Llei de composició

Arbre de classificació

En àlgebra abstracta, la llei de composició és un tipo d'operació binaria que dona lloc a distintes estructures algebraiques.

Es tracta d'una funció o aplicació que pren dos elements de dos conjunts donats i els assigna a un atre element, pertanyent a un dels dos conjunts.

Podem diferenciar llei de composició interna i externa. La llei de composició és interna si l'aplicació que la definix «manté» el mateix conjunt, tant en el parell de conjunts de partida, com en el d'arribada. Si els conjunts de partida són diferents entre sí, es diu que la llei de composició és externa.

Notació

• Per a representar les lleis de composició internes, amprarem els següents símbols:

$\odot ,⊚,\oplus ,\ominus ,⊛,\otimes ,\oslash .$

• Estos signes per a representar les lleis de composició externa:

$\cdot ,\circ ,+,-,\ast ,\times ,╱.$

• Representarem als conjunts en lletres mayúscules,

$A,B,C,\dots$

• i els elements dels conjunts els indicarem en lletres minúscules:

$a,b,c,d,\dots$

Classificació

Llei de composició interna

Donat un conjunt A i una operació $\odot$, que representarem com el parell $(A,\odot )$, es diu que $\odot$ és una llei de composició interna o operació interna en A quan és una aplicació de la forma següent.

$\begin{array}{cccc}\odot :& A\times A& ⟶& A\\ & (a,b)& ⟼& c=a\odot b\end{array}$

Una llei de composició interna assigna a cada parell ordenat (a, b), les components de la qual pertanyen abdós al conjunt A, un tercer element c, també contingut en A. Este element c és únic per a cada parell (a, b) determinat, lo que s'expressa en símbols de la següent manera.

$\mathrm{\forall }(a,b)\in A\times A,\mathrm{\exists }!c\in A:c=a\odot b$

Eixemples

La funció que assigna a dos punts el punt mig és una llei de composició interna.

Són operacions internes

1. La suma entre dos número natural
2. La multiplicació entre dos número racional

3. L'aplicació que assigna a cada parell de punts del pla el punt mig del segment que els unix.

4. l'unió i l'intersecció de dos conjunts.

Llei de composició externa

Si els dos elements operats no pertanyen al mateix conjunt la llei de composició és externa, podent diferenciar:

Llei de composició externa per la dreta

Donat dos conjunt A i B, i una operació: $\cdot$, que representarem $(A,B,\cdot )$:

$\begin{array}{cccc}\cdot :& A\times B& ⟶& A\\ & (a,b)& ⟼& c=a\cdot b\end{array}$

per la que definim una aplicació que, a cada parell ordenat (a, b) de A per B, li assigna un c de A.

$\mathrm{\forall }(a,b)\in A\times B,\mathrm{\exists }!c\in A:c=a\cdot b$

Per a tot parell ordenat (a,b) en A per B, es complix que existix un únic c en A, tal que c és el resultat d'operar a en b.

Es denomina llei de composició externa per la dreta.

Llei de composició externa per l'esquerra

De la mateixa manera també es considera llei de composició externa, que es denota: $(A,B,\circ )$:

$\begin{array}{cccc}\circ :& A\times B& ⟶& B\\ & (a,b)& ⟼& c=a\circ b\end{array}$

A on a cada parell de valors (a, b) de A per B se li assigna un valor c de B.

$\mathrm{\forall }(a,b)\in A\times B,\mathrm{\exists }!c\in B:c=a\circ b$

Per a tot parell ordenat (a,b) en A per B, es complix que existix un únic c en B, tal que c és el resultat d'operar a en b.

Es denomina llei de composició externa per l'esquerra.

Eixemples

La funció $𝐮\mapsto \lambda 𝐮$ «eixampla» i «comprimix» al segment o, segons siga $\lambda >1$ o $0<\lambda <1$, respectivament.

1. Es definix la multiplicació per un escalar, per esquerra, com a

   $\cdot :ℝ\times {ℝ}^2\to {ℝ}^2/(\lambda ,(x,y))\mapsto (\lambda x,\lambda y)$

    Esta funció, també denotada per $\lambda \cdot (x,y)$ o $\lambda (x,y)$, és una llei de composició externa per esquerra.
   

2. Del mateix és possible definir la multiplicació per dreta, ya que $ℝ$ és un cos conmutativo. En este cas, la funció definida constituiria una llei de composició externa per dreta.
3. De modo similar a l'anterior, pot definir-se un producte entre un número real i una funció, el resultat de la qual és una atra funció. En general, sempre podem definir una operació entre els elements d'un cos i un grup abeliano de modo que resulte una llei de composició externa. Esta és una de les bases per a definir el concepte d'espai vectorial.

Vore també

• Operació binaria
• Propietats de les operacions binàries
• Estructura algebraica