Espai tangente

En geometria diferencial, cridem espai tangente al conjunt associat a cada punt d'una varietat diferenciable format per tots els vectores tangentes a dit punt (vore fig.1). És un espai vectorial de la mateixa dimensió que la dimensió de la varietat.

El pla que toca a l'esfera en un sol punt és cridat pla tangente. Cada punt de l'esfera té associat un pla tangente. Per a l'esfera els punts antipodales té plans tangente paralels.

El conjunt de tots els espais tangentes, degudament topologizado, forma el cridat fibrado tangente. Resulta ser en sí mateixa una atra varietat de dimensió doble de la dimensió de la varietat d'entrada.

Archiu:Tangentialvektor.svg

fig.1 Les cartes que complixquen esta condició formaran part de dita estructura. Ilustració de l'espai tangente $T_{x}M$ i un vector tangente $v\in T_{x}M$ obtingut utilisant una curva que passa per un punt $x\in M$.

Definicions

Hi ha vàries formes d'entendre este concepte. Primer anem a explicar utilisant la gràfica de la fig.1. Escomencem suponent que tenim una curva $\gamma$ en la varietat M que passa per alguna posició elegida qualsevol: $x\in M$. És dir una aplicació $\gamma :[-\epsilon ,\epsilon ]\to M$ diferenciable que satisfà $\gamma (0)=x$ i ${\gamma }^{\prime }(0)=v$. Resulta que el conjunt de tots estos vectores tangentes a la curva en el punt x formen l'espai tangente $T_{x}M$ de x en M.

Espai tangente ${ℝ}^n$

Si es té una varietat diferencial immersa en ${ℝ}^n$ donada per l'equació $𝐟(x_1,x_2,\dots ,x_n)=0$ llavors l'espai tangente en un punt de dita varietat $𝐚=(a_1,a_2,\dots ,a_n)\in ℳ$ ve dau per l'equació:

A on $D𝐟(𝐚)$ és la matriu jacobiana o diferencial de la funció.

Vore també

• Vector normal
• Conjunt rectificable