Producte cartesiano

Produto cartesiano de l'els conjunts {x,i,z} i {1,2,3}

En matemàtiques, el producte cartesiano de dos conjunts és una operació, que resulta en un atre conjunt, que els seus elements són tots els parells ordenats que poden formar-se de manera que el primer element del parell ordenat pertanyga al primer conjunt i el segon element pertanyga al segon conjunt.

El producte cartesiano rep el seu nom de René Descartes, la formulació del qual de la geometria analítica va donar orige a este concepte.^[1]

Eixemple

Per eixemple, donats els conjunts:

$A = {1, 2, 3, 4}$

i

$B = {a, b}$

el seu producte cartesiano de per B és:

$\begin{matrix} b & (1, b) & (2, b) & (3, b) & (4, b) \\ a & (1, a) & (2, a) & (3, a) & (4, a) \\ A \times B & 1 & 2 & 3 & 4 \end{matrix}$

que es representa:

$A \times B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)}$

i el producte cartesiano de B per a és:

$\begin{matrix} 4 & (a, 4) & (b, 4) \\ 3 & (a, 3) & (b, 3) \\ 2 & (a, 2) & (b, 2) \\ 1 & (a, 1) & (b, 1) \\ B \times A & a & b \end{matrix}$

que es representa:

$B \times A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4)}$

Vore que:

$(1, a) \neq (a, 1)$

Ya que són parells ordenats.

Definició

És una colecció de dos objectes distinguits com a primer i segon, i es denota com $(a, b)$ , a on $a$ és el «primer element» i $b$ el «segon element». Daus dos conjunts $A$ i $B$ , el seu producte cartesiano és el conjunt de tots els parells ordenats que poden formar-se en estos dos conjunts:

Pot definir-se llavors el quadrat cartesiano d'un conjunt com $A 2 = A \times A$ .

Archiu:CartesianPlane.svg

El conjunt

Z 2

pot visualisar-se com el conjunt de punts en el pla que les seues coordenades són número entero.

Eixemples

Número entero

Siga també el conjunt de tots els número entero $Z = {..., -2, -1, 0, +1, +2, ...}$ . El producte cartesiano de $Z$ en si mateixa és $Z 2 = Z \times Z = { (0,0), (0, +1), (0, -1), (0, +2), ..., (+1, 0), ... (-1, 0), ... }$ , és dir, el conjunt dels parells ordenats els components dels quals són sancers. Per a representar els número entero s'utilisa la recta numèrica, i per a representar el conjunt $Z 2$ s'utilisa un pla cartesiano (en l'image).

Pintura i pinzells

Siguen els conjunts $T$ de tubos de pintura, i $P$ de pinzells:

T = {

Archiu:Correspon caps block 0 .svg,

Archiu:Correspon caps block 1 .svg,

Archiu:Correspon caps block 2 .svg,

Archiu:Correspon caps block 3 .svg

}

P = {

Archiu:Correspon caps block 4 .svg,

Archiu:Correspon caps block 5 .svg,

Archiu:Correspon caps block 6 .svg,

Archiu:Correspon caps block 7 .svg,

Archiu:Correspon caps block 8 .svg

}

El producte cartesiano d'estos dos conjunts, $T \times P$ , conté tots els possibles emparejamientos de tubos de pintura i pinzells. De manera similar al cas d'un pla cartesiano en l'eixemple anterior, este conjunt pot representar-se per mig d'una taula:

Archiu:Correspon caps block 9 .svg	Archiu:CorresCartesi 40.svg	Archiu:CorresCartesi 41.svg	Archiu:CorresCartesi 42.svg	Archiu:CorresCartesi 43.svg
Archiu:Correspon caps block 10 .svg	Archiu:CorresCartesi 30.svg	Archiu:CorresCartesi 31.svg	Archiu:CorresCartesi 32.svg	Archiu:CorresCartesi 33.svg
Archiu:Correspon caps block 11 .svg	Archiu:CorresCartesi 20.svg	Archiu:CorresCartesi 21.svg	Archiu:CorresCartesi 22.svg	Archiu:CorresCartesi 23.svg
Archiu:Correspon caps block 12 .svg	Archiu:CorresCartesi 10.svg	Archiu:CorresCartesi 11.svg	Archiu:CorresCartesi 12.svg	Archiu:CorresCartesi 13.svg
Archiu:Correspon caps block 13 .svg	Archiu:CorresCartesi 00.svg	Archiu:CorresCartesi 01.svg	Archiu:CorresCartesi 02.svg	Archiu:CorresCartesi 03.svg
	Archiu:Correspon caps block 14 .svg	Archiu:Correspon caps block 15 .svg	Archiu:Correspon caps block 16 .svg	Archiu:Correspon caps block 17 .svg

Vore també

Referències

↑ El nom és per Fréchet. Vore García Alonso; Pérez Carrió, Antonio; Reis Perales, {{{nom3}}}. Fonaments de matemàtica aplicada, Editorial Club Universitari. ISBN 9788484549390.

Bibliografia

Ralph (1991). Teoria de conjunts i temes afins, McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Producto cartesiano» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] El nom és per Fréchet. Vore García Alonso; Pérez Carrió, Antonio; Reis Perales, {{{nom3}}}. Fonaments de matemàtica aplicada, Editorial Club Universitari. ISBN 9788484549390.

[1]