Unió disjunta

Archiu:Disjunkte Mengen.svg

Unió disjunta

Archiu:PolygonsSetDisjointUnion.svg

L'unió disjunta dels conjunts A i B és un atre conjunt A ∐ B format per tots els elements de A i de B, sense solapar els elements repetits. En l'image, cada polígon té una «etiqueta», que permet distinguir figures per lo demés idèntiques.

En teoria de conjunts, es diu que un conjunt és la unió disjunta d'atres dos si l'unió d'estos últims dona com resultat el primer, i ademés estos són disjuntos entre sí. Per eixemple, el conjunt dels número natural és l'unió disjunta del conjunt dels número par P i del conjunt dels número impar I:

$P=\{0,2,4,\dots \}$

$I=\{1,3,5,\dots \}$

$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,\dots \}=P\cup I$

L'unió de conjunts no és disjunta en general. Per eixemple, el conjunt dels número natural és també l'unió del conjunt dels números majors que 1000 i el conjunt dels números menors que 2000, pero estos no són disjuntos ya que tenen elements en comú: tots els números entre 1001 i 1999.

En general, daus dos o més conjunts no necessàriament disjuntos estos poden unir-se de per mig d'una operació similar a l'unió, llevat que s'ignora el fet de que els elements repetits solament deuen aparéixer una volta. Esta operació es denomina també la seua unió disjunta.

Unió disjunta

L'unió de dos o més conjunts es diu disjunta quan estos són a la seua volta disjuntos entre sí:

Esta nomenclatura també s'aplica a unions d'un número arbitrari de conjunts, finito o infinit. Esta noció és equivalent a la de partició: si el conjunt A és l'unió disjunta de B, C i D, llavors {B, C, D} és una partició de A (sempre que B, C i D siguen no buits).

Unió disjunta abstracta

Si dos conjunts tenen elements en comú, la seua unió no serà disjunta. En particular les propietats de l'unió de conjunts asseguren que cada element comú apareix una sola volta en el resultat de la mateixa. No obstant, és possible prendre una «unió» en la que es distinguix d'alguna forma dits elements comuns, de tal manera que se'ls puga incloure més d'una volta.

Per a això, abans de prendre una unió ordinària es manipulen els conjunts a unir per a assegurar que, encara que resulten ser molt semblats als de partida, siguen disjuntos entre sí. Una manera de conseguir açò és per mig del producte cartesiano.

Eixemple

• Els conjunts A = {1, 2, 3} i B = {1, 2, 4} no són disjuntos, i la seua unió és A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. Encara que abdós tenen 3 elements, la seua unió solament té 4. La seua unió disjunta és A ∐ B = { (1, 0), (2, 0), (3, 0), (1, 1), (2, 1), (4, 1)} i té 6 elements.

En modificar els conjunts de partida abans d'unir-los, els conjunts originals no són subconjunts de l'unió disjunta, a diferència de lo que ocorre en l'unió ordinària. No obstant és habitual relaixar esta distinció, i afirmar que per eixemple A és un subconjunt de A ∐ B.

Esta definició d'unió disjunta abstracta pot generalisar-se a més de dos conjunts, i en general, a una família indexada:

Referències

• Llig, John (2011). «Appendix A. Review of Set Theory», Introduction to topological manifolds (en anglés). ISBN 9781441979391.
• Disjoint Union en MathWorld.