Producte escalar

Representació del producte escalar en l'espai euclideo.

En matemàtiques, el producte escalar, també conegut com a producte intern o producte punt, és una operació algebraica que pren dos vectors i retorna un escalar, i que satisfà certes condicions.

D'entre tots els productes que es poden definir en distints espais vectorials, el més rellevant és el denominat producte escalar (usual o estàndar) en l'espai euclideo:

$V={ℝ}^n$.

$\begin{array}{ccccc}\cdot & :& V\times V& ⟶& ℝ\\ & & (u,v)& ⟼& a=\cdot (u,v)=u\cdot v=⟨u,v⟩\end{array}$

Daus dos vectores $𝐮=(u_1,u_2,\mathrm{...},u_n)$ i $𝐯=(v_1,v_2,\mathrm{...},v_n)$, el seu producte escalar es definix com:

$𝐮\cdot 𝐯=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+\mathrm{...}+u_n\cdot v_n$

o siga, la suma dels productes component per component. Esta expressió equival al producte matricial d'una matriu fila i d'una matriu columna, per lo que també es pot escriure el producte escalar usual com:

$𝐮\cdot 𝐯={𝐮}^T𝐯$

a on se seguix el conveni d'escriure els vectores en columna i ${𝐮}^T$ representa la transpuesta de $𝐮$.

El valor numèric del producte escalar és igual al producte dels mòduls dels dos vectores i del coseno de l'àngul entre ells, lo que permet utilisar el producte escalar per a estudiar conceptes típics de la geometria euclídea en dos i tres dimensions, com les llongitutés, els ànguls i l'ortogonalidad. El producte escalar pot definir-se també en els espais euclídeos de dimensió major a tres, i en general en els espais vectorials reals i complexos, als que poden traslladar-se estos mateixos conceptes geomètrics. Els espais vectorials dotats de producte interior reben el nom d'espais prehilbertianos.

El nom del producte punt es deriva del símbol que s'utilisa per a denotar esta operació (« · »). El nom de producte escalar emfatisa el fet de que el resultat és un escalar en lloc d'un vector, a diferència per eixemple del producte vectorial. Abdós denominacions se solen reservar per al producte escalar usual, mentres que en el cas general és més freqüent l'us de l'expressió producte intern.

Definició

Propietat distributiva del producte escalar

Definició per coordenades

Donats dos vectores $𝐚$ i $𝐛$ de ${ℝ}^n$, de coordenades $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ i $(b_1,b_2,\dots ,b_n)$ respectivament, i a on les coordenades vénen donades respecte d'una base ortonormal, el producte escalar $𝐚\cdot 𝐛$ es definix com:

$𝐚\cdot 𝐛=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=a_1{b}_1+a_2{b}_2\cdots +a_n{b}_n$

Usant matrius

Si s'identifica els vectores $𝐚$ i $𝐛$ en les matrius columna de les seues coordenades:

$𝐚=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right),𝐛=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$

el producte escalar es pot vore com un producte matricial:

$𝐚\cdot 𝐛={𝐚}^{\mathrm{T}}𝐛=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)=a_1{b}_1+a_2{b}_2\dots +a_n{b}_n$

a on ${𝐚}^{\mathrm{T}}$ denota la trasponer de $𝐚$, entés com a matriu.

Definició geomètrica

Si es descriuen els vectores geomètricament, en térmens del seu mòdul, direcció i sentit, és possible definir el producte escalar de manera que tinga una interpretació geomètrica. En ${ℝ}^2$ o ${ℝ}^3$, els vectores es poden representar com a fleches, la llongitut de les quals és el mòdul del vector i que apunten en la direcció i sentit del vector. Si es representen els vectores com partint d'un mateix punt, les seues fleches formaran un àngul.

Denotant el mòdul d'un vector $𝐚$ com $\Vert 𝐚\Vert$, el producte escalar de dos vectores $𝐚$ i $𝐛$ es definix com

$$𝐚\cdot 𝐛=\Vert 𝐚\Vert \Vert 𝐛\Vert \cos \theta$$

a on $\theta$ és l'àngul que formen els dos vectores $𝐚$ i $𝐛$.

Relació en les propietats dels vectores

Mòdul d'un vector

Artícul principal → Mòdul (vector).

