Fibrado tangente

Archiu:Tangent bundle.svg

Informalment, el fibrado tangente a una varietat (en este cas un círcul dibuixat en blau) pot concebre's considerant totes les rectes tangentes (dalt), i "disponent-les" d'una manera suau i sense solapes (avall)

En matemàtiques, el fibrado tangente d'una varietat és un dels tipos més senzills de fibrado obtingut com l'unió disjunta de tots els espais tangentes en cada punt de la varietat.

Definició com a direccions de les curves

Supongam que M és una varietat diferenciable C^k, i φ: O → Rⁿ a on O és un subconjunt obert de M, i n és la dimensió de la varietat, en la carta φ(·) ademés suponga's que T_pM és l'espai tangente en un punt p de M. Llavors el fibrado tangente, és l'unió disjunta dels espais tangentes a diferents punts de la varietat:

a on T_pM denota l'espai tangente a M en el punt p. Aixina, un element de TM es pot pensar com un parell ordenat (p, v), a on p és un punt de M i v és un vector tangente a M en el punt p. Existix una proyecció:

definida per π(p, v) = p. Esta proyecció "colapsa" cada espai tangente T_pM en un únic punt x.

És útil, per a distinguir entre el fibrado i l'espai tangente, considerar les seues dimensions, 2n, n respectivament. És dir, el fibrado tangente considera dimensions tant de les posicions en la varietat aixina com de les direccions tangentes.

ya que podem definir una funció de la proyecció, π per a cada element del fibrado tangente que dona l'element en la varietat que el seu espai tangente conté el primer element, tot fibrado tangente és també un fibrado.