprendre els resultats que li presentava aquella memòria. Galois va rebre la carta de rebuig en presó.

Un més abans de la seua mort, el 29 d'abril de 1832, Galois va ser lliberat del seu encarcerament. Els detalls que varen conduir al seu duel (supostament a causa d'un embroll de faldes) no estan clars. Lo que queda per a l'història és la nit anterior a l'event. Évariste Galois estava tan convençut de la inminencia de la seua mort que va passar tota la nit escrivint cartes als seus amics republicans i component lo que es convertiria en el seu testament matemàtic. En estos últims papers, va descriure someramente les implicacions del treball que havia desenrollat en detalle i va anotar una còpia del manuscrit que havia remés a l'acadèmia junt en atres artículs.

El 30 de maig de 1832, a primera hora del matí, Galois va perdre un duel de pistoles contra el campeó d'esgrima de l'eixèrcit francés, i va fallir al sendemà a les dèu del matí (provablement de peritonitis), en el hospital Cochin. Les seues últimes paraules al seu germà Alfredo varen ser: «¡No plores! Necessite tot el meu corage per a morir als vint anys».

Les contribucions matemàtiques de Galois es varen publicar finalment en 1843, quan Joseph Liouville va revisar els seus manuscrits. Est va declarar que aquell jove, en veritat, havia resolt el problema d'Abel per atres mijos que suponien una verdadera revolució en la teoria de les matemàtiques empleades. El manuscrit va aparéixer en el número d'octubre de 1846 del Journal dones mathématiques pures et appliquées.

En memòria seua, se celebra en Argentina, el 31 de maig, el Dia del Matemàtic.

Contribucions

Última pàgina de la carta de Galois al seu amic Auguste Chevalier, datada el 29 de maig de 1832, dos dies abans de la mort de Galois:

Demostrarem llavors que sempre podem transformar una integral donada en una atra en la que un periodo de la primera es dividix per l'número primo p, i els atres 2n-1 permaneixen iguals.Quedarà puix per comparar només integrals en les que els periodos siguen iguals en abdós costats, i tals per tant que n térmens de l'una s'expressen sense una atra equació que una de grau n, per mig dels de l'atra, i viceversa. Ací no sabem res.

Vosté sap, el meu volgut Augusto, que estos no són els únics temes que he estat explorant. Des de fa algun temps, les meues principals meditacions es dirigixen a l'aplicació de la teoria de l'ambigüitat a l'anàlisis transcendental. Es tractava de vore a priori en una relació entre cantitats o funcions transcendentals quines intercanvis podien fer-se, quines cantitats podien substituir a les cantitats donades sense que la relació deixara d'existir. Açò fa reconéixer immediatament l'impossibilitat de moltes expressions que es podrien buscar. Pero no tinc temps i les meues idees encara no estan ben desenrollades en este immens camp.

Vosté farà imprimir esta carta en la Revue encyclopédique.

A sovint m'he aventurat en la meua vida a presentar propostes de les que no estava segur. Pero tot lo que he escrit ací ha estat en el meu cap durant casi un any, i m'interessa massa no equivocar-me per a que algú sospite que he enunciat teoremes dels que no tinc una demostració completa.

Demanaré públicament a Jacobi o a Gauss que donen la seua opinió, no sobre la veritat, sino sobre l'importància de les teoremes.

Despuix hi haurà, espere, gent a la que li resulte profitós dessifrar tot este embrollo.

Vos abrace efusivament.

I. Galois 29 de maig de 1832

Àlgebra

Mentres que molts matemàtics abans de Galois varen considerar lo que ara es coneixen com grups, va ser Galois el primer en usar la paraula "grup" (en francés "groupe") en un sentit propenc al sentit tècnic que s'entén hui en dia, lo que ho convertix en un dels fundadors de la branca de l'àlgebra coneguda com teoria de grups. Ell va cridar a la descomposició d'un grup en els seus cosetes esquerre i dret una "descomposició pròpia" si els cosetes esquerre i dret coincidixen, lo que hui es coneix com un subgrup normal. També va introduir el concepte d'un camp finito (també conegut com un camp de Galois en el seu honor) en essència en la mateixa forma en que s'entén hui.

