Domini de definició

Ilustració que mostra ___*$f$, una función con dominio $X$ y codominio $Y$. El óvalo pequeño dentro de $Y$ es l'image de $f$, a veces llamado rango de $f$.

En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida o conjunto inicial) d'una función $f:X\to Y$ es el conjunto d'existencia d'ella misma, es decir, els valores per a els cuals la función está definida. Es el conjunto de todos els objetos que puede transformar, se denota ${\mathrm{Dom}}_f$, $\mathrm{Dom}(f)$ o $D_f$. En ${ℝ}^n$ es denomina domini a un conjunt conexo, obert i que el seu interior siga no buit. Per una atra part, el conjunt de tots els resultats possibles d'una funció donada es denomina codominio d'eixa funció.

Definició

$D_f=\{x\in X:\mathrm{\exists }y\in Y:f(x)=y\}$

Propietats

Donades dos funcions reals:

Es tenen les següents propietats:

1. ___*$D_{(f+g)}=X_1\cap X_2$
2. $D_{(f-g)}=X_1\cap X_2$
3. $D_{(f\cdot g)}=X_1\cap X_2$
4. $D_{(f/g)}=\{x\in (X_1\cap X_2)|g(x)\ne 0\}$

Càlcul del domini d'una funció

Per al càlcul certer del domini d'una funció, es deu introduir el concepte de restricció en el cos real. Estes restriccions ajudaran a identificar l'existència del domini d'una funció. Les més usades són:

Logaritmo d'una funció

Els logaritmes no estan definits per a números negatius ni per al zero, per tant tota funció continguda dins d'un logaritme deu ser necessàriament major estricte de zero. Per eixemple:

$\log (x^2-9)$

Por la propiedad anteriormente citada, se observa que per a que esta función esté bien definida, necesariamente $x^2-9>0$; despejando, se obtienen dos soluciones $x>3$ y $x<-3$. l'unió d'abdós solucions representa el domini de la funció, que està definida com el conjunt (-∞, -3) O (3, +∞).

Fraccions

Vore també: Divisió per zero

Atres propietats de les matemàtiques poden ajudar a obtindre el domini d'una funció i excloure punts a on esta no estiga definida. Per eixemple, una funció que tinga forma de fracció no estarà definida quan el denominador valga zero.

Eixemples

Alguns dominis de funcions reals de variable real:

$f(x)=x^2$ El dominio d'esta función, así como el de cualquier función polinómica y exponencial, es $ℝ$.

$f(x)=\frac{1}{x}$ El dominio d'esta función es $ℝ-\{0\}$ puesto que la función no está definida per a x = 0.

$f(x)=\log (x)$ El dominio d'esta función es $(0,+\mathrm{\infty })$ ya que els logaritmes están definidos sólo per a números positius.

$f(x)=\sqrt{x}$ El dominio d'esta función es $[0,+\mathrm{\infty })$ perque la raïl d'índex parell d'un número negatiu, no existix en el cos dels reals.

Vore també

• Image
• Recorregut

Enllaços externs

• Domain en MathWorld.
• {{{1}}} en Springer