Suma directa

La suma directa és una operació entre estructures en àlgebra abstracta, una branca de les matemàtiques. Es definix de manera diferent, pero anàloga, per a diferents tipos d'estructures. Per a vore cóm s'utilisa la suma directa en àlgebra abstracta, considere's un tipo d'estructura més elemental, un grup abeliano. La suma directa de dos grups abelianos $A$ i $B$ és un atre grup abeliano $A\oplus B$ que consta dels parells ordenats $(a,b)$, a on $a\in A$ i $b\in B$. Per a sumar parells ordenats, es definix la suma $(a,b)+(c,d)$ com $(a+c,b+d)$. En atres paraules, la suma es definix en forma de coordenades. Per eixemple, la suma directa $ℝ\oplus ℝ$ (a on $ℝ$ és l'espai coordenat real), és el sistema de les coordenades cartesianas ${ℝ}^2$. Es pot utilisar un procés similar per a formar la suma directa de dos espais vectorials o de dos mòduls.

També es poden formar sumes directes en qualsevol número finit de sumants, per eixemple $A\oplus B\oplus C$, sempre que $A,B,$ i $C$ siguen els mateixos tipos d'estructures algebraiques (per eixemple, que siguen tots grups abelianos o que siguen tots espais vectorials). Açò es basa en el fet de que la suma directa és associativa excloent isomorfismes. És dir, $(A\oplus B)\oplus C\cong A\oplus (B\oplus C)$ per a qualsevol estructura algebraica $A$, $B$ i $C$ del mateix tipo. La suma directa també és conmutativa excloent isomorfismes, és dir, $A\oplus B\cong B\oplus A$ per a qualsevol estructura algebraica $A$ i $B$ del mateix tipo.

La suma directa d'un número finit de grups, espais vectorials o mòduls abelianos és canónicamente isomorfa al producte directe corresponent. No obstant, açò és fals per a alguns objectes algebraics, com els grups no abelianos.

En el cas de que es combinen infinits objectes, la suma directa i el producte directe no són isomorfos, ni tan sols per a grups abelianos, espais vectorials o mòduls. Com a eixemple, considere's la suma directa i el producte directe d'infinites (pero numerables) còpies dels número entero. Un element en el producte directe és una seqüència infinita, com (1,2,3,...) pero en la suma directa, existix el requisit de que totes les coordenades, llevat un número finit, siguen zero, per lo que la seqüència (1,2 ,3,...) seria un element del producte directe pero no de la suma directa, mentres que (1,2,0,0,0,...) seria un element d'abdós. A sovint, si s'usa un signe +, totes les coordenades llevat un número finit deuen ser zero, mentres que si s'usa alguna forma de multiplicació, totes les coordenades menys un número finit deuen ser 1. En un llenguage més tècnic, si els sumants són $(A_i{)}_{i\in I}$, la suma directa :$\underset{i\in I}{⨁}{A}_i$ es definix com el conjunt de tuplas $(a_i{)}_{i\in I}$ en $a_i\in A_i$ tals que $a_i=0$ per a totes menys un número finit de i. La suma directa $\underset{i\in I}{⨁}{A}_i$ està continguda en el producte directe $\prod _{i\in I}{A}_i$, pero és estrictament menor quan el conjunt índex $I$ és infinit, perque un element del producte directe pot tindre infinites coordenades distintes de zero.

Eixemples

El pla xy, un espai vectorial bidimensional, pot considerar-se com la suma directa de dos espais vectorials unidimensionals, concretament els eixos x i i. En esta suma directa, els eixos x i i es creuen solament en l'orige (el vector zero). La suma es definix en forma de coordenades, és dir, $(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$, que és lo mateix que la suma de vectores.

Donades dos estructures $A$ i $B$, la seua suma directa s'escriu com $A\oplus B$. Donada una família de conjunts d'estructures $A_i$, indexades en $i\in I$, la suma directa pot escriure's com $A=\underset{i\in I}{⨁}{A}_i$. Cada A_i es denomina mandat directe de A. Si el conjunt d'índexs és finit, la suma directa és lo mateix que el producte directe. En el cas de grups, si l'operació grupal s'escriu com $+$, s'usa l'expressió “suma directa”, mentres que si l'operació grupal s'escriu com $*$, s'usa el terme “producte directe”. Quan el conjunt d'índexs és infinit, la suma directa no és lo mateix que el producte directe, ya que la suma directa té el requisit adicional de que totes les coordenades, llevat un número finit, deuen ser zero.

