Parell ordenat

Parell ordenat

Eixemples de huit punts localisats en el pla cartesiano per mig de parells ordenats

En matemàtiques, un parell ordenat és una parella d'objectes matemàtics, en la que es distinguix un element i un atre. El parell ordenat el primer element del qual és $a$ i el segon element del qual és $b$ es denota com $(a,b)$.

Un parell ordenat $(a,b)$ no és el conjunt que conté als elements $a$ i $b$, denotat per $\{a,b\}$. Un conjunt està definit únicament pels seus elements, mentres que en un parell ordenat l'orde d'estos és també partix del seu definició. Per eixemple, els conjunts $\{0,1\}$ i $\{1,0\}$ són idèntics, pero els parells ordenats $(0,1)$ i $(1,0)$ són distints.

Els parells ordenats també es denominen tuplas o vectores dimensionals. La noció d'una colecció finita d'objectes ordenada pot generalisar-se a més de dos objectes, donant lloc al concepte de n-tupla.

El producte cartesiano de conjunts, les relacions binarias, les coordenades cartesianas, les fracciones i les funcions es definixen en térmens de parells ordenats.

Definició

La propietat característica que definix un parell ordenat és la condició per a que dos d'ells siguen idèntics:

Els elements d'un parell ordenat també es denominen components.

Producte cartesiano

Artícul principal → Producte cartesiano.

Daus dos conjunts X i I, la colecció de tots els parells ordenats (x, i), formats en un primer element en X i un segon element en I, es denomina el producte cartesiano de X i I, i es denota X × I. El producte cartesiano de conjunts permet definir relacions i funcions.

Generalisacions

Artícul principal → n-tupla.

És habitual treballar en coleccions ordenades de més de dos objectes, sense més que estendre la definició del parell ordenat. Per eixemple, un trio ordenat o terna ordenada és una terna d'objectes matemàtics en la que es distinguixen un primer, segon i tercer element. La propietat principal d'un trio ordenat és llavors:

$(a_1,a_2,a_3)=(b_1,b_2,b_3)\text{ si y solo si }{a}_1=b_1,a_2=b_2\text{ y }{a}_3=b_3$

En general es pot adoptar una definició similar per a un número qualsevol d'elements n, donant lloc aixina a una n-tupla.

Definició conjuntista

La condició d'igualtat entre parells ordenats és la seua única propietat matemàtica rellevant. No obstant, en teoria de conjunts es construïxen tots els objectes matemàtics a partir de conjunts: números, funcions, etc. En este context, es definix parell ordenat com un conjunt particular de tal manera que la seua relació d'igualtat siga la correcta.

La definició conjuntista habitual, deguda a Kuratowski, és:

Per mig del axioma de extensionalidad i l'axioma del parell pot demostrar-se que este terme definix un conjunt, en la propietat característica del parell ordenat .

Esquemes substitutius

La definició conjuntista de Kuratowski no és l'única existent en la lliteratura matemàtica:

• (a,b)={ {a, 1}, {b, 2} } (Hausdorff, 1914).
• (a,b)= { Plantilla:((a}, ∅}, Plantilla:((bPlantilla:)) } (Wiener, 1914).

Vore també

• Parell desordenat

Bibliografia

• Moschovakis, Yiannis N. (2006). Notes on set theory (en anglés), Birkhäuser. ISBN 9780387287225.
• Wiener, Norbert (1967). «A simplification of the logic of relations», Jean van Heijenoort (ed.). From Frege to Gödel (en anglés), Cambridge University Press.
• Enderton, Herbert (1977). «3 Relations And Functions», Elsevier Science (ed.). Elements of ser theory (en anglés), Academic Press.

Bibliografia

• (1921).Fonamenta Mathematicae.2(1)

161–171.Consultat el 23 de novembre de 2014. L'artícul en la definició original del parell de Kuratowski.