Definició (matemàtica)

En matemàtica, definició, en térmens generals, és delimitar, o siga, indicar, expressar el llímit que separa un objecte de tots els demés. Els pilars estructurals de la matemàtica són: la definició, la teorema i la matemàtiques jurídica. Les definicions senyalen en precisió els conceptes d'importància en la teoria. Les teoremes ( o proposicions) expressen exactament lo que hi ha de verdader en eixos conceptes i les demostracions revelen, en forma contundent, la veritat d'eixes afirmacions.

Els objectes matemàtics existixen per mig de definicions. Per eixemple, un número pot ser un natural i ser cridat número compuesto o número primo, parell o impar, sempre que complixca condicions precises i específiques. Estes condicions específiques són la definició del concepte.

Les definicions de la mateixa manera que les conjectures, axioma, postulats i teoremes entre atres conceptes matemàtics poden enunciar-se en un llenguage formalisat o en un llenguage formal propi dels sistemes formals de la llògica matemàtica.

Matemàtiques

Esta disciplina treballa en els sistemes axiomàtics com el de Peano que involucren: conceptes no definits (concepte primitiu), conceptes definits (definicions), axiomes, teoremes.

Geometria elemental

En geometria són clàssics els postulats de Euclides i més recent la axiomatisació d'Hilbert.

• Conceptes no definits: punt, recta, pla.
• Conceptes definits: segment, àngul, bisectriz.
• Axioma: proposicions sobre els conceptes no definits. Per al cas, va el següent axioma: "Per dos punts diferents passa una recta i només una".
• Teoremes (proposicions que deuen provar-se).

Cóm es definix en matemàtica

↔ ⇔ ≡

Símbols llògics
que representen si i només si.

Usant una condició necessària i suficient.

• Per eixemple: la definició un número natural és primer si és major que un i té exactament dos divisores l'1 i ell mateixa. Per a que un número entero siga primer és condició necessària que siga > 1 i posseïxca dos divisores l'1 i el mateix número. És condició suficient que un sancer siga >1 i tinga dos divisores l'1 i el mateix per a que siga número primo.

Teoria de conjunts

En teoria de conjunts, l'axioma de extensionalidad és un axioma que establix que dos conjunts són iguals si i només si tenen els mateixos elements.

Enunciat

L'enunciat de l'axioma establix que si dos conjunts tenen els mateixos elements llavors són idèntics; utilisant quantificadors i conectivas llògiques:

$\mathrm{\forall }A,B:\mathrm{\forall }x,(x\in A\leftrightarrow x\in B)\Rightarrow A=B$

Anàlisis matemàtic

Visualisació en un sistema de coordenades cartesianas dels paràmetros utilisats en la definició de llímit.

Llímit d'una funció

Si la funció real $f$ té llímit matemàtic $L$ en $c$ podem dir de manera informal que la funció $f$ tendix cap al llímit $L$ prop de $c$ si es pot fer que $f(x)$ estiga tan prop com vullgam de $L$ fent que $x$ estiga suficientment prop de $c$ sent $x$ distint de $c$.

Els conceptes prop i suficientment prop són matemàticament poc precisos. Per esta raó, es dona una definició formal de llímit que precisa estos conceptes. Llavors es diu:

Açò, escrit en notació formal:

$\begin{array}{c}\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L⟺\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0/\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dom}(f),0<|x-c|<\delta ⟶|f(x)-L|<\epsilon \end{array}$

Lo important és comprendre que el formalisme no ho fan els símbols matemàtics, sino la precisió en la que queda definit el concepte de llímit. Esta notació és tremendament poderosa, puix nos diu que si el llímit existix, llavors es pot estar tan prop d'ell com es desige, sense utilisar el concepte d'infinitesimal. Si no es conseguix estar lo suficientment prop, llavors l'elecció del δ no era adequada. La definició assegura que si el llímit existix, llavors és possible trobar tal δ.

Derivada

A partir de la definició de llímit, la derivada d'una funció f(x) en el punt x és

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ a on x ∈ (a,b) ⊂ D_f

Àlgebra abstracta

En àlgebra abstracta poden definir-se estructures algebraiques, per eixemple:

Un grup $(G,\circ )$ és un conjunt G en el que s'ha definit una operació binaria interna $\circ$, que satisfà les següents propietats o axiomes:

1. Asociatividad: $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c,\mathrm{\forall }a,b,c\in G$
2. Element neutre: $\mathrm{\exists }e\in G:e\circ a=a\circ e=a$
3. Element simètric: $\mathrm{\forall }a\in G\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$

Per lo tant, un grup està format per un conjunt d'elements abstractes o símbols, i per una llei de composició interna (operació binaria) que els relaciona. Dita llei de composició interna indica cóm deuen ser manipulats els elements del grup.

En este enunciat l'element simètric és una definició d'invers multiplicativo en teoria de grups.

Vore també

• Llògica bivalente
• Axioma
• Ben definit
• Domini de definició
• Relació d'equivalència