Sumes directes internes i externes

Es fa una distinció entre sumes directes internes i externes, encara que les dos són isomorfas. Si els sumants es definixen primer i després la suma directa es definix en térmens dels sumants, es té una suma directa externa. Per eixemple, si es definixen els número real $ℝ$ i després es definix $ℝ\oplus ℝ$, es diu que la suma directa és externa.

Si, per un atre costat, primer es definix alguna estructura algebraica $S$ i després s'escriu $S$ com una suma directa de dos subestructura $V$ i $W$, llavors es diu que la suma directa és interna. En este cas, cada element de $S$ es pot expressar de forma única com una combinació algebraica d'un element de $V$ i un element de $W$. Com a eixemple de suma directa interna, considere's ${\mathbb{Z}}_6$ (els sancers mòdul sis), els elements del qual són $\{0,1,2,3,4,5\}$. Açò es pot expressar com una suma directa interna ${\mathbb{Z}}_6=\{0,2,4\}\oplus \{0,3\}$.

Tipos de suma directa

Suma directa de grups abelianos

Artícul principal → Producte directe de grups.

La suma directa de grups abelianos és un eixemple prototípico de suma directa. Daus dos grups $(A,\circ )$ i $(B,\bullet ),$ la seua suma directa $A\oplus B$ és la mateixa que la seua producte directe. És dir, el conjunt subjacent és el producte cartesiano $A\times B$ i l'operació de grup $\cdot$ es definix pels seus components:

$(a_1,b_1)\cdot (a_2,b_2)=(a_1\circ a_2,b_1\bullet b_2).$

Esta definició es generalisa a sumes directes d'un número finit de grups abelianos.

Per a una família arbitrària de grups $A_i$ indexats per $i\in I,$ el seu

$\underset{i\in I}{⨁}{A}_i$

és el subgrup del producte directe que consistix en els elements

${\left(a_i\right)}_{i\in I}\in \prod _{i\in I}{A}_i$

que tenen soport finit, a on per definició, es diu que ${\left(a_i\right)}_{i\in I}$ té si $a_i$ és l'element identitat de $A_i$ per a tots menys un número finit de $i.$

La suma directa d'una família infinita ${\left(A_i\right)}_{i\in I}$ de grups no trivials és un subgrup del grup de productes $\prod _{i\in I}{A}_i.$

Suma directa de mòduls

Artícul principal → Suma directa de mòduls.

La suma directa de mòduls és una construcció que combina varis mòduls en un nou mòdul.

Els eixemples més familiars d'esta construcció donen quan es consideren espais vectorials, que són mòduls sobre un cos. La construcció també pot estendre's a espais de Banach i a espais de Hilbert.

Suma directa en categories

Artícul principal → Coproducto (teoria de categories).

Una categoria aditiva és una abstracció de les propietats de la categoria de mòduls. En tal categoria, els productes finitos i coproductos concorden i la suma directa és qualsevol d'ells (vore biproducto).

Cas general: En teoria de categories, la Plantilla:Anclavisés a sovint, pero no sempre, el coproducto en la categoria dels objectes matemàtics en qüestió. Per eixemple, en la categoria de grups abelianos, la suma directa és un coproducto. Açò també és vàlit en la categoria de mòduls.

Sumes directes front a coproductos en categoria de grups

No obstant, la suma directa $S_3\oplus {\mathbb{Z}}_2$ (definida de manera idèntica a la suma directa de grups abelianos) és un coproducto dels grups $S_3$ i ${\mathbb{Z}}_2$ en categoria de grups. Llavors, per a esta categoria, una suma directa categòrica a sovint es denomina simplement coproducto per a evitar qualsevol possible confusió.

Suma directa de representacions del grup

Vore també: Teoria de la representació de grups finitos

La suma directa de representacions de grup generalisa la suma directa de mòduls subjacent, afegint-li una acció de grup. Específicament, donat un grup $G$ i dos representacions $V$ i $W$ de $G$ (o, més generalment, dos mòduls $G$), la suma directa de les representacions és $V\oplus W$ en l'acció de $g\in G$ donada per components, és dir,

$g\cdot (v,w)=(g\cdot v,g\cdot w).$

Una atra forma equivalent de definir la suma directa és la següent:

Donades dos representacions $(V,{\rho }_V)$ i $(W,{\rho }_W)$, l'espai vectorial de la suma directa és $V\oplus W$ i l'homomorfisme ${\rho }_{V\oplus W}$ ve dau per $\alpha \circ ({\rho }_V\times {\rho }_W),$ a on $\alpha :GL(V)\times GL(W)\to GL(V\oplus W)$ és l'aplicació natural obtinguda per mig de l'acció de coordenades com es va indicar anteriorment.