El producte escalar d'un vector conseguixc mateixa equival a la suma dels quadrats dels seus components:

En tractar-se d'una suma de quadrats, tots els sumants són no-negatius, i solament és zero quan totes les components són zero, és dir, quan O és el vector nul. En un atre cas és un número real positiu que, per aplicació successiva del teorema de Pitágoras, equival al quadrat de la distància entre l'orige de coordenades i el punt extrem del vector O. En resum:

o dit d'un atre modo, el mòdul (o norma) del vector O és la raïl quadrada del producte escalar de O en si mateixa.

Un vector de mòdul igual a l'unitat es denomina vector unitari, i és usual denotar-ho en un accent circunflejo, com $\hat{u}$. Sempre és possible obtindre un vector unitari en la direcció de qualsevol vector no nul v, multiplicant-ho pel invers de la seua norma. A este procés se li denomina normalisació del vector v.

Àngul entre dos vectores

Triàngul definit per dos vectores o i v.

Aplicant el teorema del coseno al triàngul definit per dos vectores o i v, es té que

$$\Vert 𝐯-𝐮{\Vert }^2=\Vert 𝐮{\Vert }^2+\Vert 𝐯{\Vert }^2-2\Vert 𝐮\Vert \Vert 𝐯\Vert \cos \theta ,$$

que es pot reescriure com $$2\Vert 𝐮\Vert \Vert 𝐯\Vert \cos \theta =\Vert 𝐮{\Vert }^2+\Vert 𝐯{\Vert }^2-\Vert 𝐯-𝐮{\Vert }^2.$$

El quadrat de la norma de cada u d'estos vectores és: $$\Vert 𝐮{\Vert }^2=𝐮\cdot 𝐮=u_1^2+u_2^2+\mathrm{...}+u_n^2.$$ $$\Vert 𝐯{\Vert }^2=𝐯\cdot 𝐯=v_1^2+v_2^2+\mathrm{...}+v_n^2.$$ $\Vert 𝐯-𝐮{\Vert }^2=(𝐯\mathbf{-}𝐮)\cdot (𝐯\mathbf{-}𝐮)=(v_1-u_1{)}^2+(v_2-u_2{)}^2+\mathrm{...}+(v_n-u_n{)}^2.$

Substituint en l'expressió anterior, i lloc que $(v_i-u_i{)}^2=v_i^2-2u_i{v}_i+u_i^2$, despuix de cancelar tots els sumants de la forma $u_i^2$ i $v_i^2$ solament queda

d'a on, si la norma d'abdós vectores és distinta de zero, es pot rebujar

El denominador d'esta expressió és sempre positiu, en lo que el signe del producte escalar coincidix en el del coseno de l'àngul $\theta$. El producte escalar és positiu quan este àngul és menor que l'àngul recte, i és negatiu quan l'àngul és major.

A • B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) és la proyecció escalar de A en B.

Vectores ortogonals

Dos vectores són ortogonalés o perpendiculars quan formen àngul recte entre sí. Si el producte escalar de dos vectores és zero, abdós vectores són ortogonals

ya que el $\cos \frac{\pi }{2}=0$.

Vectores paralels o en una mateixa direcció

Dos vectores són paralels o duen la mateixa direcció si l'àngul que formen és de 0 radianés (0 graus) o de π radianes (180 graus).

Quan dos vectores formen un àngul zero, el valor del coseno és l'unitat, per lo tant el producte dels mòduls val lo mateix que el producte escalar.

Proyecció d'un vector sobre un atre

Proyecció

La proyecció ortogonal d'un vector o sobre (la direcció de) un vector v, distint del vector nul, es definix com el vector paralel a v que resulta de proyectar o sobre el subespacio generat per v. En atres paraules, és l'ombra que proyecta un vector sobre l'atre.

El mòdul de la proyecció del vector o sobre la direcció del vector v és $\Vert P_v(u)\Vert =\Vert u\Vert cos\theta$, en la qual cosa

açò és, el producte escalar de dos vectores també pot definir-se com el producte del mòdul d'un d'ells per la proyecció de l'atre sobre ell.

En conseqüència, la proyecció es pot calcular com el producte punt entre abdós vectores, dividit entre la magnitut del vector v al quadrat, multiplicat pel vector v:

$P_v(u)=\frac{⟨𝐮,𝐯\mathbf{⟩}}{||𝐯\mathbf{|}\mathbf{|}}\cdot \frac{𝐯}{||𝐯\mathbf{|}\mathbf{|}}=\frac{⟨𝐮,𝐯\mathbf{⟩}}{⟨𝐯,𝐯\mathbf{⟩}}𝐯$.

