Operació (matemàtica)

Operació (matemàtica)

Una operació matemàtica és una funció sobre una tupla i que obté un resultat, aplicant unes regles preestablides sobre la tupla.

1. Una operació matemàtica, per a que siga considerada com a tal, sempre té que garantisar un resultat, les operacions que per a certs valors de la tupla no garantisen un resultat no poden considerar-se operacions matemàtiques pròpiament dites.

2. Una operació matemàtica ha de donar un únic resultat, si per a una tupla donada pot presentar més d'un resultat, no es pot considerar operació matemàtica pròpiament dita.

Una característica important d'una operació matemàtica és el número de térmens de la tupla: aridad. Sent la de dos térmens: operació binaria de gran importància.

En àlgebra, s'usa lo que són les operacions suma, resta, multiplicació i divisió. Una operació és l'aplicació d'un operador sobre els elements d'un conjunt que té. L'operador pren els elements inicials i els relaciona en un atre element d'un conjunt final que pot ser de la mateixa naturalea o no; açò es coneix tècnicament com llei de composició.

En aritmètica i càlcul el conjunt de partida pot estar format per elements d'un únic tipo (les operacions aritmètiques actuen només sobre números) o de varis (el producte d'un vector per un escalar engloba al conjunt unió de vectores i escalares que conformen un espai vectorial).

Depenent de cóm siguen els conjunts implicats en l'operació sobre el conjunt considerat principal segons les nostres intencions podem classificar les operacions en dos tipos: internes i externes.

Propietats de les operacions

• L'operació d'adició (+)
  • s'escriu $a+b$
  • és conmutativa: $a+b=b+a$
  • és associativa: $(a+b)+c=a+(b+c)$
  • té una operació inversa cridada substracció: $(a+b)-b=a$, que és igual a sumar l'Opost, $a-b=a+(-b)$
  • té un element neutre 0 que no altera la suma: $a+0=a$

• L'operació de multiplicació (×)
  • s'escriu $(a\times b)$ o $(a\cdot b)$
  • és una adició repetida $a\times n=a+a+\dots +a$ (n voltes)
  • és conmutativa: $(a\cdot b)$ = $(b\cdot a)$
  • és associativa: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
  • s'abrevia per yuxtaposició: $a\cdot b\equiv ab$
  • té una operació inversa, per a números diferents a zero, cridada divisió: $\frac{(ab)}{b}=a$, que és igual a multiplicar pel recíproc, $\frac{a}{b}=a\left(\frac{1}{b}\right)$
  • té un element neutre 1 que no altera la multiplicació: $a\times 1=a$
  • és distributiva respecte l'adició: $(a+b)\cdot c=ac+bc$

• L'operació de potenciació
  • s'escriu $a^b$
  • és una multiplicació repetida: $a^n=a\times a\times \dots \times a$ (n voltes)
  • no és ni comutativa ni associativa: en general $a^b\ne b^a$ i $(a^b{)}^c\ne a^{(b^c)}$
  • té una operació inversa, cridada logaritmación: $a^{lo{g}_{a}b}=b=lo{g}_a{a}^b$
  • pot ser escrita en térmens de raïl n-ésima: $a^{m/n}\equiv (\sqrt[n]{a^m})$ i per lo tant les raïls pares de números negatius no existixen en el sistema dels número real. (Vore: sistema de número complex)
  • és distributiva sobre la multiplicació: $(a\cdot b{)}^c=a^c\cdot b^c$
  • té la propietat: $a^b\cdot a^c=a^{b+c}$
  • té la propietat: $(a^b{)}^c=a^{bc}$

Propietats de l'igualtat

La relació d'igualtat (=) és:

• reflexiva: $a=a$
• simètrica: si $a=b$ llavors $b=a$
• transitiva: si $a=b$ i $b=c$ llavors $a=c$

Lleis de l'igualtat

La relació d'igualtat (=) té les propietats següents:

• si $a=b$ i $c=d$ llavors $a+c=b+d$ i $ac=bd$
• si $a=b$ llavors $a+c=b+c$

• si dos símbols són iguals, llavors un pot ser substituït per l'atre.
• regularitat de la suma: treballant en número real o complexos succeïx que si $a+c=b+c$ llavors $a=b$.
• regularitat condicional de la multiplicació: si $a\cdot c=b\cdot c$ i $c$ no és zero, llavors $a=b$ .

Lleis de la desigualtat

La relació de desigualtat (<) té les següents propietats:

• de transitividad: si $a<b$ i $b<c$ llavors $a<c$
• si $a<b$ i $c<d$ llavors $a+c<b+d$
• si $a<b$ i $c>0$ llavors $ac<bc$
• si $a<b$ i $c<0$ llavors $bc<ac$

Regla dels signes

En el producte i en el cocient de números positius (+) i negatius (-) es complixen les següents regles:

Àlgebra abstracta

AP

Una operació $f_{}^{}$ és interna si, tant els elements inicials com els finals pertanyen a l'únic conjunt $A_{}^{}$.

$f:A^I\to A,A^I=A\times A\times {\cdots }^I\times A=\prod _{i\in I}{A}_i,I$ és un conjunt.

Que també pot expressar-se:

$(a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n)\stackrel{f}{\to }b$

O també:

$f(a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n)\to b$

Segons la naturalea del producte cartesiano inicial de l'operació podem diferenciar:

• Operacions finitas si el conjunt inicial $I_{}^{}$ és producte cartesiano finit.

