Representació de grup

Archiu:Hexagon Reflections.png

Una representació d'un grup "actua" sobre un objecte. Un eixemple senzill és cóm les simetria d'un polígon regular, consistents en reflexions i rotacions, transformen el polígon.

En l'estudi dels grups en àlgebra, una representació de grup és una "descripció" d'un grup com a grup concret de transformacions (o grup d'automorfismes) d'un cert objecte matemàtic. Més formalment, la "descripció" significa que hi ha un homomorfisme del grup a un cert grup d'automorfismes. Una representació fidel és una en la qual este homomorfisme és inyectivo.

En el camp matemàtic de la teoria de representacions, les representacions de grup descriuen grups abstractes en térmens de transformacions llineals biyectivas d'espais vectorials sobre sí mateixos (és dir, automorfismes d'espais vectorials). En particular, poden utilisar-se per a representar elements de grup com matrius invertibles de modo que l'operació de grup puga representar-se per multiplicació de matrius.

En química, una representació de grup pot relacionar elements matemàtics de grup en rotacions simètriques i reflexions de molècules.

Les representacions de grups són importants perque permeten reduir molts problemes de teoria de grups a problemes d'àlgebra llineal, que s'entén be. També són importants en física perque, per eixemple, descriuen cóm el grup de simetria d'un sistema físic afecta a les solucions de les equacions que descriuen dit sistema.

El terme representació d'un grup també s'utilisa en un sentit més general per a referir-se a qualsevol "descripció" d'un grup com a grup de transformacions d'algun objecte matemàtic. Més formalment, una "representació" significa un homomorfisme del grup al grup d'automorfisme d'un objecte. Si l'objecte és un espai vectorial tenim una representació llineal. Algunes persones usen realisació per a la noció general i reserven el terme representació per al cas especial de les representacions llineals. La major part d'este artícul descriu la teoria de les representacions llineals; vore l'última secció per a les generalisacions.

Subteorías de la teoria de la representació de grups

La teoria de la representació de grups es dividix en subteorías segons el tipo de grup que es represente. Les distintes teories són prou diferents en detalle, encara que algunes definicions i conceptes bàsics són similars. Les divisions més importants són:

• Grup finitos — Les representacions de grups són una ferramenta molt important en l'estudi dels grups finitos. També sorgixen en les aplicacions de la teoria de grups finitos a la cristalografia i a la geometria. Si el camp d'escalares de l'espai vectorial té característica p, i si p dividix l'orde del grup, llavors açò es diu teoria de representació modular'; este cas especial té propietats molt diferents. Vore Teoria de la representació de grups finitos.
• — Molts dels resultats de la teoria de la representació de grups finitos es demostren promediando sobre el grup. Estes demostracions poden traslladar-se a grups infinits substituint la mija per una integral, sempre que puga definir-se una noció acceptable d'integral. Açò pot fer-se per a grups localment compactes, utilisant la mida de Haar. La teoria resultant és una part central del anàlisis harmònic. La dualitat de Pontryagin descriu la teoria per a grups conmutativos, com una transformada de Fourier generalisada. Vore també: Teorema de Peter-Weyl.

• Grups de Lie — Molts grups de Lie importants són compactes, per lo que se'ls apliquen els resultats de la teoria de la representació compacta. També s'utilisen atres tècniques específiques dels grups de Lie. La majoria dels grups importants en física i química són grups de Lie, i la seua teoria de la representació és crucial per a l'aplicació de la teoria de grups en eixos camps. Vegen-se Representacions de grups de Lie i Representacions de àlgebra de Lie.
• Grup algebraic llineal (o més generalment esquema de grup afí) — Són els anàlecs dels grups de Lie, pero sobre camps més generals que només R o C. Encara que els grups algebraics llineals tenen una classificació molt similar a la dels grups de Lie i donen lloc a les mateixes famílies de àlgebra de Lie, les seues representacions són prou diferents (i molt manco conegudes). Les tècniques analítiques utilisades per a estudiar els grups de Lie deuen substituir-se per tècniques de geometria algebraica, a on la relativament dèbil topología de Zariski causa moltes complicacions tècniques.
• Grups topològics no compactes — La classe dels grups no compactes és massa àmplia per a construir qualsevol teoria de representació general, pero s'han estudiat casos especials específics, a voltes utilisant tècniques ad hoc. Els grups de Lie semisimples tenen una teoria profunda, basada en el cas compacte. Els grups de Lie solubles complementaris no poden classificar-se de la mateixa manera. La teoria general per als grups de Lie s'ocupa dels productes semidirectos dels dos tipos, per mig de resultats generals cridats teoria de Mackey, que és una generalisació dels métodos de classificació de Wigner.