Per eixemple, en el cas de l'espai euclideo en dos dimensions, la proyecció del vector o=(4, 5) sobre el vector v= (5, -2) és el vector

$P_v(u)=\frac{4\cdot 5+5\cdot (-2)}{5^2+(-2{)}^2}(5,-2)=(50/29,-20/29).$

En el cas particular de que es considere la direcció d'un vector unitari i, l'expressió per a la proyecció d'un vector o sobre i pren la forma simplificada

Les expressions anteriors són utilisades en el método de Gram-Schimdt per a obtindre una base ortonormal.

Definició general

En un espai vectorial, un producte intern és una aplicació

$\begin{array}{cccc}⟨\cdot ,\cdot ⟩:& V\times V& ⟶& 𝕂\\ & (x,y)& ⟼& a=⟨x,y⟩\end{array}$

a on $V$ és un espai vectorial i $𝕂$ el cos ordenat sobre el que està definit, $ℝ$ o $ℂ$. l'operació binaria $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ (que pren com a arguments dos elements de $V$, i torna un element del cos $𝕂$) deu satisfer les següents condicions:

1. Linealidad per l'esquerra: $⟨ax+by,z⟩=a⟨x,z⟩+b⟨y,z⟩$, i linealidad conjugada per la dreta: $⟨x,ay+bz⟩=\bar{a}⟨x,y⟩+\bar{b}⟨x,z⟩$.
2. Hermiticidad: $⟨x,y⟩=\overline{⟨y,x⟩}$.
3. Definida positiva: $⟨x,x⟩\ge 0$, i $⟨x,x⟩=0$ si i solament si x = 0,

a on $x,y,z\in V$ són vectores, $a,b\in 𝕂$ són escalares, i $\bar{c}$ és el conjugat de l'escalar complex c.

En conseqüència, un producte intern definit en un espai vectorial és una forma sesquilineal, hermítica i definida positiva. Si el cos subjacent $𝕂$ té part imaginària nula (p. eix., $ℝ$), la propietat de ser sesquilineal es convertix en ser bilineal i el ser hermítica es convertix en ser simètrica. Per tant, en un espai vectorial real, un producte intern és una forma bilineal simètrica definida positiva.

Alternativament, se sol representar l'operació per mig del símbol del punt ($\cdot$), en lo que el producte dels vectores $𝐮$ i $𝐯$ es representa com $𝐮\mathbf{\cdot }𝐯$.

Un espai vectorial sobre el cos $ℝ$ o $ℂ$ dotat d'un producte intern es denomina espai prehilbert, espai prehilbertiano o espai unitari. Si ademés és complet, es diu que és un espai de Hilbert. Si la dimensió és finita i el cos és el dels número real, es dirà que és un espai euclídeo.

Tot producte intern induïx una forma quadràtica, que és definida positiva, i ve donada pel producte d'un vector conseguixc mateix. Aixina mateix, induïx una norma vectorial de la següent manera:

és dir, la norma d'un vector és la raïl quadrada de l'image de dit vector baix la forma quadràtica associada.

Eixemples de productes interns

Citem a continuació alguns productes estudiats generalment en la teoria dels espai prehilbertianos. Tots estos productes —cridats canònics— són solament alguns dels infinits productes interns que es poden definir en els seus respectius espais.

• En l'espai vectorial ${ℝ}^n$ se sol definir el producte intern (cridat, en este cas en concret, producte punt) per:

$𝐀\cdot 𝐁=(a_1,a_2,a_3,\mathrm{...},a_n)\cdot (b_1,b_2,b_3,\mathrm{...},b_n)=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\mathrm{...}{a}_n{b}_n=\sum a_i\cdot b_i$.

• En l'espai vectorial ${ℂ}^n$ se sol definir el producte intern per:

$𝐀\cdot 𝐁=(a_1,a_2,a_3,\mathrm{...},a_n)\cdot (b_1,b_2,b_3,\mathrm{...},b_n)=a_1\overline{b_1}+a_2\overline{b_2}+\mathrm{...}{a}_n\cdot \overline{b_n}=\sum a_i\cdot \overline{b_i}$.

a on $\overline{b_n}$ és el número complejo conjugat de $b_n$.

• En l'espai vectorial de les matrius de m x n, en entrades reals

$𝐀\cdot 𝐁=\mathrm{tr}(A^{t}B)$

a on tr(M) és la traça de la matriu M i $A^t$ és la matriu trasponer de $A$.