En la seua última carta a Chevalier i els manuscrits adjunts, el segon de tres, va realisar estudis bàsics sobre grups llineals sobre camps finitos:

Va construir el grup llineal general sobre un camp primer, GL(ν, p), i va calcular la seua orde, en estudiar el grup de Galois de l'equació general de grau p^ν. Va construir el grup llineal especial proyectivo PSL(2,p). Galois els va construir com a transformacions llineals fraccionarias i va observar que eren simples excepto si p era 2 o 3. Estos varen ser la segona família de grups simples finitos, despuix dels grups alternantes. Va senyalar el fet excepcional de que PSL(2,p) és simple i actua sobre p punts si i solament si p és 5, 7 o 11.

Teoria de Galois

Artícul principal → Teoria de Galois.

La contribució més significativa de Galois a les matemàtiques és el seu desenroll de la teoria de Galois. Es va donar conte de que la solució algebraica d'una equació polinomi està relacionada en l'estructura d'un grup de #permutació associat en les raïls del polinomi, el grup de Galois del polinomi. Va descobrir que una equació es pot resoldre en raïls si es pot trobar una série de subgrups del seu grup de Galois, cada u d'ells normal en el seu successor en un cocient soluble abeliano, és dir, el seu grup de Galois és soluble. Açò va resultar ser un enfocament fecundo, que matemàtics posteriors varen adaptar a molts atres camps de les matemàtiques ademés de la teoria d'equacions a la que Galois la va aplicar originalment.

Anàlisis

Galois també va fer algunes contribucions a la teoria d'integral abelianas i fracció contínuas.

Com es va escriure en la seua última carta, Galois va passar de l'estudi de les funcions elíptiques a la consideració de les integrals de les diferencials algebraiques més generals, hui cridades integrals abelianas. Va classificar estes integrals en tres categories.

Fraccions contínues

En el seu primer artícul en 1828, Galois va demostrar que la fracció contínua regular que representa una raïl quadrada quadràtica ζ és purament periòdica si i solament si ζ és una raïl reduïda, és dir, $\zeta >1$ i la seua conjugat $\eta$ satisfà $-1<\eta <0$.

De fet, Galois va demostrar alguna cosa més que açò. També va demostrar que si ζ és una raïl quadrada reduïda i η és el seu conjugat, llavors les fraccions contínues para ζ i para (−1/η) són abdós purament periòdiques, i el bloc repetit en una d'eixes fraccions contínues és l'image especular del bloc repetit en l'atra. En símbols tenim

$\begin{array}{cc}\zeta & =[\overline{a_0;a_1,a_2,\dots ,a_{m-1}}]\\ \frac{-1}{\eta }& =[\overline{a_{m-1};a_{m-2},a_{m-3},\dots ,a_0}]\end{array}$

a on ζ és qualsevol raïl quadrada reduïda, i η és el seu conjugat.

A partir d'estes dos teoremes de Galois es pot deduir un resultat ya conegut per Lagrange. Si r > 1 és un número racional que no és un quadrat perfecte, llavors

$\sqrt{r}=[,a_0;\overline{a_1,a_2,\dots ,a_2,a_1,2a_0},].$

En particular, si n és qualsevol sancer positiu que no és un quadrat, l'expansió de fracció contínua regular de √n conté un bloc repetit de llongitut m, en el qual els primers m − 1 denominadors parcials formen una cadena palindrómica.

Eponimia

• El cràter llunar Galois du este nom en la seua memòria.

Bibliografia

• (Novela biogràfica sobre la vida de Évariste Galois)
• Edició especial: Grans matemàtics.

Enllaços externs

Évariste Galois en Viquidites. Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Évariste Galois.
• Biografia de Évariste Galois.
• Archivat el 3 de juliol de 2012 archivat en Wayback Machine.
• The Galois Archive (biografia, cartes i texts en vàries llengües)
• Genius and Biographers: The Fictionalization of Evariste Galois, per Tony Rothman (anglés)
• Biografia (francés)