• Operacions infinites en cas contrari.

Operació n-ària

AP Direm que $f_{}^{}$ és una operació n-ària en el conjunt $A_{}^{}$, si:

a $n_{}^{}\in \mathbb{N}$ se li crida la ariedad o anidad.

Operació binaria

AP Una operació és binaria quan $n$ és igual a dos:

$\begin{array}{cccc}\star :& A\times B& \to & C\\ & (a,b)& \to & c=a\star b\end{array}$

i també:

$a\star b\to c$

$(a,b)\stackrel{\star }{\to }c$

$\star (a,b)\to c$

Eixemple:

En el conjunt dels número natural, $\mathbb{N}$, l'operació d'adició: $+:\mathbb{N}\times \mathbb{N}⟶\mathbb{N}$, $(N,+)$, en les diferents expressions:

1. $a,b,c\in \mathbb{N},a+b\to c$
2. $a,b,c\in \mathbb{N},(a,b)\stackrel{+}{\to }c$
3. $a,b,c\in \mathbb{N},+(a,b)\to c$

a on a i b són els sumants i c el resultat de la suma.

Operació unaria

AP Una operació unaria, en un sol paràmetro:

$\begin{array}{cccc}\star :& A& \to & B\\ & a& \to & b=\star (a)\end{array}$

també solen denominar-se funcions.

Eixemples:

Donat el conjunt dels número natural $\mathbb{N}$, l'operació unaria increment o següent, com:

$\begin{array}{cccc}in:& N& \to & N\\ & a& \to & b=in(a)\end{array}$

A on:

$in(n)=n+1:n\in \mathbb{N}$

Donat el conjunt dels número entero $\mathbb{Z}$, l'operació opost, com:

$\begin{array}{cccc}op:& Z& \to & Z\\ & a& \to & b=op(a)\end{array}$

açò és:

$op(e)=-e:e\in \mathbb{Z}$

Operació 0-ària

AP

Una operació 0-ària és quan tenim una operació $f:A^0\to A$ és dir:

$\begin{array}{cccc}\star :& \{\mathrm{\varnothing }\}& \to & A\\ & \mathrm{\varnothing }& \to & b=\star (\mathrm{\varnothing })\end{array}$

Eixemple: Una operació nularia sol tornar constants, per eixemple el valor de pi:

$\begin{array}{cccc}pi:& \{\mathrm{\varnothing }\}& \to & R\\ & \mathrm{\varnothing }& \to & a=pi(\mathrm{\varnothing })\end{array}$

Que assigna a a el valor real del número pi.

Una operació que designa un element distinguit de $A_{}^{}$, en teoria de grups seria l'element neutre d'un grup.

Operació externa

AP

Una llei de composició externa sobre un conjunt A en un conjunt B és una aplicació:

$\begin{array}{cccc}\star :& B\times A& \to & A\\ & (a,b)& \to & c=a\star b\end{array}$

esta aplicació es diu que és una operació externa.

Eixemple: Donat el conjunt $V_2$ dels vectores en el pla i el conjunt d'escalares $ℝ$ de número real, tenim que el producte d'un número real per un vector en el pla és un vector en el pla:

$\begin{array}{cccc}\cdot :& R\times V_2& \to & V_2\\ & (a,\overrightarrow{v})& \to & \overrightarrow{u}=a\cdot \overrightarrow{v}\end{array}$

Donat el vector:

$\overrightarrow{v}=3i+6j$

Si ho multipliquem per un escalar 3:

$3\cdot \overrightarrow{v}=3\cdot (3i+6j)=(9i+18j)=\overrightarrow{u}$

podem vore que els dos vectores són del pla:

$(3i+6j),(9i+18j)\in V_2$

Partint dels conjunts A i B distints, i una aplicació:

$\begin{array}{cccc}\star :& A\times A& \to & B\\ & (a,b)& \to & c=a\star b\end{array}$

es diu que també és una llei de composició externa. Per eixemple el Producte escalar de dos vectores en el pla, dona com resultat un número real, açò és:

$\begin{array}{cccc}\circ :& V_2\times V_2& \to & R\\ & (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})& \to & a=\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{v}\end{array}$

Prenent els vectores del pla:

$\overrightarrow{u}=(x_1,y_1)$

$\overrightarrow{v}=(x_2,y_2)$

I sent el seu producte escalar:

$\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{v}=(x_1,y_1)\circ (x_2,y_2)=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2$

Que dona per resultat un número real, vejam un eixemple numèric:

$\overrightarrow{u}=(3,6)$

$\overrightarrow{v}=(5,2)$

Operant

$\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{v}=(3,6)\circ (5,2)=3\cdot 5+6\cdot 2=15+12=27$

Bibliografia

• J. Barja Pérez. Àlgebra Universals en el Càlcul de Proposicions. Universitat de Santiago de Compostela Espanya. 1978.
• Donald W. Barnes, John M. Mack. Una Introducció Algebraica a la Llògica Matemàtica. 1978.
• Lang, Serge Àlgebra llineal (1975), Fondo educatiu interamericà S.A. imprés en Puerto Rico, segona edició.

Vore també

• Relació matemàtica
• Correspondència matemàtica
• Funció matemàtica
• Propietats de les operacions binàries