• En l'espai vectorial de les matrius de m x n , en entrades complexes

$𝐀\cdot 𝐁=\mathrm{tr}(A^{*}\cdot B)$

a on tr(M) és la traça de la matriu M i $A^{*}$ és la matriu trasponer conjugada de A.

• En l'espai vectorial de les funcions complexes contínues en l'interval acotat per a i b, denotat per $𝒞[a,b]$:

$𝐟\cdot 𝐠=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\overline{g(x)}\mathrm{d}x$.

• En l'espai vectorial dels polinomis de grau menor o igual a n, donats n+1 números $[x_1,x_2,x_3,\mathrm{...},x_n,x_{n+1}]\subseteq ℝ$ tals que $x_1<x_2<x_3<\mathrm{...}<x_n<x_{n+1}$ :

$𝐩\cdot 𝐪=p(x_1)q(x_1)+p(x_2)q(x_2)+\mathrm{...}+p(x_n)q(x_n)+p(x_{n+1})q(x_{n+1})=\sum p(x_i)\cdot q(x_i)$.

Propietats del producte intern

Sean A, B i C vectores, i siguen $\alpha$ i $\beta$ escalares:

• És una aplicació llineal respecte del primer operant:

• És una forma hermitiana:

En un espai vectorial real, esta condició es reduïx a

per lo que en este cas el producte intern és conmutativo (o simètric).

• Les dos propietats anteriors combinades siginifican que el producte interior és sesquilineal:

de nou, en el cas real, esta propietat es reduïx a la linealidad en el segon operant.

• Distributividad respecte de la suma:

• Positividad: en espais vectorials reals o complexos, el producte intern d'un vector conseguixc mateixa és un número real no negatiu:

En conseqüència, és possible definir una norma vectorial de valor $||𝐀||=\sqrt{⟨𝐀,𝐀⟩}$, que està definida per a tots els vectores de l'espai i complix tots els axioma requerits. Per tant, tot espai prehilbertiano és un espai normado. En el producte escalar usual, la norma associada equival a la llongitut del vector en l'espai euclídeo.

• Desigualtat de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz:

En conseqüència, per a dos vectores no nuls A i B es tenen les desigualtats:

En el producte escalar usual, este cocient és igual al coseno de l'àngul entre els dos vectores. Això du a definir el concepte d'àngul en espais vectorials arbitraris com l'àngul $\theta$ tal que

El producte escalar usual en l'espai euclídeo real

Expressió analítica

Siguen els vectores $𝐔=(U_1,U_2,U_3{)}^t$ i $𝐕=(V_1,V_2,V_3{)}^t$ en l'espai euclideo tridimensional ${ℝ}^3$. El producte escalar de $𝐔$ i $𝐕$ es definix com el producte matricial:

Si s'expressen els vectores per mig dels seus coordenadas respecte de certa base $ℬ=\{e_1,e_2,e_3\}$, per aplicació de les propietats del producte escalar, est pren la forma

$𝐔\cdot 𝐕$	$=$	$(u_1{𝐞}_1+u_2{𝐞}_2+u_3{𝐞}_3)\cdot (v_1{𝐞}_1+v_2{𝐞}_2+v_3{𝐞}_3)$
	$=$	$\begin{array}{c}{u}_1{v}_1{𝐞}_1\cdot {𝐞}_1+u_2{v}_1{𝐞}_2\cdot {𝐞}_1+u_3{v}_1{𝐞}_3\cdot {𝐞}_1\\ +u_1{v}_2{𝐞}_1\cdot {𝐞}_2+u_2{v}_2{𝐞}_2\cdot {𝐞}_2+u_3{v}_2{𝐞}_3\cdot {𝐞}_2\\ +u_1{v}_3{𝐞}_1\cdot {𝐞}_3+u_2{v}_3{𝐞}_2\cdot {𝐞}_3+u_3{v}_3{𝐞}_3\cdot {𝐞}_3\end{array}$

L'expressió anterior pot condensarse en forma matricial com

a on A és la matriu de Gram del producte, les entrades del qual són els productes escalares dels vectores de la base: $a_{ij}=e_i\cdot e_j$. En el cas particular de que la base siga ortonormal, la matriu de Gram és la matriu identitat.

