Element d'un conjunt

En teoria de conjunts, un element o membre d'un conjunt (o família de conjunts) és un objecte que forma part d'eixe conjunt (o família).

Teoria de conjunts i elements

Archiu:SubsetVsElement.svg

Diferencia entre element i subconjunt. El conjunt C està format per dos elements. El conjunt A està format per cinc elements (cinc figures geomètriques), i C, senyalat en llínea discontínua, és un subconjunt de A, C ⊆ A. El conjunt B, pel contrari, està format per quatre elements: tres figures geomètriques i un conjunt, a saber, C. Per tant, C, senyalat en llínea contínua, és un element de B, C ∈ B.

En escriure $A=\{1,2,3,4\}$, estem dient que els elements del conjunt $A$ són els números 1, 2, 3 i 4. Un grup d'elements de $A$ seria, per eixemple, $\{1,2\}$, el qual és un subconjunt de $A$.

Els elements poden ser conjunts en sí mateixos. Per eixemple, considerem el conjunt $B=\{1,2,\{3,4\}\}$. Els elements de $B$ no són 1, 2, 3, i 4; en efecte, $B$ té solament tres elements: 1, 2 i el conjunt $\{3,4\}$.

Els elements d'un conjunt poden ser qualsevol cosa. Per eixemple, $C=\{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}\mathrm{o},\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{e},\mathrm{a}\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{l}\}$, és el conjunt els elements del qual són els colors roig, vert i blau.

Notació i terminologia

Archiu:First usage of the symbol ∈.png

Primera utilisació del símbol $\in$ per Giuseppe Peano

La relació «és un element de», també cridada membre del conjunt, es denota per mig del símbol $\in$, i en escriure

$x\in A$

estem dient que $x$ és un element de $A$.

El símbol $\in$ va ser utilisat per primera volta per Giuseppe Peano en l'any 1889 en la seua obra Arithmetices principia, nova methodo exposita, a on va escriure (vore image avall la dreta)

Signum $\in$ significat est. Ita $a\in b$ legitur $a$ est quoddam $b$; …

lo que aignifica

El símbol $\in$ significa és. Aixina, $a\in b$ es llig $a$ és un cert $b$; ...

El símbol és la lletra grega epsilon minúscula (ε) estilisada, la primera lletra de la paraula ἐστί, la tercera persona del signgular del verp "ser" en grec antic.

Originalment, la relació $x\in A$ es llegia «$x$ és un cert $A$». A dia de hui esta formulació subsistix en certa mida, per eixemple quan traduïm $n\in \mathbb{N}$ com «$n$ és un cert sancer natural».

Hui en dia, se sol llegir o escriure «$x$ és un element de $A$», «$x$ és un membre de $A$», «$x$ pertany a $A$», «$x$ és en $A$», «$x$ residix en $A$», «$A$ inclou $x$», o «$A$ conté $x$».

No obstant lo anterior, els térmens «$A$ inclou $x$» i «$A$ conté $x$» són ambigus, perque alguns autors també els usen per a referir-se a que «$x$ és un subconjunt de $A$». El llògic George Boolos és emfàtic en aclarir que la paraula «conté» deu usar-se solament per a pertinença d'elements, i «inclou» solament per a relacions de subconjunts.

Sean $x$ un element i $A,B$ conjunts:

Relació	Notació	Es llig
pertinença	$x\in A$	x pertany a A |-	inclusió	$A\subset B$	A està contingut en B |-		$A\subseteq B$	A està contingut en B o és igual que B
inclusió	$A\supset B$	A conté a B |-		$A\supseteq B$	A conté a B o és igual que B

Per a la relació $\in$, la relació inversa ${\in }^{𝖳}$ pot ser escrita com

$A\ni x$

i significa "$A$ té a $x$ com a element".

La negació de la relació es denota $\notin$:

$x\notin A$

significa que $x$ no és un element de $A$.

Bibliografia

• Paul R. Halmos, 1960, Naive Set Theory, Springer-Verlag, Nova York, ISBN 0-387-90092-6.
• Patrick Suppes, 1960, 1972, Axiomatic Set Theory, Dover Publications, Inc., Nova York, ISBN 0-486-61630-4.