Tensor mètric

Paraboloide de Flamm (solució exterior de Schwarzschild).

En geometria de Riemann, el tensor mètric és un tensor de ranc 2 que s'utilisa per a definir conceptes mètrics com distància, àngul i volum en un espai localment euclídeo.

Definició

Una volta que s'elegix una base local, el tensor mètric apareix com una matriu, denotada convencionalment com a g (vore també mètrica). La notació g_ij s'utilisa convencionalment per a les components del tensor. Aixina el tensor mètric g s'expressa fixada una base coordenada com:

O més cómodament usant el conveni de sumación d'Einstein (que usarem d'ací en avant per al restant de l'artícul com):

En física és molt comuna escriure la mètrica com el quadrat del element de llínea, ya que el tensor és simètric la notació física és equivalent a la notació anterior:

Llongitut, àngul i volum

La llongitut d'un segment d'una curva donada parametrizada per $t$, des de $a$ fins a $b$, es definix com:

El àngul entre dos vectores O i V (o entre dos curves que els seus vectores tangentes O i V ) es definix com:

El n-volum d'una regió R d'una varietat de dimensió n ve dau per l'integral estesa a dita regió de la n-forma de volum:

Per a computar el tensor mètric d'un conjunt d'equacions que relacionen l'espai en espai cartesiano (g_ij = η_ij: veja delta de Kronecker para més detalls), compute el jacobiano del conjunt d'equacions, i multiplique el (producte exterior) trasponer d'eixe jacobiano pel jacobiano.