Les expressions anteriors es poden generalisar a espais de n dimensions. Si O i V són vectores en ${ℝ}^n$ llavors:

Análogament, donades les coordenades dels vectores respecte d'una base $ℬ=\{e_1,e_2,\mathrm{...},e_n\}$, el producte ve dau per

a on la matriu de Gram A és d'orde n x n.

Generalisacions

Formes quadràtiques

Donada una forma bilineal simètrica $B(\cdot ,\cdot )$ definida sobre un espai vectorial $V={ℝ}^n$ pot definir-se un producte escalar diferent del producte escalar euclídeo per mig de la fòrmula:

A on:

$B_{ij}:=B({𝐞}_i,{𝐞}_j)$

$\{{𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_n\}$ és una base de l'espai vectorial $V$

Pot comprovar-se que l'operació anterior $(\cdot ,\cdot {)}_B:V\times V\to ℝ$ satisfà totes les propietats que deu satisfer un producte escalar.

Tensors mètrics

Es poden definir i manejar espai no euclídeos o més exactament varietats de Riemann, és dir, espais no plans en un tensor de curvatura diferent de zero, en els que també podem definir llongituts, ànguls i volums. En estos espais més generals s'adopta el concepte de geodèsica en lloc del de segment per a definir les distàncies més curtes en entre punts i, també, es modifica llaugerament la definició operativa del producte escalar habitual introduint un tensor mètric $g:ℳ\times Tℳ\times Tℳ\to ℝ$, tal que la restricció del tensor a un punt de la varietat de Riemann és una forma bilineal $g_x(\cdot ,\cdot )=g(x;\cdot ,\cdot )$.

Aixina, daus dos vectores camps vectorials $𝐮$ i $𝐯$ de l'espai tangente a la varietat de Riemann es definix el seu producte intern o escalar com:

La llongitut d'una curva rectificable C entre dos punts A i B es pot definir a partir de la seua vector tangente $𝐓$ de la següent manera:

Vore també

• Multiplicació escalar
• Espai vectorial
• Norma vectorial
• Combinació llineal
• Sistema generador
• Independència llineal
• Matriu de Gram
• Base (àlgebra)
• Base Ortogonal
• Base Ortonormal
• Coordenades cartesianas
• Producte vectorial
• Producte mixt
• Producte tensorial

Referències

Bibliografia

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lliçons de Física (4 volums), Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en anglés), Nova York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9.
• Serway, Raymond A. (2004). Physics for Scientists and Engineers, 6.ª edició (en anglés), Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.
• Tipler, Paul A. (2000). Física per a la ciència i la tecnologia (2 volums), Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3.
• Navarro Camacho, Jorge i atres (juliol de 2007). Cos de Professors d'Ensenyança Secundària ; Matemàtiques (Volum III), MAD. ISBN 84-665-7931-1,.
• Marsden, J.E.;Tromba, A.J. (2004). Càlcul vectorial, 5.ª edició, Pearson educació, S.A.. ISBN 84-7829-069-9.
• Reinhardt, Fritz;Soeder,Heinrich (1984). Atles de matemàtiques 1.Fonaments,àlgebra i geometria (2 toms) (en alemà), Aliança universitat. ISBN 84-206-6203-8, ISBN 84-206-6998-9.
• Hoffman, Kenneth;Kunze, Ray (2015). Linear Algebra, 2ª edició (en Inglés), Pearson Índia. ISBN 84-206-6203-8, ISBN 978-9332550070.
• Meyer, Carl D. (2000). Matrix Analysis and Applied Linear Algebra (en Inglés), SIAM. ISBN 978-0898714548.
• Lugovaia, G.D.; Sherstniov, {{{nom2}}} (2013). Anàlisis funcional (en espanyol), Krasand. ISBN 978-5396005266.
• Strang, Gilbert (2009). Introduction to Linear Algebra, 4ª edició (en anglés), Wellesley. ISBN 978-0980232714.

• Horn, Roger A.; Johnson, {{{nom2}}} (2013). Matrix Analysis, 2ª edició (en anglés), Cambridge University Press. ISBN 978-0521548236.
• Hernández (1994). Àlgebra i geometria (en espanyol), Addison Wellesley. ISBN 0201625865.

Enllaços externs

• [[Archiu:{{#switch:Matemàtica|20px|Vore el portal sobre Matemàtica]] Portal:Matemàtica. Contingut relacionat en Matemàtica.
• [[Archiu:{{#switch:Física|20px|Vore el portal sobre Física]] Portal:Física. Contingut relacionat en Física.