Parell ordenat

En matemàtiques, un parell ordenat és una parella d'objectes matemàtics, en la que es distinguix un element i un atre. El parell ordenat el primer element del qual és $a$ i el segon element del qual és $b$ es denota com $(a,b)$.

Erro al crear miniatura:

Parell ordenat

Erro al crear miniatura:

Eixemples de huit punts localisats en el pla cartesiano per mig de parells ordenats

Un parell ordenat $(a,b)$ no és el conjunt que conté als elements $a$ i $b$, denotat per $\{a,b\}$. Un conjunt està definit únicament pels seus elements, mentres que en un parell ordenat l'orde d'estos és també partix del seu definició. Per eixemple, els conjunts $\{0,1\}$ i $\{1,0\}$ són idèntics, pero els parells ordenats $(0,1)$ i $(1,0)$ són distints.

Els parells ordenats també es denominen tuplas o vectores dimensionals. La noció d'una colecció finita d'objectes ordenada pot generalisar-se a més de dos objectes, donant lloc al concepte de n-tupla.

El producte cartesiano de conjunts, les relacions binàries, les coordenades cartesianas, les fraccions i les funcions es definixen en térmens de parells ordenats.

Definició

La propietat característica que definix un parell ordenat és la condició per a que dos d'ells siguen idèntics:

Els elements d'un parell ordenat també es denominen components.

Producte cartesiano

Artícul principal → Producte cartesiano.

Daus dos conjunts X i I, la colecció de tots els parells ordenats (x, i), formats en un primer element en X i un segon element en I, es denomina el producte cartesiano de X i I, i es denota X × I. El producte cartesiano de conjunts permet definir relacions i funcions.

Generalisacions

Artícul principal → n-tupla.

És habitual treballar en coleccions ordenades de més de dos objectes, sense més que estendre la definició del parell ordenat. Per eixemple, un trio ordenat o terna ordenada és una terna d'objectes matemàtics en la que es distinguixen un primer, segon i tercer element. La propietat principal d'un trio ordenat és llavors:

$(a_1,a_2,a_3)=(b_1,b_2,b_3)\text{ si y solo si }{a}_1=b_1,a_2=b_2\text{ y }{a}_3=b_3$

En general es pot adoptar una definició similar per a un número qualsevol d'elements n, donant lloc aixina a una n-tupla.

Definició conjuntista

La condició d'igualtat entre parells ordenats és la seua única propietat matemàtica rellevant. No obstant, en teoria de conjunts es construïxen tots els objectes matemàtics a partir de conjunts: números, funcions, etc. En este context, es definix parell ordenat com un conjunt particular de tal manera que la seua relació d'igualtat siga la correcta.

La definició conjuntista habitual, deguda a Kuratowski, és:

Per mig del axioma de extensionalidad i l'axioma del parell pot demostrar-se que este terme definix un conjunt, en la propietat característica del parell ordenat .

Esquemes substitutius

La definició conjuntista de Kuratowski no és l'única existent en la lliteratura matemàtica:

• (a,b)={ {a, 1}, {b, 2} } (Hausdorff, 1914).
• (a,b)= { Plantilla:((a}, ∅}, Plantilla:((bPlantilla:)) } (Wiener, 1914).

Vore també

• Parell desordenat

Bibliografia

• Moschovakis, Yiannis N. (2006). Notes on set theory (en anglés), Birkhäuser. ISBN 9780387287225.
• Wiener, Norbert (1967). «A simplification of the logic of relations», Jean van Heijenoort (ed.). From Frege to Gödel (en anglés), Cambridge University Press.
• Enderton, Herbert (1977). «3 Relations And Functions», Elsevier Science (ed.). Elements of ser theory (en anglés), Academic Press.

Bibliografia

• (1921).«Sur la notion de l'ordre dans la Théorie dones Ensembles».Fonamenta Mathematicae.2(1)

161–171.Consultat el 23 de novembre de 2014. L'artícul en la definició original del parell de Kuratowski.