La teoria de la representació també depén en gran mida del tipo d'espai vectorial sobre el que actua el grup. Es distinguix entre representacions finito-dimensionals i representacions infinit-dimensionals. En el cas de dimensions infinites, són importants atres estructures (per eixemple, si l'espai és o no un espai de Hilbert, un espai de Banach, etc.).

També cal considerar el tipo de camp sobre el que es definix l'espai vectorial. El cas més important és el camp dels número complejo. Els atres casos importants són el camp dels número real, els camps finitos i els camps dels números p-ádicos. En general, els camps algebraicamente tancats són més fàcils de manejar que els no algebraicamente tancats. La característica del camp també és significativa; moltes teoremes per a grups finitos depenen de que la característica del camp no dividixca al orde del grup.

Primers eixemples

A voltes s'utilisa realisació per a esta noció, reservant el terme representació per a lo que més avall es dirà representacions llineals. La teoria de la representació es dividix en subteorías depenent de la classe de grup que és representat. Les divisions més importants són:

Grups finitos: les representacions de grup són una ferramenta molt important en l'estudi de grups finitos. També apareixen en certes aplicacions de la teoria de grups finitos cristalografia i en geometria. El cas especial a on la representació és sobre un cos de característica p i p dividix l'orde del grup, cridada teoria de la representació modular, té propietats molt diverses (vore avall).

Grups topològics compactes o localment compactes: molts dels resultats de la teoria de representació de grups finitos són provats fent un promig sobre el grup. Estes proves es poden transportar als grups infinits si el promig és substituido per una integral, lo que solament funciona si podem definir una noció acceptable d'integral. Açò es pot fer per als grups localment compactes, usant la mida de Haar. La teoria que resulta és una part central del anàlisis harmònic. La dualitat de Pontryagin descriu la teoria per als grups conmutativos, com transformació de Fourier generalisada.

Grups de Lie: Molts grups de Lie importants són compactes, aixina que els resultats de la teoria compacta de representació s'apliquen a ells. Atres tècniques específiques dels grups de Lie s'utilisen també. La majoria dels grups importants en la física i la química són grups de Lie, i la teoria de representació és crucial per a l'us de la teoria de grups en eixos camps. Veja Representacions de grups de Lie o de àlgebra de Lie.

Grups topològics no compactes: La classe de grups no compactes és massa àmplia per a construir qualsevol teoria general de representació, pero s'han estudiat casos especials específics, a voltes usant tècniques ad hoc. Els grups de Lie semisimples té una teoria profunda, basada en el cas compacte. Els grups de Lie solubles no poden ser classificats de la mateixa manera. La teoria general per als grups de Lie s'ocupa dels productes semidirectos dels dos tipos, per mig dels resultats generals cridats teoria de Mackey, que és una generalisació dels métodos de classificació de Wigner.

Dins d'una classe donada de teoria de representació, els resultats es diferencien depenent de la classe de grup d'automorfismes que es busque. Un possible 'blanc' per a l'homomorfisme de la definició són els grups de permutació. Pero els 'blancs' més importants són grups de matrius sobre alguns cossos, o, més generalment, grups de transformacions llineals inversibles d'un espai vectorial.

El cas més important és el cos dels Número complejo (és dir, les representacions són homomorfismes a un grup de matrius complexes o de transformacions llineals inversibles d'un espai vectorial complex). Si l'espai vectorial és finito dimensional, llavors les representacions són també finito dimensionals. (les representacions infinit dimensionals són també possibles; l'espai vectorial pugues llavors ser un espai de Hilbert infinit dimensional, per eixemple.)

Els atres casos importants són el cos dels número real, els cossos finitos, i els cossos dels números p-ádicos. Les representacions en el cas finito del cos es diuen modular. Ací la característica del cos és absolutament significativa; moltes teoremes depenen de que l'orde del grup no dividixca la característica del cos.

Representació conjuntista / representació per permutació

Un conjunt X es diu que soporta una representació conjuntista o representació per permutació d'un grup G si hi ha una funció, ρ de G a X^X, el conjunt de les funcions de X a X tals que per a g₁, g₂ en G, i x en X

$\rho (g_1{g}_2)[x]=\rho (g_1)[\rho (g_2)[x]]$.

Esta condició i els axioma per a un grup impliquen que ρ(g) és una biyección (permutació) para tot g en G. Aixina podem equivalentemente definir una representació de permutació com un homomorfisme de grups de G al grup simètric S_X de X.

Vore acció de grup.

Una representació llineal és un cas especial d'una representació conjuntista en estructura adicional.

Representació llineal

En àlgebra abstracta, una representació d'un grup finito G és un homomorfisme de grups de G en el grup general llineal GL(n, C) de les matrius complexes invertibles n-per-n. L'estudi de tals representacions es diu teoria de representació.

