Fibrado

Archiu:Roundhairbrush. caps block 0

Un raspall cilíndric pot donar una idea intuïtiva d'un fibrado vectorial. El raspall és com un fibrado vectorial que l'espai base és el cilindre a on estan clavades les fibres, mentres que les fibres cerdes són segments interpretables com la fibra matemàtica unida a cada punt. L'aplicació π:I→B prendria un punt situat baix una cerda i aplicaria tota la fibra en la raïl de dita cerda ubicada sobre el cilindre.

En topología, un fibrado (o fes fibrado) és una funció contínua suprayectiva π, d'un espai topològic I en un atre espai topològic B, satisfent una atra condició que ho fa d'una forma particularment simple localment. Introduint un atre espai topològic F, utilisem la funció de proyecció de B × F → B com a model. Per eixemple en el cas d'un fibrado vectorial, F és un espai vectorial.

Definició

Un fibrado consistix en una cuaterna $(E,B,\pi ,F)$, a on $E$, $B$ i $F$ són espais topològics i $\pi :E⟶B$ és una aplicació contínua i sobreyectiva, de manera que per a qualsevol $x\in B$ existix un entorn $U$ de $x$ en $B$, i un homeomorfisme $\phi :{\pi }^{-1}(U)⟶U\times F$ tal que $\pi ={\text{proj}}_1\circ \phi$, en ${\text{proj}}_1:U\times F⟶U$, ${\text{proj}}_1(x,y)=x$. Equivalentement, per a tot punt de B existix un entorn $U$ i un homeomorfisme $\varphi$ tal que el següent diagrama commuta:

Condició de ser localment trivial

Condició de ser localment trivial

L'aplicació $\pi$ és oberta per ser una proyecció en un producte cartesiano i B té la topología cocient. L'espai $B$ es diu el espai de base del fibrado, $E$ el espai total, per a qualsevol $x\in B$, ${\pi }^{-1}(x)$ es diu la fibra en $x$ i la funció ${\text{proj}}_1$ es diu la proyecció. Es denota $E{|}_U={\pi }^{-1}(U)$ i es diu que $\pi$ és localment trivial i el parell $(U,\phi )$ és una trivialización local. És habitual escriure $E$ en lloc de $(E,B,\pi ,F)$ si $B,\pi$ i $F$ es poden entendre per context i dir que I és un fibrado sobre B.

Eixemples

El primer eixemple és el fibrado producte o fibrado trivial dau per $(B\times F,B,{\text{proj}}_1,F)$.

Un eixemple de fibrado no (globalment) trivial és la Banda de Möbius com a espai total I, base $B\cong S^1$ un círcul i fibra F=(0,1) un segment de llínea. La rotació dels segments F a lo llarc de la cinta és apreciable només globalment ya que localment l'estructura de la banda és homeomorfa a un producte $U\times (0,1)$. Una descripció analítica explícita és

$E=\frac{\{(x,y)\in ℝ\times (0,1)\}}{(x,y)\sim (x+1,1-y)},B\cong S^1=\frac{x\in ℝ}{x\sim x+1}$

i l'aplicació $\pi$ és la proyecció en la primera coordenada.

Un fibrado vectorial $(E,B,\pi ,F)$ és en particular un fibrado. El fibrado vectorial es diu real o complex si la fibra F és un espai vectorial real o complex respectivament. El fibrado tangente i el fibrado cotangente són eixemples de fibrados vectorials.

Un espai recubridor o coberta és un fibrado, ací la F és un conjunt discret.

Existixen en la lliteratura una àmplia cantitat d'eixemples en varietats específiques o fibres prescrites. Un parell d'eixemples recurrents en topología algebraica són la fibración de Hopf de $S^{2n+1}$ sobre $ℂ{\mathbb{P}}^n$ en fibra $S^1$ i la fibración del espai de camins d'un espai topològic en punt base $(X,x_0)$, $𝒫(X)⟶X$ en fibra isomorfa a l'espai de llaços $\Omega (X)$ de $X$.

Referències

• (1951).«The Topology of Fibre Bundles».Princeton University Press..
• (1981).«Gauge Theory and Variational Principles».Addison-Wesley publishing..

• (1994).«Fibre Bundles».Springer Verlag.
• (2008).«Topics in Differential Geometry».American Mathematical Society.Vol. 93 (to appear).
• Plantilla:Springer

Vore també

• Fibración
• Varietat
• Fibrado de Seifert