Ademés, si $V,W$ és de dimensió finita, llavors, donada una base de $V,W$, ${\rho }_V$ i ${\rho }_W$ tenen valors matriciales. En este cas, ${\rho }_{V\oplus W}$ ve donat com

$g\mapsto \left(\begin{array}{cc}{\rho }_V(g)& 0\\ 0& {\rho }_W(g)\end{array}\right).$

Ademés, si es tracta a $V$ i $W$ com a mòduls sobre anell de grup $kG$, a on $k$ és el cos, llavors la suma directa de les representacions $V$ i $W$ és igual a la seua suma directa com a mòduls $kG$.

Suma directa d'anells

Artícul principal → Producte d'anells.

Alguns autors parlen de la suma directa $R\oplus S$ de dos anells quan es referixen al producte directe $R\times S$, pero açò deu evitar-se, ya que $R\times S$ no rep homomorfismes d'anells naturals de $R$ i $S$: en particular, l'aplicació $R\to R\times S$ que fa correspondre $r$ a $(r,0)$ no és un homomorfisme d'anell, ya que no pot enviar 1 a $(1,1)$ (suponent que $0\ne 1$ en $S$). Per lo tant, $R\times S$ no és un coproducto en la categoria d'anells i no deu escriure's com una suma directa (ya que el coproducto en la categoria d'anells és el producte tensorial d'anells). En la categoria d'anells, el coproducto ve dau per una construcció similar al producte lliure de grups).

L'us de terminologia i notació de suma directa és especialment problemàtic quan es tracta de famílies infinites d'anells: si $(R_i{)}_{i\in I}$ és una colecció infinita d'anells no trivials, llavors la suma directa dels grups aditius subjacents es pot equipar en una multiplicació per térmens, pero açò produïx un pseudoanillo, és dir, un anell sense identitat multiplicativa.

Suma directa de matrius

Vore també: Suma de matrius

Per a qualsevol parell de matrius arbitrari $𝐀$ i $𝐁$, la suma directa $𝐀\oplus 𝐁$ es definix com matriu diagonal de bloc de $𝐀$ i $𝐁$ si abdós són matrius quadrades (i a una matriu per blocs anàloga, en cas contrari).

$𝐀\oplus 𝐁=\left[\begin{array}{cc}𝐀& 0\\ 0& 𝐁\end{array}\right].$

Suma directa d'espais vectorials topològics

Artícul principal → Subespacio complementat.

Es diu que un espai vectorial topològic (EVT) $X,$ com un Espai de Banach, és una de dos subespacios vectorials $M$ i $N$ si l'aplicació suma

$\begin{array}{cccccc}& & M\times N& & \to & X\\ & & (m,n)& & \mapsto & m+n\\ \end{array}$

és un isomorfisme d'espais vectorials topològics (lo que significa que esta aplicació llineal és un homeomorfisme biyectivo), en el cas de la qual es diu que $M$ i $N$ són en $X.$ Açò és cert si i solament si quan es consideren grups topològics aditius (per lo que s'ignora la multiplicació escalar), $X$ és la suma topològica directa dels subgrups topològics $M$ i $N.$ Si este és el cas i si $X$ és un espai de Hausdorff, llavors $M$ i $N$ són necessàriament subespacios tancats de $X.$

Si $M$ és un subespacio vectorial d'un espai vectorial real o complex $X$, llavors sempre existix un atre subespacio vectorial $N$ de $X,$ cridat complement algebraic tal que $X$ és la de $M$ i $N$ (lo que succeïx si i solament si l'aplicació suma $M\times N\to X$ és una aplicació llineal). A diferència de les sumes directes algebraiques, l'existència de dit complement ya no està garantisada per a les sumes directes topològiques.

Es diu que un subespacio vectorial $M$ de $X$ és () un si existix algun subespacio vectorial $N$ de $X$ tal que $X$ siga la suma directa topològica de $M$ i $N.$ Un subespacio vectorial es diu si no és un subespacio complementat. Per eixemple, tot subespacio vectorial d'un EVT de Hausdorff que no siga un subconjunt tancat està necessàriament descomplementado. Tot subespacio vectorial tancat d'un espai de Hilbert està complementat. Pero tot espai de Banach que no siga un espai de Hilbert necessàriament posseïx algun subespacio vectorial tancat no complementat.

Vore també

• Fibrado vectorial