Operació binaria

Es definix com a operació binaria (o llei de composició)^[1]^[2] aquella operació matemàtica, que necessita l'operador i dos operants (arguments) per a que es calcule un valor.

Daus tres conjunts A, B i C, una operació binaria producte, representant l'operació pel signe $\circ$ , és una aplicació que assigna a cada parell de valors a de A i b de B un sol valor c de C, que podem representar:^[3]

\begin{matrix} \circ : & A \times B & ⟶ & C \\ (a, b) & ⟼ & c \end{matrix}

Podem expressar l'operació:

a \circ b = c, \circ (a, b) = c, (a, b) \overset{\circ}{\to} c

Per eixemple, l'operador de suma «+» de número natural és un operador binari, perque requerix dos arguments:

\begin{matrix} + : & N \times N & ⟶ & N \\ (a, b) & ⟼ & c = a + b \end{matrix}

i tenim que:

2 + 3 = 5, + (2, 3) = 5, (2, 3) \overset{+}{\to} 5

El número d'arguments d'una funció es denomina aridad.

Classe d'operació binaria

Segons els conjunts A, B i C podem diferenciar dos tipos d'operacions, les internes en les que A = B = C, i les externes que són totes les demés, es denomina Llei de composició a un subtipo d'operació binaria.

Operació interna

AP Si a cada parell de valors (a, b) de $A$ l'operació li correspon un valor c de A:

\begin{matrix} ⊛ : & A \times A & ⟶ & A \\ (a, b) & ⟼ & c = a ⊛ b \end{matrix}

es diu que esta operació és interna, també es diu llei de composició interna, aixina per eixemple donat el conjunt de vectores de tres dimensions $V^{3}$ i l'adició de vectores, es té:

\begin{matrix} + : & V^{3} \times V^{3} & ⟶ & V^{3} \\ (𝐚, 𝐛) & ⟼ & 𝐜 = 𝐚 + 𝐛 \end{matrix}

que la suma de dos vectores de $V^{3}$ és un atre vector de $V^{3}$ , per eixemple, donats els vectores:

𝐚 = a_{x} 𝐢 + a_{y} 𝐣 + a_{z} 𝐤

𝐛 = b_{x} 𝐢 + b_{y} 𝐣 + b_{z} 𝐤

la seua suma és:

𝐜 = 𝐚 + 𝐛

𝐜 = (a_{x} 𝐢 + a_{y} 𝐣 + a_{z} 𝐤) + (b_{x} 𝐢 + b_{y} 𝐣 + b_{z} 𝐤)

𝐜 = (a_{x} + b_{x}) 𝐢 + (a_{y} + b_{y}) 𝐣 + (a_{z} + b_{z}) 𝐤

𝐜 = c_{x} 𝐢 + c_{y} 𝐣 + c_{z} 𝐤

Operació externa

AP Si l'operació no és interna llavors és externa, podent-se presentar els següents casos:

Si a cada parell de valors a de A i b de B, se li assigna un valor c de A,

\begin{matrix} ⋆ : & A \times B & ⟶ & A \\ (a, b) & ⟼ & c = a ⋆ b \end{matrix}

a esta operació també es denomina llei de composició externa, un eixemple clar, d'esta operació, és el producte d'un vector per un escalar:

\begin{matrix} \cdot : & V^{3} \times R & ⟶ & V^{3} \\ (𝐚, b) & ⟼ & 𝐜 = 𝐚 \cdot b \end{matrix}

aixina, donat el vector:

𝐚 = a_{x} 𝐢 + a_{y} 𝐣 + a_{z} 𝐤

el resultat de multiplicar-ho per un escalar b, serà:

𝐜 = 𝐚 \cdot b, 𝐜 = (a_{x} 𝐢 + a_{y} 𝐣 + a_{z} 𝐤) \cdot b, 𝐜 = (a_{x} \cdot b) 𝐢 + (a_{y} \cdot b) 𝐣 + (a_{z} \cdot b) 𝐤

Si l'operació és de la forma:

\begin{matrix} ⋆ : & A \times A & ⟶ & B \\ (a, b) & ⟼ & c = a ⋆ b \end{matrix}

en la que a cada parell de valors a, b de A se li assigna un c de B, esta operació no es denomina llei de composició, com a eixemple podem posar el producte escalar de dos vectores, que dona com resultat un número real:

\begin{matrix} \circ : & V^{3} \times V^{3} & ⟶ & R \\ (𝐚, 𝐛) & ⟼ & c = 𝐚 \circ 𝐛 \end{matrix}

aixina donats els vectores:

𝐚 = a_{x} 𝐢 + a_{y} 𝐣 + a_{z} 𝐤

𝐛 = b_{x} 𝐢 + b_{y} 𝐣 + b_{z} 𝐤

el seu producte escalar serà:

𝐜 = 𝐚 \circ 𝐛, 𝐜 = (a_{x} 𝐢 + a_{y} 𝐣 + a_{z} 𝐤) \circ (b_{x} 𝐢 + b_{y} 𝐣 + b_{z} 𝐤), 𝐜 = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} + a_{z} \cdot b_{z}

Si l'operació assigna a cada parell de valors a de A i b de B un c de C, sent A, B i C conjunts distints:

\begin{matrix} ⋆ : & A \times B & ⟶ & C \\ (a, b) & ⟼ & c = a ⋆ b \end{matrix}

és el cas més general, i tampoc es denomina llei de composició, podem vore l'eixemple de la divisió d'un número entero entre un número natural per a donar com resultat un número racional

\begin{matrix} / : & Z \times N & ⟶ & Q \\ (a, b) & ⟼ & c = a / b \end{matrix}

Vore també

Operador

Propietats de les operacions binàries

Taula de multiplicar

Referències

↑ "Lliçons d'àlgebra moderna" (1971) DubreIl i Dubreil-Jacotin; Editorial Reverté, Barcelona; pg. 2
↑ Sigler, L. E. (1981). «2», Àlgebra, 1.ª edició, Editorial Reverté S.A., p. 35. ISBN 9788429151299.
↑ Castañeda Hernández (2004). «4», Notes d'àlgebra llineal, 2.ª edició, Edicions Uninorte, p. 198. ISBN 958-8133-89-0.

Bibliografia

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Operación binaria» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] "Lliçons d'àlgebra moderna" (1971) DubreIl i Dubreil-Jacotin; Editorial Reverté, Barcelona; pg. 2

[2] Sigler, L. E. (1981). «2», Àlgebra, 1.ª edició, Editorial Reverté S.A., p. 35. ISBN 9788429151299.

[3] Castañeda Hernández (2004). «4», Notes d'àlgebra llineal, 2.ª edició, Edicions Uninorte, p. 198. ISBN 958-8133-89-0.

[1]

[2]

[3]