La teoria de representació és important perque permet la reducció d'alguns problemes de la teoria de grups a l'àlgebra llineal, que té una teoria molt ben entesa. Hi ha un anàlec d'esta teoria per a moltes classes importants de grups infinits; veja representacions dels grups i de les àlgebra de Lie i teorema de Peter-Weyl per als grups topològics compactes. Una representació per transformacions proyectivas (vore representació proyectiva) es pot descriure com a representació llineal llevat matrius escalares. Estes representacions ocorren naturalment, també.

Podríem també tindre representacions afins. Per eixemple, el grup euclidiano actua de forma afí sobre l'espai euclidiano.

Eixemple

Considere l'número complejo o = exp(2πi/3) que té la propietat o³ = 1. El grup cíclico C₃ = { 1, o, o² } té una representació ρ donada per:

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& u\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& u^2\end{array}\right]$

(les tres matrius són ρ(1), ρ(o) i ρ(o²) respectivament).

Esta representació es diu fidel, perque ρ és inyectiva.

Equivalència de les representacions

Dos representacions ρ₁ i ρ₂ es diuen equivalents si les matrius es diferencien solament per un canvi de base, és dir si existix A en GL(n, C) tal que para tot el x en G: ρ₁(x) = Aρ₂(x)A^-1. Per eixemple, la representació de C₃ dau per les matrius:

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}u& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{u}^2& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

és una representació equivalent a la mostrada dalt.

Accions de grup

Cada matriu quadrada n-per-n descriu una funció llineal des d'un espai vectorial n-dimensional V a sí mateixa (una volta que s'ha elegit una base per a V). Per lo tant, cada representació ρ: G -> GL_n definix una acció de grup en V donada per g.v = (ρ(g))(v) (per a g en G, v en V). Es pot de fet definir una representació d'un grup com a acció d'eixe grup en un cert espai vectorial, evitant de tal modo la necessitat d'elegir una base i la restricció als espais vectorials finito-dimensionals.

Reducibilidad

Si V té un subespacio propi no trivial W tal que W és estable per la representació ρ, llavors la representació es diu reducible. Una representació reducible es pot expressar com una suma directa de subrepresentaciones (Teorema de Maschke) (solament per als grups finitos, les representacions reducibles són necessàriament descomponibles!). Si V no té cap tal subespacio; es diu que ρ és una representació irreducible.

Para grups de Lie compactes es té la següent teorema:

Teoria de caràcters

El caràcter d'una representació $\rho :𝒢\to {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(ℂ)$ és la funció $\chi :𝒢\to ℂ$ que assigna a cada $g\in 𝒢$ a la traça (sumixca dels elements diagonals) de la matriu ρ(g). Per eixemple, el caràcter de la representació donada dalt es dona prop: χ(1) = 2, χ(o) = 1 + o, χ(o²) = 1 + o². Si g i h són membres de G en igual classe de conjugació, llavors χ(g) = χ(h) per a qualsevol caràcter; els valors d'un caràcter per lo tant tenen que ser especificats solament per a les diverses classes de conjugació de G. Més encara, les representacions equivalents tenen els mateixos caràcters. Si una representació és la suma directa de subrepresentaciones, llavors el caràcter corresponent és la suma dels caràcters de les subrepresentaciones. Els caràcters de totes les representacions irreducibles d'un grup finito formen una taula de caràcters, en les classes de conjugació d'elements com les columnes, i caràcters com les files. Ací està la taula de caràcters de C₃:

La taula de caràcters és sempre quadrada, i les files i les columnes són ortogonalés sobre el producte intern en C^m (vore relació de ortogonalidad), que permet que es compute les taules de caràcters més fàcilment. La primera fila de la taula de caràcters sempre consistix en uns, i correspon a la representació trivial (la representació d'1 dimensió que consistix en les matrius 1×1 que contenen l'entrada 1). Certes propietats del grup G es poden deduir de la seua taula de caràcters:

• L'orde de G ve dau per la suma de (χ(1))² sobre els caràcters en la taula.

• G és abeliano si i solament si χ(1) = 1 per a tots els caràcters en la taula.

• G té un subgrup normal no trivial (és dir G no és un grup simple) si i solament si χ(1) = χ(g) per a algun caràcter χ no trivial en la taula i un cert element no-identitat g en G.

La taula de caràcters en general no determina un grup llevat isomorfisme: per eixemple, el grup cuaterniónico Q i el grup diedral de 8 elements (D₈) tenen la mateixa taula de caràcters.

Representació categòrica

Generalment, una representació d'un grup G en una categoria C és un funtor de G (com a categoria d'un objecte) en C.

• una representació conjuntista és una representació en la categoria de conjunts, és dir una representació de permutació.

• una representació k-llineal (per a algun cos k) és una representació en la categoria dels espais vectorials sobre k.

Referències

• (1991).«Representation theory. A first course. Introduction to representation theory with emphasis on Lie groups».Springer-Verlag.New York:129
• Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.