Unió de conjunts

Archiu:Venn0111.svg

Unió de conjunts

Archiu:PolygonsSetUnion.svg

L'unió dels conjunts A i B és un atre conjunt A ∪ B que conté tots els elements de A i de B.

En la teoria de conjunts, la unió de dos (o més) conjunts és una operació que resulta en un atre conjunt, que els seus elements són els mateixos dels conjunts inicials. Per eixemple, el conjunt dels número natural és l'unió del conjunt dels números pares positius P i el conjunt dels números impars positius I:

$P=\{2,4,6,\dots \}$

$I=\{1,3,5,\dots \}$

$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\dots \}$

L'unió de conjunts es denota pel símbol $\cup$ , de modo que per eixemple:

$\mathbb{N}=P\cup I$

Definició

Donats dos conjunts A i B, la seua unió és el conjunt que conté tots els elements, que pertanyen per lo manco a un dels conjunts A o B:

Archiu:Union entre conjuntos.svg

Unió de dos conjunts A o B.

Eixemple.

• Considerant els conjunts de número natural C = {n: n és un número primo} i D = {m: m és un número compuesto}. La seua unió és llavors , ya que l'únic número natural que no és ni primer ni compost és (per definició) 1.

En l'unió de conjunts, els elements repetits només apareixen una volta, puix els conjunts no poden tindre elements repetits:

$\{1,2,3,4\}\cup \{5,2,1\}=\{1,2,3,4,5\}$

Generalisacions

És possible definir l'unió d'un número finito de conjunts, superior a dos:

I esta es pot calcular utilisant la propietat associativa de l'unió de dos conjunts (més avall). D'esta manera, per a unir varis conjunts l'orde en el que es faça és irrellevant:

Una definició més general en teoria de conjunts es referix a una família de conjunts:

Esta definició coincidix en les anteriors en el cas d'una família finita de conjunts:

A ∪ B = ∪M, a on M = {A, B}

A₁ ∪ ... ∪ A_n = ∪M, a on M = {A₁, ..., A_n}

L'unió general de conjunts es denota de diverses maneres:

$\bigcup M=\bigcup _{A\in M}A=\bigcup _{i\in I}{A}_i\text{ ,}$

a on esta última s'aplica en el cas de que s'utilise un conjunt índex, prenent M com {A_i: i ∈ I}.

Propietats

Artícul principal → Àlgebra de conjunts.

De la definició d'unió pot deduir-se directament:

L'unió de conjunts posseïx també propietats similars a les operacions en números:

Totes estes propietats es deduïxen de propietats anàlogues per a la disjunció llògica.

En relació en l'operació d'intersecció existixen unes lleis distributivas:

Cardinalidad

Artícul principal → Principi de la suma.

El número d'elements de l'unió de dos conjunts finitos A i B és la suma dels elements de A i de B, si no tenen elements en comú.

Com en un conjunt els elements no poden repetir-se, si A i B tenen elements en comú, en sumar els seus elements es contarien els elements comuns més d'una volta. Per eixemple:

{1, a, ♠} i {b, a, 5} tenen abdós tres elements, pero la seua unió {1, a, ♠, b, 5} té cinc elements i no sis.

Per això, és necessari eliminar les repeticions en contar els elements de A ∪ B:

Esta fòrmula es generalisa per al cas més complicat d'una unió d'un número arbitrari de conjunts finitos. Per eixemple en el cas de tres conjunts es té:

$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|A\cap C|+|A\cap B\cap C|$

i en general es té el cridat principi d'inclusió-exclusió:

En el cas de que algun dels conjunts involucrats siga infinit, les expressions anteriors seguixen sent vàlides, entenent-les com a afirmacions relatives a cardinals infinits (en certes modificacions).

Vore també

• Àlgebra de conjunts
• Conjunt
• Teoria de conjunts
• Intersecció de conjunts

Referències

Bibliografia

• Dorronsoro, José; Hernández, {{{nom2}}} (1996). Números, grups i anells, Addison-Wesley/Universitat Autònoma de Madrit. ISBN 84-7829-009-5.
• Matoušek, Jiří; Nešetřil, {{{nom2}}} (2008). Invitació a la matemàtica discreta, Reverte. ISBN 9788429151800. En el capítul 2.7 detalla el principi d'inclusió-exclusió.
• Lipschutz, Seymour (1991). Teoria de conjunts i temes afins, McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.