Grup llineal general

En matemàtiques, el grup llineal general (GL) d'un espai vectorial $E$, denotat com $\text{GL}(E)$, és el grup format per tots els isomorfismes d'eixe espai en sí mateixa.

Quan l'espai vectorial és $E={𝔽}^n$ sent $𝔽$ un cos F (tal com $ℝ$ o $ℂ$), s'escriu $\text{GL}(n,𝔽)$ (en lloc de $\text{GL}({𝔽}^n)$) i es diu grup llineal general de grau n sobre el cos. Este últim grup pot ser pensat com el grup de matrius invertibles n per n en les entrades en $𝔽$, en l'operació de grup donada per la multiplicació de matrius. (açò és certament un grup perque el producte de dos matrius invertibles és una atra volta invertible, de la mateixa manera que l'inversa d'una invertible.) Si el cos és clar per context escrivim a voltes $\text{GL}(n)$, o ${\text{GL}}_n$.

El grup llineal especial (SL), escrit $\text{SL}(n,𝔽)$ o $\text{SL}(n)$, és el subgrup de $\text{GL}(n,𝔽)$ de les matrius en determinant 1.

Es definixen el grup especial llineal proyectivo $\text{PSL}(n)$ i el grup general llineal proyectivo $\text{PGL}(n)$ com els cocients de $\text{SL}(n)$ i $\text{GL}(n)$ pels seus grups normals $\text{Z(SL(n))}$ i $\text{Z(GL(n))}$ respectivament, a on l'últim és el grup de matrius escalares no nules.

El grup $\text{GL}(n,𝔽)$ i els seus subgrups es diuen a sovint grups llineals o grups matriciales. Estos grups són importants en la teoria de les representacions de grup, i també es presenten en l'estudi de simetrias espacials i de simetria dels espais vectorials en general, aixina com l'estudi dels polinomis.

Si n ≥ 2, el grup $\text{GL}(n,𝔽)$ no és grup abeliano.

Grup llineal general d'un espai vectorial

Si $V$ és un espai vectorial sobre el cos $𝔽$, llavors escrivim $\text{GL}(V)$ o $\text{Aut}(V)$ per al grup de tots els automorfismes de $V$, és dir el conjunt de totes les transformacions llineals biyectivas V → V, junt en la composició funcional com a operació de grup. Si la dimensió de V és n, llavors $\text{GL}(V)$ i $\text{GL}(n,𝔽)$ són isomorfos. L'isomorfisme no és canònic; depén d'una elecció d'una base en V. Una volta que s'haja elegit una base, cada automorfisme de V es pot representar com una matriu invertible n per n, que establix l'isomorfisme.

Grup llineal de l'espai euclídeo

Si considerem l'espai euclídeo n-dimensional o ${ℝ}^n$ com a espai vectorial el seu grup llineal estarà representat per totes les aplicacions llineals que admeten inversa. Si triem una base qualsevol per a eixe espai vectorial, cada aplicació llineal podria expressar-se per mig d'una matriu. Llavors el grup llineal vindrà representat pel conjunt de totes les matrius que representen aplicacions llineals que admeten inversa, i per tant, per matrius que el seu determinant és diferent de zero (ya que l'àlgebra llineal establix que una aplicació llineal invertible ve representada en una base per una matriu de determinant diferent de zero).

Pot demostrar-se que el grup llineal sobre un espai euclídeo n-dimensional pot considerar-se com una varietat diferenciable dins de ${ℝ}^{n^2}$ per lo que la dimensió d'este grup de Lie com varietat diferenciable és n².

Grup llineal d'un espai normado

En un espai vectorial normado I el grup llineal GL(I) pot ser dotat d'una topología induïda, i resulta ser un conjunt obert dins del conjunt d'aplicacions llineals o morfismos de l'espai vectorial I.

Grups llineals reals (GL(n,R)) i els complexos (GL(n,C))

Si el cos $𝔽$ és $ℝ$ (els número real) o $ℂ$ (els número complejo), llavors $GL(n)$ és un grup de Lie real o complex de dimensió real o complexa n². La raó és com seguix: $GL(n)$ pot representar-se per matrius en determinant diferent de zero, el determinant és una funció (inclús un polinomi) continu, i per lo tant $GL(n)$ és un subconjunt obert no buit de la varietat de totes les matrius n per n, que té dimensió n².

l'àlgebra de Lie que correspon a $GL(n)$, designada freqüentment com $𝔤𝔩(n)$, consistix en totes les matrius n × n sobre $𝔽$, en el commutador com el corchete de Lie.

Mentres que $GL(n,ℂ)$ és conexo, $GL(n,ℝ)$ té dos components conexas: les matrius en determinant positiu i les de determinant negatiu. Les matrius reals n per n en determinant positiu formen un subgrup de el $GL(n,ℝ)$ denotat per $G{L}^{+}(n,ℝ)$. Este és també un grup de Lie de dimensió real n² i té la mateixa àlgebra de Lie que $GL(n,ℝ)$. $G{L}^{+}(n,ℝ)$ és conexo.

Ni $GL(n,ℂ)$ ni $G{L}^{+}(n,ℝ)$ són simplement conexos (llevat, en el cas real, quan n = 1). La varietat del grup $GL(n,ℂ)$ té un grup fonamental isomorfo a $\mathbb{Z}$ mentres que $G{L}^{+}(n,ℝ)$ té un grup fonamental isomorfo a $\mathbb{Z}$ per a n = 2 i a ${\mathbb{Z}}_2$ per a n > 2.